2022-2023学年江西省赣州市第四中学高二下学期6月期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省赣州市第四中学高二下学期6月期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州市第四中学高二下学期6月期末数学试题 一、单选题1．已知等差数列的公差为3，且其前项和为，若，则A．-2 B．3 C．2 D．-3【答案】D【分析】由等差数列的性质可得，即，根据等差数列的通项公式可得.【详解】由题意可得，所以，则.故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质的应用，考查等差数列的通项公式，属基础题.2．在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正态分布曲线的特点求出，然后再求恰有2名学生的成绩不低于85的概率即可.【详解】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是.故选：A.3．若函数f（x）＝x3+ax2+2x（a∈R）在x处取得极小值，则实数a的值为（　　　　）A． B． C． D．3【答案】A【分析】因为处取得极限值，所以，即可求出的值.【详解】.因为处取得极小值，所以.即：，解得：.故选：A【点睛】本题主要考查函数的极值问题，同时考查计算能力，属于简单题.4．曲线在点 (为自然对数的底数)处的切线方程为(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】由，所以，，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：D5．盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式计算，即可得到答案；【详解】设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式．由题意，，，，所以．故选：C6．数列中，，则数列的前8项和等于（    ）A．32 B．36 C．38 D．40【答案】B【分析】根据所给数列表达式，递推后可得.并将原式两边同时乘以后与变形后的式子相加，即可求得，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.【详解】由已知，①得，②由得，取及，易得，，，故.故选：B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.7．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264 的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．8．已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以.故选：D. 二、多选题9．已知，，则（    ）A．     B．     C．     D．【答案】AD【分析】因为，，所以，由均值不等式可判断A；由可判断B；由，由均值不等式可判断C；，令，则，令，对函数求导，得到函数的单调性，可判断D.【详解】因为，，所以，选项A：因为，所以，当且仅当时等号成立，故正确；选项B：因为，当且仅当时等号成立，故不正确；选项C：因为，所以，当且仅当时等号成立，故不正确；选项D：，令，则，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故D正确.故选：AD.10．以下四个命题，其中不正确的是（    ）A．由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有的可能物理优秀B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0C．在线性回归方程 中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位D．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点【答案】ABD【分析】根据独立性检验和线性回归的相关知识对选项逐一分析即可.【详解】对于A，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，不是“数学成绩优秀，物理成绩就有的可能优秀”， ∴A 错误；对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，∴ B 错误 ;对于C，根据线性回归方程中，当变量每增加1个单位时，变量平均增加个单位，故C正确；对于D， 线性回归方程对应的直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点，故D 错误.故选：ABD.11．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ）A． B．C．为常数 D．为等比数列【答案】ACD【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可.【详解】设公比为，则，解得，故，则，.对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，为常数，故C正确；对D，，，故为等比数列，故D正确；故选：ACD12．已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（    ）A．点（0，0）是函数f（x）的零点B．∈（1，3），使f（）>f（）C．函数f（x）的值域为[D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）【答案】BC【分析】利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BC；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D.【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于选项B，当时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，；当时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，．综上可得，选项B正确．对于选项C，，选项C正确．结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，则当时，，当变化时，，的变化情况如下：0+00+增极大值减极小值增极大值，极小值；当时，，当变化时，，的变化情况如下：120+e减极小值增极小值．综上可得，或，解得的取值范围是，故D错误．