2022-2023学年江西省宜春市丰城拖船中学高二下学期6月期末数学试题含答案

2022-2023学年江西省丰城拖船中学高二下学期6月期末数学试题

一、单选题

1．若命题：，，则命题的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论即可.

【详解】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论，可得原命题的否定为“，”.

故选:D

2．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.

【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为；

若比赛三场甲获胜，则概率为；

甲获得冠军的概率.

故选：D.

3．直线被圆截得的弦长为1，则半径（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离公式，由勾股定理即可求解.

【详解】圆心到直线的距离为，

所以，故，

故选：B

4．过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式设出直线方程：，与抛物线方程联解得一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段的长度．

【详解】解：根据抛物线方程得：焦点坐标，

直线的斜率为，

由直线方程的点斜式方程，设，

将直线方程代入到抛物线方程中，得：，

整理得：，

设，，，，

由一元二次方程根与系数的关系得：，，

所以弦长．

故选：B．

5．若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率.

【详解】因为，所以，设切点为，所以 ，

所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，

所以切线方程的斜率为.

故选：B

6．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等差数列的求和公式可求得的公差为，再由等差数列的求和公式即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，所以，

可得：，

所以.

故选：A.

7．如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.

【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A垂直平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，，

，

设，，

设与所成角为，则，

设，则有，

由存在，则，

解得，即的最大值为，

所以与所成角的余弦值的最大值为.

故选：C

8．已知函数，是的导数，下列说法正确的是（    ）

A．曲线在处的切线方程为

B．函数有唯一极小值

C．函数在上单调递增，在上单调递减

D．对于任意的总满足

【答案】ABD

【分析】利用求导公式与求导法则，求出导数，根据导数的几何意义，极小值的判定方法，导数与单调性的关系，可得答案.

【详解】，则，而，

因此，曲线在点处的切线方程为，A正确；

则，

设，

当时，，

则函数在上单调递增，

由于

故存在使得，即，可得有唯一极小值，B正确；

设，

当时，，

则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，

所以在上单调递增，C错误；

设，

则

由选项C知，在上单调递增，而，则，

即有，因此函数在上单调递增，

，即有，

所以对任意的，总满足，D正确.

综上，正确答案为ABD.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

二、多选题

9．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝（  ）

A．－10 B．－8 C．8 D．10

【答案】AC

【分析】设等比数列的公比为，解方程求出的值即得解.

【详解】设等比数列的公比为，由于，

，则 ，或，

所以或，

故选：AC.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在处取得极大值

D．在处取得极大值

【答案】AC

【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案.

【详解】由的图象可知：

当时，，单调递减，故A正确；

当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B错误；

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以在处取得极大值，故C正确；

由于在上单调递增，所以在没有取得极大值，故D错误.

故选：AC.

11．已知圆，则（    ）

A．存在个不同的，使得圆与轴相切

B．存在个不同的，使得圆在两坐标轴上截得的线段长度相等

C．存在个不同的，使得圆过坐标原点

D．存在个不同的，使得圆的面积被直线平分

【答案】AC

【分析】根据圆与轴相切，可得出，解此方程可判断A选项；分析可得，判断出满足条件的实数的个数，可判断B选项；数形结合可判断C选项；由已知可得出，构造，其中，利用导数法可判断D选项.

【详解】由题意可知，，且圆的圆心为，半径为.

对于A选项，若圆与轴相切，则，解得或，A对；

对于B选项，若圆在两坐标轴上截得的线段长度相等，则，可得，

圆截轴所得弦长为，圆截轴所得弦长为，

所以，，所以，，

令，，其中，

所以，，，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，，，

所以，函数在上无零点，函数在上只有一个零点，B错；

对于C选项，若圆过原点，则，

由图可知，与有两个交点，所以满足要求的有个，故C正确；

对于D选项，若圆的面积被直线平分，则直线过圆心，

所以，，即，

令，其中，则.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，

因此，存在唯一的，使得圆的面积被直线平分，D错.

故选：AC.

12．已知是数列的前项和，，则（    ）

A．

B．当时，

C．当时，为等差数列

D．当数列单调递增时，的取值范围是

【答案】BD

【分析】对于A，由，多写一项，两式相减得到，注意检验时是否成立即可；

对于B，先根据题意求得，从而得到奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前项和公式即可求解；

对于C，结合B选项求得，，得到数列为，进而判断即可；

对于D，先结合选项C求得，，再根据数列单调递增，则必有，且，求解即可得出的取值范围．

【详解】对于A，因为，当，，

两式相减得，

但当时，，即，得，不符合，故A错误；

对于B，结合A选项有，所以，

两式相减得，

又，

令，则，，得，又，所以，

令，则，，得，所以，

则，所以，

所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，

则

，所以B正确；

对于C，结合B选项有，，，

又，

则，

，

即数列的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列为，

所以数列不是等差数列，故C错误；

对于D，结合选项C有，，

又数列单调递增，则必有，且，

所以，且，解得，

所以的取值范围是，所以D正确．

故选：BD．

【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．

三、填空题

13．已知，，三点共线，则＝     ．

【答案】6

【分析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.

