2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期末数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省镇江第一中学高二下学期期末数学试题

一、单选题
1．复数，则的虚部为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解.
【详解】由得，所以，故的虚部为为 ，
故选：C
2．的展开式中项的系数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出项的系数作答.
【详解】二项式展开式的通项公式为：，
令，解得，于是，
所以所求系数为.
故选：A
3．设等差数列的前n项和为，若，则（    ）
A．44 B．48 C．55 D．72
【答案】A
【分析】利用基本量法可得，故可求的值.
【详解】设的公差为d，则，即，
则，
故选：A.
4．3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，则第一名同学抽到奖券的概率和最后一名同学抽到奖券的概率分别是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据组合数求条件概率以及分步乘法原理即可求解.
【详解】第一名抽到奖券的概率是，
第三名抽到奖券的概率是，
故选：B.
5．若函数区间上不存在单调增区间，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可知，，，由参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
因为函数在区间上不存在单调递增区间，
所以，，，则，
因为函数在上单调递增，
故当时，，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
6．如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求.
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又因为二面角的大小为，即，则，
因为，由图易知，，
所以，
.
故选：C.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.


8．某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.
【详解】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，
“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，
则，
由全概率公式得，
所以它来自生产线的概率是.
故选：B

二、多选题
9．下列命题中正确的是（    ）
A．数据的第25百分位数是1
B．若事件的概率满足且，则相互独立
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则
【答案】BCD
【分析】对于A：根据百分位数分析运算；对于B：根据条件概率和独立事件分析判断；对于C：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断.
【详解】对于选项：8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项：由，可得，
即，可得，
所以相互独立，故B正确；
对于选项C：因为，则，故C正确；
对于选项D：因为随机变量，
由正态曲线的对称性可得：，则，
所以，故D正确；
故选：BCD.
10．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是（    ）
A．若男、女样本量分别为，，则总样本的平均值为171.4
B．若男、女样本量分别为，，则总样本的方差为36
C．若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为170
D．若男、女的样本量都是，则总样本的方差为61
【答案】ACD
【分析】根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】若男、女样本量分别为，，
则总样本的平均值为，
总样本的方差为
故A正确，B错误；
若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为，
总样本的方差为，
故C、D正确；
故选：ACD.
11．已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
12．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上一个动点，则（    ）

A．存在点G，使直线平面
B．存在点G，使平面∥平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得截面的最大面积为
【答案】ACD
【分析】对于A项，可以通过取的中点H、I，连接HI交于G点，判定即可；
对于B项，通过反证，利用面A1DCB1与面和面的交线PG、DH是否能平行来判定；
对于C项，通过等体积法转化即可判定；
对于D项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可.
【详解】对于A项，如图所示，

取的中点H、I，连接HI交于G点，此时∥，由正方体的性质可得，，所以平面，故A正确；
对于B项，如图所示，连接，H为侧面CB1的中心，则面A1DCB1与面和面分别交于线PG、DH，
若存在G点使平面∥平面，则PG∥DH，又A1D∥CB1，
则四边形PGHD为平行四边形，即PD=GH，而PD＞，
此时G应在CB1延长线上，故B错误；

对于C项，随着G移动但G到面的距离始终不变即，
故是定值，即C正确；
对于D项，若G点靠C远，如图一所示，过G作QR∥EF，即截面为四边形EFQR，
显然该截面在G为侧面CB1的中心时取得最大，最大值为，

若G靠C近时，如图二所示，G作KJ∥EF，延长EF交DD1、DA延长线于M、H，连接MK、HJ交D1C1、AB于L、I，则截面为六边形EFIJKL，当KG为中点时取得最大值，最大值为，，即D正确；

故选：ACD

三、填空题
13．高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）
【答案】35
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、组合应用问题列式计算作答.
【详解】不同的选人方案有3类，既能唱歌又会跳舞的人不选有种，
既能唱歌又会跳舞的人选去唱歌有种，既能唱歌又会跳舞的人选去跳舞有种，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选人方案共有35种.
故答案为：35
14．直线与圆C：相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则 ．
【答案】/
【分析】求得圆心和半径r，在中，由余弦定理计算可得，由圆和直线相交的弦长公式可得C到直线的距离d，再由点到直线的距离公式，解方程可得a的值．
【详解】，即，
所以圆C的圆心C（1，1），半径为r＝2.
由中，，，可得.
设圆心C到直线的距离为d，可得222，即d＝1，
则1，解得a.
故答案为：．
15．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
的极大值为，又，
画出函数的大致图象如图，
  
