2022-2023学年江西省宜春市高安市灰埠中学高二下学期7月期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省宜春市高安市灰埠中学高二下学期7月期末数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省宜春市高安市灰埠中学高二下学期7月期末数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】集合，，则.故选：A.2．圆上的点到直线的最大距离是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.【详解】圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.3．某新农村社区共包括n个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为28，则n=（　　）A．6 B．8C．9 D．10【答案】B【分析】由题意是从个村任取两个进行组合，根据组合求解即可.【详解】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建公路的条数为，解得或（舍去）.故选：B.4．已知直线的方向向量是，直线的方向向量是，若，且，则的值是（     ）A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0【答案】A【分析】利用模的计算公式和向量垂直的坐标表示可得关于变量的方程组，求出其解后可得的值.【详解】由题设可得，解得或，故或，故选：A.5．在等比数列中，，则数列的公比为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式列出关于的式子，从而得解.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，则.故选：B.6．各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题干条件中下标的特点，结合等差中项进行化简先算出，然后利用求和公式求解.【详解】根据等差中项，，于是，即，而等差数列每一项均是正数，则解得，.故选：B7．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.  设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.8．已知正实数，，满足，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将比较，，大小，转化为比较函数与交点，函数与函数，函数与函数在第一象限交点的横坐标的大小，利用导数研究函数图象与函数图象，函数图象与函数图象间关系，后在同一作出，，，在上的图象，即可得答案.【详解】由题可得，，，则，，分别为函数与交点，函数与函数，函数与函数在上交点的横坐标.构造函数，则，得在上单调递减，在上单调递增，则，即时，函数图象恒在函数图象上方.构造函数，则.令，则，得在上单调递增，在上单调递减，则.则在上单调递减，又注意到函数增长速度远小于函数增长速度，则函数增长速度远大于函数增长速度，结合，可知时，函数图象在图象的下方.则可在同一坐标系中，作出，，，在上的图象，如图所示，由图象可知.故选：D.  【点睛】关键点睛：本题直接比较，，大小关系较复杂，故利用数形结合思想将问题转化为比较同一坐标系下函数图象交点横坐标大小关系.为保证图象无误，故利用导数研究相关函数的最值，单调性，明确函数图象间关系. 二、多选题9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（    ）A． B．C． D．当时，取到最大值【答案】ACD【分析】利用条件，得到，从而得出，可判断出选项A正确；再逐一对选项BCD分析判断即可得出结果.【详解】因为，所以，得到，所以，故选项A正确；选项B，又，，所以，故选项B错误；选项C，，故选项C正确；选项D，因为，，所以当时，取到最大值，故选项D正确.故选：ACD.10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量坐标运算，求解向量的加法、减法的坐标，数量积及向量的模即可.【详解】因为，，所以，，，.故正确的选项为ACD.故选：ACD11．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，则（    ）A．抛物线为B．若，为上的动点，则的最小值为4C．直线与抛物线相交所得弦长最短为4D．若抛物线准线与轴交于点，点是抛物线上不同于其顶点的任意一点，，，则的最小值为【答案】BCD【分析】根据抛物线的性质可得可判断A，根据抛物线的定义利用数形结合可判断B，利用韦达定理法及弦长公式可判断C，根据条件可得当直线与抛物线相切时最小，然后利用判别式即得.【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，从而抛物线的方程是，所以A错误；设到准线的距离为，由题可知准线为，则，故B正确；抛物线的焦点为，直线过焦点，由，可得，设直线与抛物线交点为，则，所以直线与抛物线相为所得弦长，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，不妨设点在第一象限，过点向准线作垂线，垂足为，则，连接，在中，设，则，要求的最小值，即最小，即最小，所以当直线与抛物线相切时，角最小，设切线方程为存在，且，由，联立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正确.故选：BCD.12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的极小值点为B．的最小值为C．过原点且与曲线相切的直线有条D．若，、且，则的最小值为【答案】AD【分析】利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断A选项；由可判断B选项；设切点为，利用导数写出切线的方程，再将原点代入切线方程，可得出关于的等式，判断关于的方程的解的个数，可判断C选项；由已知可得出，令，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，函数的定义域是，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的极小值点为，A对；对于B选项，，故函数的最小值不可能为，B错；对于C选项，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，又切线过原点，则有，即，无解，即过原点且与曲线相切的直线不存在，C错；对于D选项，由，得，即，又、，且，所以，又，则，则，，令，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以的最小值为，D对．故选：AD． 三、填空题13．在等比数列 中， ， 则首项          .