【详解】由于、、三点共线，则，

即，解得.

故答案为：6.

14．已知数列中，对成立，且，则          ．

【答案】

【分析】由对成立知数列为常数列.

【详解】由对成立知数列为常数列，故，所以.

故答案为：10

15．数列满足，则的前项和         ．

【答案】

【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解，再结合错位相减法求和即可.

【详解】数列满足，

当时，，当时，，

两式作差可得，∴，

当时，不满足，故，

∴当时，，；

当时，得，则，

，

两式相减得，，

化简得，当时，满足，

∴．

故答案为：．

16．已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是      .

【答案】

【分析】由，得或，再利用导数研究函数的图象，数形结合得到结果.

【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根.

由，得或.

因为，所以，

由，得或，由，得，

则在和上单调递增，在上单调递减.

因为，，当时，，

当时，，所以可画出的大致图象：

由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：

并计算得，，.

(1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；

(2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；

(3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.

附：样本相关系数，.

【答案】(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）

(2)

(3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性

【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；

（2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可；

（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.

【详解】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：

（元），

平均月销售量为（万袋），

平均月销售收入为（万元）.

（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：

.

（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.

18．已知数列.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可；

（2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可.

【详解】（1），

因为，所以，

所以，

所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列.

（2）由（1）知，，

所以，

.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为正三角形，平面平面，．

(1)证明：；

(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证得平面，再由线面垂直的性质定理可证得；

（2）由题意可得以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）取的中点，连接，

因为为正三角形，所以，底面ABCD为菱形，，

所以为正三角形，所以，，平面，

所以平面，平面，所以；

（2）因为平面平面，平面平面，

，平面，所以平面，

又因为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

所以，

，，，

设平面，

，则，令，则，，

所以，设直线与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加的利润；

乙方案：每年货款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得利润更多？（参考数据：，，计算结果精确到千元．）

【答案】甲方案的获利较多．

【分析】由题意可知，甲方案中增长利率是定值，所以每年利润数是以1为首项，以1.3为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求出10年利润总数；乙方案中每年增长的利润是一定值，所以每年利润数是以1为首项，以0.5为公差的等差数列，再由等差数列的前项和公式求出10年利润总数，然后比较两种情况的数值即可.

【详解】由题意可知，甲方案中增长利率是定值，

所以每年利润数是以1为首项，以1.3为公比的等比数列，

所以甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和:

（万元）.

到期时银行的本息和为（万元）.

所以甲方案扣除本息后的净获利为（万元）.

乙方案中每年增长的利润是一定值，

所以每年利润数是以1为首项，以0.5为公差的等差数列.

前10年共获利：

（万元）.

贷款的本利和为:

（万元）.

所以乙方案扣除本息后的净获利为（万元）.

所以甲方案的获利较多.

21．已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据几何关系得到，结合椭圆定义即可求解方程；

（2）设并联立方程组，进而易得点坐标，根据点在椭圆上代入方程即可求解.

【详解】（1）圆S：，即，

由题意得，，，是的中垂线，所以，

所以，

所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，

则，得，所以曲线C的方程为.

（2）由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.

联立，得，

当时，，则，

所以，

因为是中点，所以，

因为在曲线C：上，

所以，

化简得，，

得或（舍），所以，

所以直线l的方程为，

即或.

22．已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若，证明：方程仅有1个实根．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出的定义域和导数，判断导数在相应区间内的符号可得的单调区间；

（2）方程仅有1个实根可转化为方程有且仅有1个实根，令，求出的单调性用零点存在性定理可证得有唯一零点，从而命题得证.

【详解】（1）当时，，定义域为，

，，

令，则，

所以在上单调递减，而，

所以当时，，即有，单调递增；

当时，，即有，单调递减，

综上，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2），

要证方程仅有1个实根，只需证方程

即有且仅有1个实根，

设，，

所以当时，单调递减，

时，，单调递增，

又，时，

，，

所以当时无零点；时，有唯一零点，

故在上有且只有一个零点，

即方程有且仅有1个实根，命题得证.

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.