2022-2023学年江西省万安中学高二下学期6月期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省万安中学高二下学期6月期末考试数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省万安中学高二下学期6月期末考试数学试题

一、单选题
1．若集合，，则等于（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】由题意，，∴．
故选．
2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求得，然后求得，从而求得的虚部.
【详解】由图可知，，虚部为.
故选：A
3．已知菱形中，，为中点，，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用菱形的性质，由向量加法、数乘的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律列方程求参数.
【详解】菱形中，，

因为，又，，
所以，可得.
故选：B
4．长方体一个定点上的三条棱长分别是，，，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求长方体外接球直径长（体对角线），再应用球体面积公式求面积即可.
【详解】由于长方体的体对角线是长方体外接球的直径，
∴，则球的表面积．
故选：
5．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用组合数、排列数求含“徵”音阶的基本事件数、五个音阶中任取三个音阶基本事件数，再根据古典概型的概率求法求概率.
【详解】从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，基本事件总数，
其中这个音序中含“徵”这个音阶的基本事件个数.
则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为.
故选：C.
6．已知函数，，的图象关于直线对称，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的图象关于直线对称得出，再结合可得出，结合的取值范围可得出，进而可求得的值.
【详解】因为函数图象关于直线对称，所以，
可得①，
因为，所以②，
把①代入②可得，
又，得，得或.
若，则，不合乎题意；若，则，合乎题意.
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中等题型．
7．若，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据结构，构造函数，利用导数证明出，利用单调性判断出；令，利用单调性判断出，即可得到答案.
【详解】记，因为，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，所以，即；
令，，
所以在单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
又，，所以.
故.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，解答的关键是结合式子的特征，合理构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
8．若在上存在最小值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，，因为 ，令，若，即时，恒成立，所以时，时，所以当时有最小值，当，即时，令，不妨设两解为，，当时，时，当时，当时，，所以函数必有最小值与中较小者，故选D．
点睛：本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题，综合性较强，属于难题．首先要根据求导公式及法则对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，运算能力较强．

二、多选题
9．已知正四棱柱的底面边长为，，则（    ）
A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面 D．点到平面的距离为
【答案】ACD
【分析】因为，平面，平面，所以平面，故判断A选项正确；先判断异面直线与所成角即为异面直线与所成角，再求出，，，最后求出，故判断B选项错误；因为，，，所以平面，故判断C选项正确；先判断点到线段的距离就是点到平面的距离，再求出到线段的距离为，故判断D选项正确.
【详解】根据题意作图如下，
A选项：在正四棱柱中，因为，平面，平面，所以平面，故A选项正确；
B选项：在正四棱柱中，因为，所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角，在中，因为，，，所以，故B选项错误；
C选项：在正四棱柱中，因为，，，所以平面，故C选项正确；
D选项：在正四棱柱中，因为平面，在平面内点到线段的距离就是点到平面的距离，在中，到线段的距离为，所以点到平面的距离为，故D选项正确.

故选：ACD.
【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的判断，异面直线所成的角，点到面的距离，是中档题.
10．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（    ）
A．1 B．e C．e2 D．3e
【答案】AB
【分析】设两个切点分别为，，可得两函数的切线方程，从而可得，令，利用导数求出，可得的取值范围，从而得答案.
【详解】解：设两曲线与的两个切点分别为，，
由可得；由可得，
则过两切点的切线方程分别为，，
化简得，．
因为两条切线为同一条，所以，
解得．
令，，
令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以．
故选：AB.
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）
A．平分
B．
C．延长交直线于点，则三点共线
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；
对于B，直接代入即可得到；
对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；
对于D，由选项A可知.
【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，
所以，故直线为，即，
依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，
对于A，，，故，所以，
又因为轴，轴，所以，故，
所以，则平分，故A正确；
对于B，因为，故，故B错误；
对于C，易得的方程为，联立，故，
又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；
对于D，由选项A知，故D正确.
故选：ACD.
.
12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
【答案】ACD
【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.
【详解】由，得：函数是R上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).

三、填空题
13．若的展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于 .
【答案】
【分析】先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含项与含项的系数，然后根据题意得到关于的方程，解方程可得所求．
【详解】二项式的展开式的通项为，
令，得，
所以含项的系数为；
令，得，
所以含项的系数为．
由题意得，
整理得，
∴，
解得．
故答案为：．
14．若点A（x，y）满足C：（x+3）2+（y+4）225，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，||的最小值为 .
【答案】
【分析】设B关于P点对称点为B′，，将模长最值问题转化为求圆心到直线3x+4y﹣32=0的距离问题求解.
【详解】如图所示：设B关于P点对称点为B′（x，y），B（x0，y0），

由题意可知，解得，由B在直线3 x0+4 y0=12，
代入整理得3x+4y﹣32=0，
所以，
若点A满足C：（x+3）2+（y+4）225，点A在圆C内或圆上，
则所以||最小值为圆C的圆心到直线3x+4y﹣32=0的距离减去半径，
所以||min5，
所以||的最小值
故答案为：
【点睛】此题考查求距离的最值问题，以向量为背景，通过几何关系进行转化，转化为求圆及其内部的点到直线距离的最值问题，涉及数形结合思想.
15．已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数恰有个零点，转化为函数的图象有个交点，分的左半段和右半段两种情况，结合函数图象分析求解.
【详解】因为函数恰有个零点，
所以函数的图象有个交点，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：