故选：BC． 三、填空题13．函数的单调递减区间是         .【答案】【分析】求导，解不等式可得结果.【详解】,由，得，所以函数的单调递减区间是.故答案为：.14．甲、乙两人比赛乒乓球，甲先发球．假设甲发球不会失误，乙接甲发球的失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，若乙回球成功后，甲回球的失误率为0.4，则乙在两个回合中丢分的概率为       ．【答案】0.51/【分析】乙失误的情况有两种：①乙在第一次接球时失误；②乙在第二次回球时失误，即甲发球成功后，乙第一次回球成功，然后甲回球成功，乙回球失误．由条件概率和全概率公式分别求出其概率即可得出答案.【详解】设事件表示“乙接甲发球成功”，事件A表示“甲第一次回球成功”，事件表示“乙第二次回球成功”，故乙在两个回合中丢分的概率，易知，，，则，故．15．已知数列满足，则          .【答案】【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式.【详解】∵，由，解得，∴有，是首项为3，公比为3的等比数列，所以，∴.故答案为：.16．已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为      ．【答案】【分析】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案.【详解】因为，所以，由题意可得，解得，则，，令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：x1200递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，极小值为，又因为，且，所以，所以，故答案为： 四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式； （2）请确定3998是否是数列中的项？【答案】（1）（2）第1000项【分析】（1）由题意有，解方程组即得数列的通项公式；（2）假设3998是数列中的项，有，得，即可判断得解.【详解】解：（1）设数列的公差为，由题意有，解得，则数列的通项公式为.（2）假设3998是数列中的项，有，得，故3998是数列中的第1000项.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18．如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．  (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：取中点，连接、，因为、分别为、的中点，则且，因为四边形为矩形，则且，因为为的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：因为平面，底面为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，  则、、、，设平面的法向量为，，，则，令，可得，因为，故点到平面的距离为.19．2020年初，新型冠状病毒肺炎（COVID－19）在我国爆发，全国人民团结一心、积极抗疫，为全世界疫情防控争取了宝贵的时间，积累了丰富的经验.某研究小组为了研究某城市肺炎感染人数的增长情况，在官方网站．上搜集了7组数据，并依据数据制成如下散点图：图中表示日期代号（例如2月1日记为“1”，2月2日记为“2”，以此类推）．通过对散点图的分析，结合病毒传播的相关知识，该研究小组决定用指数型函数模型来拟合，为求出关于的回归方程，可令，则与线性相关．初步整理后，得到如下数据：，．（1）根据所给数据，求出关于的线性回归方程：（2）求关于的回归方程；若防控不当，请问为何值时，累计确诊人数的预报值将超过1000人?（参考数据：，结果保留整数）附：对于一组数据，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）（2），【分析】（1）根据参考公式求出这两个系数，从而得到，于是可知回归方程；（2）把代入（1）中求出的回归方程，即可得到关于的回归方程为再解不等式即可得解．【详解】（1），，故关于的线性回归方程为．（2）把代入，可得关于的回归方程为．由，得解得，即当时，累计确诊人数将超过1000人．【点睛】本题考查回归方程的求法，考查学生对数据分析的能力和运算能力，属于基础题．20．已知函数，．(1)当时，比较与2的大小；(2)求证：，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）当时，求得导函数，再根据，分不同范围讨论即可.（2）由（1）中结论可知，当时，，然后换元，即可得，结合对数运算从而可证得结论.【详解】（1）当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，（2）由（1）知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，．21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.(1)求双曲线的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题得，进而即得；（2）设直线的方程为，联立双曲线方程，根据直线，的方程表示出结合韦达定理即得.【详解】（1）由题意可知，解得，所以双曲线的方程为.（2）设直线的方程为，代入中，可得，设，则.  直线的方程为，令，得点的纵坐标为，直线的方程为，令，得点的纵坐标为，因为，所以，即.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知函数，是函数的导函数，且在上单调递增，e是自然对数的底数．(1)当时，求f(x)图像在处的切线方程：(2)若函数对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】对于小问1：求出切点坐标与在切点处的导数值，即可求得切线方程；对于小问2：首先根据题干中在上单调递增这个条件，把进行参变分离，然后构造函数即可得到的一个范围；对于对任意的恒成立这个条件，再把进行参变分离，然后构造函数即可得到的另一个范围，两个范围共同确定出实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，，即切点为，，所以切线方程为，即.（2）因为，所以，.令，因为在上单调递增，则对恒成立，即对恒成立．令，因为，所以时，最小值为，所以.因为在上单调递增，由，所以时，，所以在上单调递增，又所以，所以因为函数对任意的恒成立．所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令，则.所以在上单调递增，所以，所以，综上.【点睛】本题考查了通过函数恒成立，进行参变分离的解题方法，需要注意本题需要分离两次，要考虑全面.