2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期末模拟数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期末模拟数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期末模拟数学试题

一、单选题
1．设随机变量则（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布的计算公式计算即可.
【详解】由于随机变量服从超几何分布，
所以.
故选：D.
2．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（    ）．
A．68种 B．70种 C．72种 D．74种
【答案】B
【分析】选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
【详解】直接法：一男两女，有种，
两男一女，有种，共计种
间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，
都是女医生有种，于是符合条件的有种．
故选:B．
3．下列命题中不正确的命题是（   ）
A．线性回归直线必过样本数据的中心点；
B．当相关性系数时，两个变量正相关；
C．如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1；
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低；
【答案】C
【分析】A选项，线性回归方程必过；BC选项，根据相关系数的意义作出判断；D选项，根据残差分析中残差点所在的水平带状区域的意义判断.
【详解】A选项，线性回归直线必过样本数据的中心点，故A说法正确；
B选项，当相关性系数时，两个变量正相关，相关性系数时，两个变量负相关，故B说法正确；
C选项，相关系数，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1，故C说法错误；
D选项，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，D说法正确；
故选：C
4．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（    ）

A．成绩在分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】D
【分析】用频率分布直方图的相关知识和公式逐一计算验证选项.
【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；
由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；
由频率分布直方图可得：平均分等于，故C正确；
因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查频率分布直方图的众数、中位数、平均数以及样本容量的求法，考查学生的计算能力，熟记公式是解题的关键，属于中档题.
5．若多项式，则（　　）
A．181 B． C．179 D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理，结合二项式展开式项的系数的求法求解即可.
【详解】由，
得，
所以，
故选：D
6．长时间玩手机可能会影响视力，据调查，某校大约有32%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机的时间超过1h，这些人的近视率约为40%．现从每天玩手机的时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则这名学生患近视的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】设“玩手机时间超过1h的学生”“玩手机时间不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人患近视”，则，且，互斥，，，，，由，得，解得
故选：A.
7．已知斜率存在的直线l与椭圆交于A，B两点，且l与圆切于点P.若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】利用点差法，结合点的坐标满足圆方程，以及与直线垂直，联立方程组求得点的坐标，即可求得直线的斜率.
【详解】设点的坐标分别为，
则：，作差后可得：，
即：；
又因为直线与直线垂直，故可得，
与联立后可得：，解得，
又因为点在圆上，故可得：，解得，
则，即直线的斜率为或.
故选：C.
8．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用、的形式构造函数，应用导数研究其在上单调性，进而比较相应函数值的符号，即可知参数的大小关系.
【详解】由，令且，
所以，
令且，则，即递减，
所以，故在上恒成立，则在上递减，
所以，即，则；
由，令且，
所以在上递增，故，
故在上递增，，即，则；
综上，.
故选：C
【点睛】关键点睛：应用作差法得到某种函数形式，并构造函数研究单调性判断函数值的符号即可.

二、多选题
9．下列命题中正确的是（    ）
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量X~，若，则
C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为
【答案】ACD
【分析】利用中位数的概念即可判断A正确；对于选项B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对选项C，利用正态分布的对称性即可求解，对选项D，利用平均数和方差公式计算即可
【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；
对选项B，，则，故B错误；
对选项C，，函数为偶函数，
则，
区间与关于对称，
故，选项C正确；
对选项D，分层抽样的平均数，
按分成抽样样本方差的计算公式，选项D正确.
故选：ACD.
10．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ）
A． B．事件A和事件B互为对立事件
C． D．事件A和事件B相互独立
【答案】ACD
【分析】求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D.
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，
则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；
选项C：，则.判断正确；
选项D：，又，,
则有成立，则事件A和事件B相互独立.判断正确.
故选：ACD
11．在四棱锥中，侧棱长均相等，则下列说法中正确的是（    ）
A．四条侧棱与底面所成的角均相等
B．正四棱锥体积最大时，其高与侧棱长之比为
C．若各条棱长均为，其内切球半径为
D．若各条棱长均为，不相邻的两个侧面的夹角余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据直线与平面所成角的定义，结合，可判定A正确；设正四棱锥的底面边长为，求得体积为，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，进而可判定B正确；设四棱锥的内切球的半径为，结合体积相等，得到，可判定C错误；设平面平面，证得平面，得到,，得出为平面与平面所成二面角的平面角，结合余弦定理，可判定D正确.
【详解】对于A中，设顶点在底面内的射影为，连接，可得平面，
再连接，则为个侧棱与底面所成的角，
因为，可得，
所以，所以侧棱与底面所成角的相等，所以A正确；
  
对于B中，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，可得底面对角线长为，底面面积为，所以高为，
所以四棱锥的体积为，
令，可得，
令，解得；令，解得，
所以当时，四棱锥的体积取得最大值，此时，
此时高与侧棱长之比为，所以B正确；
对于C中，若各条棱长均为，设底面中心为，连接，则，
设四棱锥的内切球的半径为，分别连接，
得到四个三棱锥和一个四棱锥，其中它们的高均为，
所以，
即，解得，所以C错误；
  
对于D中，因为若各条棱长均为，则该四棱锥为正四棱锥，设平面平面，
因为，且平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，且平面，所以，
取的中点，分别连接，
因为，且，平面，
所以平面，所以平面，
又因为平面，所以,，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，设，
侧面正三角形的斜高为，且，
在中，可得，所以D正确.
故选：ABD.
  