当，即是，的左半段为，
由，消去y得，
令，解得或，
当时，，解得，不成立，
故，
当，即时，的右半段为，
由，消去y得，
令，解得或，
当时，，解得，不成立，
故，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
16．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有 ．

①椭圆的长轴长为；
②线段长度的取值范围是；
③面积的最小值是4；
④的周长为．
【答案】①②④
【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断①；由椭圆性质可判断②；取特值，结合长度的取值范围可判断③；由椭圆定义可判断④.
【详解】解：由题知，椭圆中的几何量，所以，
则，故①正确；
因为，由椭圆性质可知，所以，故②正确；
记，则

取，则，故③错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，故④正确.
故答案为：①②④


四、解答题
17．数列的通项公式为，求：
(1)数列的前项和；
(2)数列的前项和．
【答案】(1)55
(2)

【分析】（1）形如，运用并项求和法，先判断相邻两项和的关系，即可以两两合并进行求解．
（2）由于的奇偶性未知，应分为奇数和为偶数两种情况讨论．
【详解】（1）
；
（2）当为偶数时，．
因为成等差数列，共项，所以．
当为奇数时，
．
故．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若AD为的平分线，且，，求的周长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角恒等式的化简可得，进而可得结果；
（2）通过三角形面积公式可得，，结合余弦定理求出即可得出周长.
【详解】（1）∵，由正弦定理可得，
即，
化简得，
又∵在中，，
∴，即，
∴，结合，可知.
（2）∵AD为的平分线，，∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点.

（1）求证：平面平面EFD；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）详见解析（2）
【分析】（1）根据面面平行的判定定理，在面EFD内找两条相交直线平行于平面，即可证出；（2）根据等积法，，先求出三角形DEF的面积，再求出，即可求出点到平面的距离．
【详解】（1）由题意知：点是的中点，且，
所以，所以四边形是平行四边形，则.
平面，平面，所以平面.
又因为分别为的中点，所以.
平面，平面，
所以平面.
，所以平面平面.
（2）中，，，，
所以，所以
因为平面平面，
平面平面
所以平面.
连，取的中点，连，易知，
平面且.
设点P到平面EFD的距离为d.
在Rt△中，

在Rt△中，
在Rt△中，
在Rt△中，
在△中，，
即，
解得，

所以
所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离.
在Rt△中，，
所以，，
所以.
所以，
即，
即，解得.
所以，点到平面的距离为.
【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理的应用以及利用等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力．
20．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
(1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？

Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男



女



合计



(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
【答案】(1)列联表见解析，男性患者至少有6人
(2)答案见解析

【分析】（1）根据题干条件完善列联表，并计算卡方，列出不等式，求出男性患者至少有6人；
（2）计算出甲团队试验总花费的平均值，乙团队试验总花费的平均值，进而作差得到，根据不同的范围，选取不同的团队.
【详解】（1）2×2列联表如下：

Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男


z
女


2z
合计


3z
要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得：．
因为，，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人．
（2）设甲研发团队试验总花费为X元，；
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m，
所以，，
所以；
因为，所以．
①当时，，因为，所以，
所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；
②当时，，因为，所以，
所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；
③当时，，
所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．
21．已知为双曲线：的左焦点，经过作互相垂直的两条直线，，斜率分别为，，若与交于，两点，与交于，两点，为的中点，为的中点，为坐标原点.当时，直线的斜率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求与的面积之比.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，由点差法即可得到，从而得到双曲线的标准方程；
（2）根据题意，联立直线与双曲线方程结合韦达定理，表示出直线的方程，从而可知其恒过点，即可得到与的面积之比.
【详解】（1）依题意可知，，设，
则，两式作差可得，
即，又当时，直线的斜率为，
所以，所以，
又因为，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，
直线与双曲线方程联立，
整理得，且，
则，
所以，即，
因为直线垂直，所以，
用替换，得到，
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即

令，得，所以直线过点，
当时，即时，直线的方程为，直线过
综上，直线恒过点.
所以与的面积之比为.
【点睛】解答本题的关键在于得到直线恒过定点，需要先表示出点的坐标，然后结合直线点斜式即可得到其方程，从而得到结果.
22．已知函数，.
(1)设在处的切线为，在处的切线为，若，求的值；
(2)若方程有两个实根，求实数a的取值范围；
(3)设，若在内单调递减，求实数b的取值范围.
【答案】(1)0；
(2)；
(3)

【分析】（1）求导，利用时k值相等，即可化简求出答案；
（2）参变分离，利用导数讨论不含参部分的单调性，由数形结合即可得到答案；
（3）由题意，求导，因为在内单调递减，所以在内恒成立，再参变分离，用导数法分析讨论即可.
【详解】（1），，
∵，∴，故；
（2）方程，∴，则方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
令， 则，
当时，，∴，故单调递增；
当时，，∴，故单调递减.
从而，且，；，，如图所示，

故.
（3）由题意，得，
因为在内单调递减，所以在内恒成立，
∵，故只需在内恒成立，
令， ，
当时，，故单调递减；当时，，故单调递增，故，
设，构造函数，
故，
故在上单调递减，，
∵，∴，即，
又，∴，
∵，，∴在单调递增，∴
∵，∴当时，
又，故，∴，
∴.
【点睛】由函数的单调性求参数的取值范围的方法：
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 (或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 (或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．