2022-2023学年江西省乐安县第二中学高二下学期6月期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省乐安县第二中学高二下学期6月期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省乐安县第二中学高二下学期6月期末数学试题 一、单选题1．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（    ）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】B【分析】首先根据斜率公式求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得；【详解】解：因为，，所以，设直线AB的倾斜角为，则，因为，所以故选：B2．已知等比数列是递增数列，，则公比A． B． C． D．【答案】D【详解】由得：，又等比数列是递增数列，∴，∴故选D3．已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据解得：然后求得：，当时取最大值，且；【详解】因为所以因为，所以所以当时取最大值，且；故选：B4．若数列的通项公式为，则其前项和为(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】由利用裂项相消法求和即可.【详解】解：∵，∴故选：D5．若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.【详解】当时，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，此时，函数在上无最小值，不合乎题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，函数在上的极小值为，且，则，综上所述，.故选：A.6．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出.【详解】的定义域为，在上单调递增，且，，所以，．的定义域为，由，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，即．所以．故选：A7．已知椭圆，直线与的一个交点为，以为圆心的圆与轴相切，且被轴截得的弦长等于的焦距，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨设，故圆半径为，得到，解得答案.【详解】当，解得，不妨设，故圆半径为，根据题意：，即，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8．不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）A． B． C． D．-1【答案】A【分析】由不等式对任意都成立可知，将实数分离开来，构造函数利用函数单调性求出的最小值即可求得结果.【详解】由不等式，可得，设，即使得的最小值满足条件即可，又，令，则，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，即恒成立.因此当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即实数的最大值为.故选：. 二、多选题9．已知直线，其中，则（    ）A．直线l过定点B．当时，直线l与直线垂直C．若直线l与直线平行，则D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数【答案】ABD【分析】A. 令判断；B.由两直线的位置关系判断；C. 由两直线的位置关系判断；D.由直线的方程判断.【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确.故选：ABD10．下列说法正确的是（    ）A．“”是“”的充要条件B．函数既是奇函数又在定义域内单调递增C．若函数，则对于任意的有D．若，则【答案】BCD【分析】利用必要不充分条件的定义可判断A，利用函数单调性及奇偶性的概念可判断B，利用不等式的性质及基本不等式可判断C，利用指数函数单调性可判断D.【详解】A选项，应为必要不充分条件；B选项，函数定义域为R，，且函数单调递增，故B正确；C选项，原不等式可化为，即，即，故正确；D选项，原不等式可化为，因为，所以，所以，故正确.故选：BCD．11．已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（    ）A． B．C． D．是递增数列【答案】ABC【分析】对A，由题可得，利用累乘法可判断；对B，由题可得出，即可得出结论；对C，可得，即可判断；对D，举特例可说明.【详解】是正项数列，则由可得，，即，即，故A正确；，， ，……，，，即，即，则，故B正确；由可得，则，即，则，故C正确；对D，若是正项等比数列，如公比为3，则，即是常数列，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查数列不等式的应用，解题的关键是正确利用已知条件进行转化.12．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长半轴长为【答案】AC【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点的坐标，列出方程计算判断D作答.【详解】对于A，由，得，则，当三点共线时取等号，A正确；对于B，由点在椭圆内部，得，则，有，椭圆的短轴长大于2，B错误；对于C，因为，且，于是，即，解得，即，因此，椭圆的离心率的取值范围为，C正确；对于D，由，得为线段的中点，即，则，又，即，解得，则，椭圆的长半轴长为，D错误.故选：AC    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题13．若圆与圆（）相内切，则         ．【答案】1【分析】由两圆相内切知圆心距等于半径差的绝对值，列方程求解即可.【详解】解：圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为1．所以两圆圆心间的距离为，由两圆相内切得，解得：．由于，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于基础题.14．已知是数列的前项和，若，，.则          ．【答案】【分析】根据递推得到，判断数列是等比数列，由等比数列中公式求解即可.【详解】，则，所以,,.当时，，,.所以从第二项起，数列是公比为的等比数列，.