【答案】/0.25【分析】设等比数列 的公比为，由求出，即可得答案.【详解】设等比数列 的公比为， 则， 则， 则， 所以.故答案为：.14．已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是               .【答案】【分析】运用相关点法求轨迹方程，设出P、Q两点坐标，表示出两点横纵坐标关系式，代入点P满足的圆的方程即可.【详解】如图所示，  设，，则，①因为Q为AP的中点，所以，②所以由①②得：，即：，所以点Q的轨迹方程为：.故答案为：.15．函数的单调递减区间为             .【答案】【分析】利用导数求出函数的单调递减区间作答.【详解】函数的定义域为，求导得，由，即，解得，所以函数的单调递减区间为.故答案为：16．已知函数，时，，则实数的范围是          .【答案】【分析】先应用参数分离，构造新函数，把恒成立转化为求最小值，二次求导根据单调性求最值即可.【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，令，则，令，则，在单调递增，，，存在唯一零点，且，使得，在单调递减，在单调递增，，，即，令，显然在单调递增，则，即，则，.故答案为： 四、解答题17．在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．(1)求n的值；(2)求展开式中含的项．【答案】(1)7(2) 【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可；（2）写出展开式后代入求解即可.【详解】（1）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为，因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，所以，即，化简得：，因为，所以，解得或.时，展开式只有3项，不符合题意；所以.（2）由（1）知，通项公式为，令，得，则.所以展开式中含的项为.18．在四棱柱中，，，，.  (1)当时，试用表示；(2)证明：四点共面；(3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）直接利用空间向量线性运算可得，再根据已知关系，，进行化简可得出结果.（2）可设，不为)，由题意可化简得到，将代入并结合题意可化简得出，即可证明出四点共面.（3）先假设面面，根据棱柱的性质，可得出平面，进而得出，反之当，可判断出平面，平面，得出平面平面=，得出当时，直线是面和面的交线，反之不行，从而得出结果.【详解】（1）===；（2）设，不为)，=则，，共面且有公共点，则四点共面；（3）假设面面，在四棱柱中，，面，面，则平面，又面，面面，则；反过来，当时，因为，则，则确定平面则平面，又因为平面，所以平面平面=，所以是直线是面和面的交线的充要条件；所以，当时，直线是面和面的交线；当不平行时，直线不是面和面的交线    19．甲、乙，丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束．(1)按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数X的数学期望的最大值．(2)若这种陶器制作成功后需要检测合格才能上市销售，如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利100元；如果这种陶器不能上市销售，则每件陶器亏损80元，已知甲已经制成了4件这种陶器，且甲制作的陶器检测合格的概率为，求这4件陶器最终盈亏Y的概率分布和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为元 【分析】（1）根据题意列出分布列，求出均值的最大值；（2）根据题意知销售的件数为，然后找出ξ与盈亏Y的关系，列出分布列并求出均值.【详解】（1）X的可能值为1，2，3.于是，，，则随机变量X的分布列为X123P均值为，，设，，所以h(x)在上单调递增，所以,所以，所以当时，E(X)的最大值为．（2）设4件陶器中能上市销售的件数为ξ，则不能上市销售的件数为4-ξ，ξ的可能值为0，1，2，3，4，且，，设这4件陶器最终盈亏Y，则，可能值为-320，-140，40，220，400，可得，，，，，Y40220400P(元)．20．已知数列的前n项和是，且．(1)证明：为等比数列；(2)证明：(3)为数列的前n项和，设，是否存在正整数m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，或或 【分析】（1）可得，两式相减，可化为，进而可得答案；（2）先证明是等比数列，首项和公比都是，再利用求和公式可得结果；（3）假设存在正整数使成立，可得，再分类讨论列方程求解.【详解】（1），，两式相减，得又时，是首项和公比都是2的等比数列．（2）由（1）得．，所以是等比数列，首项和公比都是，（3）假设存在正整数m，k， 使成立， ，，，所以，，又正整数m，k， ，或或或或.21．已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.(1)求面积的最大值；(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）方法1：设出点M的坐标，计算点到直线的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果.方法2：联立椭圆方程及与平行的直线的方程，令，进而可求得结果.（2）分别求出交点M、Q、P坐标，计算即可.【详解】（1）方法1：如图所示，由题意知，，，，设，则，点到直线的距离为：，所以，所以.故△MBD面积的最大值为：.方法2：设与平行的直线，联立得，令，显然当时与椭圆的切点与直线的距离最大，，所以.故△MBD面积的最大值为：.（2）如图所示，设直线，联立得，则点的坐标为，设点为，则，所以，即，所以，联立得点的坐标为，所以，，所以.故为定值.【点睛】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)函数有两个不同的极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解得增减区间；（2）求出，由可得这样只要证，即证，再利用，消去参数，然后设，进一步化二元为一元，再引入新函数，利用导数证明不等式成立．【详解】（1）（i）当时，，则在为增函数（ii）当时，令得当时，当时，所以在为减函数，在为增函数综上：当时，在为增函数当时，在为减函数，在为增函数（2），则，要证，只要证，即证，所以所以只要证，只要证设，则只要证，所以只要证设（），则，设，则，所以为减函数，所以，所以为增函数所以，所以成立，所以原式得证.【点睛】方法点睛：关于极值点的不等式证明方法，函数（其中含有参数）的极值点是，需要证明关于的不等式成立，由于其中含有三个参数，因此需要用消元法消元，最终得出一元不等式，对一元不等式再引入新函数，利用导数进行证明．消元方法是：由，可把参数用极值点表示，代入消去，然后再设，不等式转化为关于的不等式，化为一元不等式，从而易得证．