，即.
故答案为：.
16．双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．

故答案为：

四、解答题
17．已知数列满足：.
(1)求的通项公式；
(2)若数列是等比数列，且，求关于的表达式.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列的定义判断得数列是等差数列，计算公差，再写出通项公式即可；
（2）根据（1）写出数列的通项公式，再根据等比数列计算公比，写出等比数列的通项公式，两式相等即可得关于的表达式.
【详解】（1）
所以数列是等差数列，
设其公差为，则，
.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知.
因为数列是等比数列，且，
数列的公比，
由等比数列的通项公式可得
，
18．小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1∼5．
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6
(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表，请将列联表补充完整，并回答：依据的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电与年龄有关？

青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80


不喜欢购买智能小家电

60

合计
110

200
参考数据及公式：
，，中，
，
附：临界值表

0.10
0.010
0.001

2.706
6.635
10.828
【答案】(1)
(2)能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关

【分析】（1）利用已知数据计算相关系数，从而可判断与的线性相关程度，再利用公式计算相关量即可得回归方程；
（2）完成列联表，根据给定数据判断得出结论．
【详解】（1）由已知得，，
，，
，
所以，
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系．
由题可得，，
，
，
故与的经验回归方程为．
（2）由题意可得如下2×2列联表：

青少年
中老年
合计
喜欢购买智能小家电
80
30
110
不喜欢购买智能小家电
30
60
90
合计
110
90
200
所以，
所以能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关．
19．已知函数
(1)判断在定义域上是否存在极值？若存在求出其极值，若不存在说明理由．
(2)若在恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)

【分析】（1）求导，先判断单调性，再求出判断极值是否存在即可；
（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再求出最值即可.
【详解】（1），，
记，
则当；当,
即在单调递减，在单调递增，
，
在R上单调递增，即在定义域R上极值不存在.
（2）因为在恒成立，
所以在恒成立.
显然当不等式成立，
当时，在上恒成立，
令，则,
记，
当时，单调递增，故，
故当时，，即，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以.
综上，实数的取值范围是．
20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，

过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．

作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，

在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
21．《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
【答案】(1)
(2)，甲队开球的概率大于乙队开球的概率

【分析】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，求三种情况的概率之和即可.
（2）由与的关系式求得的通项公式，进而得，比较与即可.
【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，对应的概率分别记为：、、，
；
；
，
所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率.
（2）由全概率公式可得，，
即.
易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故.
又因为，所以.
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率.
22．在平面直角坐标系xOy中，已知是椭圆C：上一点，从原点O向圆R：作两条切线，分别交椭圆C于P、Q两点．

(1)若点R在第一象限，且直线，求圆R的方程；
(2)若直线OP、OQ的斜率存在，并分别记为、，求的值；
(3)试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)为定值 27

【分析】（1）首先求出，即，结合，解出值，则得到圆的方程.
（2）设直线OP：和OQ：，根据相切得到，则，再利用，进行代换得到斜率之积定值.
（3）设，，由（2）知，所以，故，再利用点在椭圆上，代入化简得，而，最后求出为定值.
【详解】（1）由圆R的方程知圆R的半径，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以，即①
又点R在椭圆C上，所以②
联立①②，解得，
所以，所求圆R的方程为；
（2）因为直线OP：和OQ：都与圆R相切，
所以，，即，为两根，两边平方，可得
所以，
因为点在椭圆C上，所以，即，
所以；
（3）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，
由（2）知，
所以，故，
因为，在椭圆C上，
所以，，，
即，，
所以，整理得，
所以 ，
所以．
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，
以点在第一象限为例，若直线OP落在轴上，令，则，
解得，此时点距离轴距离等于半径,故轴与圆相切，故此时直线OQ与轴重合，则当直线OP落在轴上，直线OQ落在轴上，
此时点为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，显然有，由椭圆对称性知，直线OP在x轴上，OQ必在y轴上，且，
综上可得，为定值 27．
【点睛】思路点睛：定值问题，运用了构建一元二次方程来求斜率之积，而第三小问并没有使用设线法，而是设点法，利用了第二问的结论，同时运用了消元代换，得到关键的，再利用点在椭圆上得到，从而最后得到定值，同时对于特殊情况要单独讨论.