【点睛】由求通项公式一定要注意检验的情况，本题中很容易错解认为数列是等比数列.15．已知函数在处取得极值10，则a＝      ．【答案】4【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可求出.【详解】由，得，函数在处取得极值10，（1），（1），，或，当 时，，在处不存在极值；当时，，，，，，符合题意.故答案为：4.16．已知函数与有两个不同的交点，则实数的取值范围为       .【答案】【分析】利用导数可求得单调性，并确定在处的切线方程，根据恒过定点，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】的定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；，在处的切线方程为：；恒过定点，若与有两个不同交点，则与图象如下图所示，由图象可知：当或时，与有两个不同交点；即实数的取值范围为.故答案为：. 四、解答题17．已知函数，（1）求在处的切线方程；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）；（2）1【详解】分析：(1)先根据导数几何意义得切线的斜率为 ，再根据点斜式求切线方程，(2)先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，根据单调性确定最小值取法.详解：,, (2),,,,1[1,2]2 +0-0+  1 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．18．已知数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过证明为常数，即可证明数列为等比数列.（2）根据（1）求出数列的通项式，带入，利用错位相减法即可求出数列的项和.【详解】解：（1）因为，①所以.②当时，由①-②得，即，所以.当时，，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知所以所以，③则，④由③-④，得，所以.【点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及求数列前项和中的错位相减法，属于中档题.19．近期衢州市文化艺术中心进行了多次文艺演出，为了解观众对演出的喜爱程度，现随机调查了、两地区的200名观众，得到如下所示的2×2列联表. 非常喜欢喜欢合计6030  合计   若用分层抽样的方法在被调查的200名观众中随机抽取20名，则应从区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众中抽取8名.(1)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.(2)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为，求的数学期望.附：，其中.0.050.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，没有(2)2 【分析】（1）补全列联表，根据公式计算结合临界表值进行判断即可；（2）由题意分析计算观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，随机变量然后结合二项分布的概率公式得分布列与数学期望.【详解】（1）依题意，B区为“非常喜欢”的观众人数为，表格补充完整如下 非常喜欢喜欢合计6030908030110合计14060200零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（2）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123所以．20．已知为数列的前项和，，，.（1）求证：为等差数列；（2）若，问是否存在，对于任意，不等式成立.【答案】（1）证明见解析；（2）存在,或.【分析】（1），可得，可得：，时，．时，，化为，进而证明结论．（2）由（1）可得：，可得．通过作差：，可判断数列的单调性．【详解】（1）证明：，，可得：，时，．时，，，可得．为等差数列，公差为，首项为．（2）解：由（1）可得：．．．可知：．可得时，；时，．．存在或，对于任意，不等式成立．【点睛】本题考查了数列递推关系、作差法、数列的单调性、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．【答案】（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值.【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及，，的关系，解方程可得，，，进而得到椭圆方程；（2）假设在轴上存在定点，使得得为定值．设，，，，直线方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得，令，解得即可得出．【详解】解：（1）椭圆：的离心率为，可得，，点在椭圆上，可得，解得，，椭圆的标准方程为：；（2）假设在轴上存在定点，使得为定值.设，，椭圆的右焦点为，设直线的方程为，联立椭圆方程，化为，则，，.令，解得，可得，因此在轴上存在定点，使得为定值.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知函数（）.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；（2）若是函数的极值点，且，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）求出切线方程，与对比系数即可；（2），令，通过讨论知，且，从而，再由确定出的范围即可获证.【详解】解：（1）由题意知，的定义域为，，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 所以，解得.（2）由（1）得，，显然.令，，当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，所以在上单调递增取b满足，则，，所以.又，所以存在，使得，此时. 又当时，，，单调递减，当时，，，单调递增， 所以为函数的极小值点，且.令，则，所以在上单调递减，又，，所以，∴ ；令，则.所以当时，单调递增，所以，所以，所以.【点睛】本题考查已知切线方程求参数值以及利用导数证明不等式，涉及到了不等式放缩，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.