2022-2023学年江西省吉安市第三中学高二（艺术类）下学期6月期末数学试题含答案

2022-2023学年江西省吉安市第三中学高二（艺术类）下学期6月期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.

【详解】的斜率为，故倾斜角为.

故选：B

2．将圆平分的直线是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.

【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，

由，得，

所以圆心坐标为，

对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，

对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，

对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，

对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，

故选：C

3．抛物线C：过点，则C的准线方程为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得参数a的值，进而求得C的准线方程.

【详解】抛物线C：过点，则，解之得，

则抛物线C方程为，则C的准线方程为

故选：B

4．已知向量，则向量在向量上的投影向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用投影向量的定义求解作答.

【详解】向量，，，

所以向量在向量上的投影向量.

故选：B

5．两个数的等差中项是（　　）

A． B． C．5 D．4

【答案】C

【分析】利用等差中项的定义即可得出结论．

【详解】两个数的等差中项为.

故选：C．

6．在等比数列中，已知，，则等于（    ）

A．128 B．128或－128 C．64或－64 D．64

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.

【详解】设公比为，

由已知得，解得，

所以.

故选：D

7．曲线在处的切线方程为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】因为，所以，

则当时，，，

故曲线在处的切线方程为，

即．

故选：D

8．若函数在上存在极值，则正整数a的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】求出函数的导数，由题意得有两个不等实数根，再由求出实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．

【详解】，由函数在上存在极值，

则有两个不等实数根，

得，解得或，

又a为正整数，所以a的最小值为5．

故选：B．

二、多选题

9．以下函数求导正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用基本初等函数的求导公式及运算法则即可逐一求导得出结论.

【详解】, A正确；

，常数的导数为0，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：AD.

10．对于数列，若，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等差数列

C．数列是等差数列 D．

【答案】ACD

【分析】由，得，两式相减得，结合可知数列所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列，从而即可对选项进行逐一判断.

【详解】由，，

得，，

，所以A选项正确；

又，，

两式相减得，

令，可得，

所以不是等差数列，是等差数列，

故B选项错误，C正确；

同理，令，则，

所以是以为首项，公差为2的等差数列，

所以，故D正确.

故选：ACD

11．已知数列的前n项和为，且满足，，则（    ）

A． B． C．数列为等差数列 D．为等比数列

【答案】ABC

【分析】由可递推得的通项公式，一一判定即可.

【详解】由得，两式相减得，

，

又当时，，则，故为首项是1，公差为的等差数列，

即.

显然A、C正确；

，故B正确；

由通项公式易得，，，三者不成等比数列，故D错误．

故选：ABC．

12．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，比如图中的，，，，，，…这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数，类似地，把，，，，…叫做正方形数，如图，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】设三角形数从小到大排序，构成数列，正方形数从小到大排序，构成数列，根据题意分别求出两个数列的通项，再逐一检验即可.

【详解】设三角形数从小到大排序，构成数列，正方形数从小到大排序，构成数列，

则，，

对于A，，，既是三角形数又是正方形数，A正确；

对于B，，无正整数解，

是正方形数，不是三角形数，B错误；

对于C，，无正整数解，

是正方形数，不是三角形数，C错误；

对于D，，，

既是三角形数又是正方形数，D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．等比数列的前项和，则的值为          .

【答案】

【分析】根据等比数列的前项和公式，求，再结合等比数列的性质，列式求解.

【详解】根据题意，等比数列的前项和，则，

，则有

，解可得，

故答案为：

14．曲线在点处的切线方程为          

【答案】

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】由，

所以，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率为2，

所以所求切线方程为，即.

故答案为：.

15．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了      千米？

【答案】3450

【分析】通过分析，这15辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可.

【详解】由题意知，第一辆车行程为km，

且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，

这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为-10的等差数列，

则15辆车的行程路程之和为（km）.

故答案为：3450.

16．如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的值为          ．

【答案】1

【分析】根据题意得到，求出或，排除不合要求的解.

【详解】由题意得，，由，得，

解得或．

当时，，当时，，

则在区间上单调递增，不满足条件，舍去；

当时，，

当时，，当时，，满足在区间上单调递减，在区间上单调递增，故．

故答案为：1

四、解答题

17．已知直线和直线.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)0或2

(2)

【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；

（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.

【详解】（1）若，则

，解得或2；

（2）若，则

，解得或1.

时，，满足，

时，，此时与重合，

所以.

18．圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)求圆在轴截得的弦长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；

（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.

【详解】（1）设圆心的坐标为,

则.

化简得，解得,

所以点坐标为，

半径，

故圆的方程为.

（2）圆心到轴的距离为，

所以圆在轴截得的弦长为.

19．已知甲书架上有本英文读物和本中文读物，乙书架上有本英文读物和本中文读物．

(1)从甲书架上无放回地取本书，每次任取本，求第一次取到英文读物的条件下第二次仍取到英文读物的概率；

(2)先从乙书架上随机取本书放在甲书架上，再从甲书架上随机取本书，求从甲书架上取出的是本英文读物的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；

（2）记从乙书架上取出两本英文读物为事件，从乙书架上取出一本英文读物、一本中文读物为事件，从乙书架上取出两本中文读物为事件，从甲书架上取出的是本英文读物为事件，利用全概率公式计算可得.

【详解】（1）依题意第一次取到英文读物，则甲书架上还有本英文读物和本中文读物，

所以第二次仍取到英文读物的概率.

（2）从乙书架上随机取本书放在甲书架上，

记从乙书架上取出两本英文读物为事件，从乙书架上取出一本英文读物、一本中文读物为事件，

从乙书架上取出两本中文读物为事件，从甲书架上取出的是本英文读物为事件，

依题意，，，

，，，

所以

.

20．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点.

(1)求线段的长度；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出即可；

（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.

【详解】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，故，

所以，

即线段的长度为；

（2），

则，

所以.

21．已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)若是数列的前项和，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，在由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；

（2）由裂项相消法求和即可；

【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，

即，解得，

，

即数列的通项公式为.

（2），

.

22．已知函数.

(1)若在处取得极值，求a的值；

(2)若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，由，求得，经验证，当时，函数取得极小值，符合题意；

（2）由，当时， 单调递减，不符合题意；当时，利用导数求得函数的单调性与最小值，结合，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为，

且，

因为函数在处取得极值，所以，解得，

当时，可得，

当时，，单调递减

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，符合题意.

（2）解：由，其中，

当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；

当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数极小值，也是最小值，最小值为，

当时，，且，

要使得函数有两个零点，则满足，即，

解得，所以实数的取值范围是.