12．设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（    ）
A．当时，的斜率为2 B．当时，
C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条
【答案】ABD
【分析】由点差法得，由此判断AB正确；当的斜率不存在时判断是否符合要求，当的斜率存在时,由直线与圆切于得必在直线上，根据给定的求出位置，根据是否在抛物线内部判断CD是否正确.
【详解】如图,设,,

则,两式相减得,.
当的斜率存在时,，则有,
又,所以.
当时，，故A正确；
由,得,
即,因此,即必在直线上.
当时，，点，直线的方程为，恰好过抛物线焦点，
故，故B正确；
将代入,得,由在抛物线内部得，
因为点在圆上,所以,
当时，，解得，与矛盾，此时的斜率为的直线不存在，当的斜率不存在时,符合条件的直线只有一条，故C错误；
当时，，解得，符合，此时的斜率为的直线有两条. 当的斜率不存在时,符合条件的直线也有两条，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.
当斜率存在时，先确定点一定在直线上，再用点一定在抛物线内部判断给定的是否符合要求.

三、填空题
13．某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为 ．
/万件
1
2
3
4
/万件
3.8
5.6

8.2
【答案】6.4/
【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据的值.
【详解】由题意及表知，
，，
∵回归方程是，
∴，
∴．
故答案为：6.4.
14．已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题可设高为，半径为，然后根据体积为得出，最后根据圆柱的表面积公式以及基本不等式即可得出结果.
【详解】设高为，半径为，则，整理得，
故圆柱的表面积，
当且仅当时等号成立，
故答案为：.
15．已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先将圆化为标准方程求得圆心与半径，再利用弦长公式求得，从而得到，由此利用基本不等式即可得解.
【详解】因为圆可化为，故圆心为，半径为，
所以圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
所以，则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.

四、双空题
16．如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 .

【答案】
【分析】根据平面向量线性运算得到，结合题干条件得到，整理后得到，从而根据求出，得到，构造法得到为等比数列，求出的通项公式.
【详解】因为是边上一点，且，
故，
为直线上一点列，则，
因为，
则，故，
整理得：，即，
若，则，解得：，此时，解得：，
故为常数为1的数列，但，不合要求，故，
故，
令得：，
因为，所以，解得：
令，则，
即，因此，
所以为等比数列，公比为，首项为，
故，故
故答案为：，
【点睛】由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，
（1）若，采用累加法；
（2）若，采用累乘法；
（3）若，可利用构造进行求解；

五、解答题
17．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．
班级
成绩
合计
优秀
非优秀
甲班
20


乙班

60

合计


210
(1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．
附：
a
0.05
0.01

3.841
6.635
【答案】(1)联表见解析，有关；
(2)的分布列见解析，=.

【分析】（1）由题知优秀的人数为，然后可完成表格的填写,并计算得，从而得出结论；
(2)由，，可得分布列，从而计算E()即可.
【详解】（1）解:由题知优秀的人数为（人），
所以列联表如下：
班级
成绩
合计
优秀
非优秀
甲班
20
90
110
乙班
40
60
100
合计
60
150
210
假设 ：成绩和班级无关，
则：>6.635=,
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故成绩与班级有关；
（2）解：因为，且 ，
所以的分布列为：

0
1
2
3
P




所以E()=0+1+2+3=.
18．已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前2023项的和.
【答案】(1)
(2)2023

【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得的通项公式，分析可得的通项公式；
（2）根据的关系式，结合并项求和即可得的前2023项的和.
【详解】（1）对任意的，因为，
当时，
，
因为，故.当时，符合，
所以，.
（2），
所以当时，，
故.
19．如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．
  
(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角；
（2）设可得，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算.
【详解】（1）由题意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
若为的中点，则，可得，
设异面直线与所成角，则.
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2）若动点在线段上，设，
则，可得，解得，
即，则，
由题意可知：平面的法向量为，
  
设与平面所成角为，
则，
对于开口向上，对称轴为，
可得当时，取到最小值，
所以的最大值为，因为，
故与平面所成角的正弦最大值为.
20．最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）比赛不公平，理由见解析.
【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；
（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.
（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与比较大小即可.
【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件
则
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分






所以的分布列为：

6
7
8
9
10
11







所以的数学期望.
（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为
由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为
则摸球人获胜的概率为
所以比赛不公平.
【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.
21．已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）结合余弦定理和二倍角公式，利用双曲线定义即可得出，，进而得出双曲线的方程.
（2）设直线的方程为，，，联立方程利用韦达定理以及表示直线和直线的方程，两方程相减即可表示出定直线.
【详解】（1）在中，

，
即，
所以，
因为双曲线的焦点在轴，，，
所以，则双曲线的方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，
联立方程组，消去，
并整理得，
设，，则，
又设，
则得直线的方程为，
直线的方程为，
两个方程相减得，
因为，
把它代入得，
所以，
因此直线与的交点在直线上．
  
【点睛】方法点睛：直线和双曲线的位置关系问题，从以下几个角度分析：
（1）双曲线定义在几何图形中的使用；
（2）涉及三角形问题中，解三角形的余弦定理等三角函数的应用；
（3）直线和双曲线交点，联立方程使用韦达定理表示参数；
（4）数形结合思想的应用.
22．已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；
(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】(1)；
(2)0
(3)

【分析】（1）求出导函数，由，，可求得；
（2）由导函数确定的单调性，极值，得出和都是图象上唯一的点，证明的图象关于点对称，由对称可得，从而得函数值；
（3）由对称性，把不等式化为，再利用，，结合单调性、极值，即可转化为恒成立，由二次不等式知识可得．参数范围．
【详解】（1），在中令得，即，
所以，解得；
（2）由（1），
，
或时，，时，，
在和上递增，在上递减，
极大值为，极小值为，
，，因此都是唯一的实数．


，
所以的图象关于对称，而，
又和都是图象上唯一的点，
所以，
；
（3），当且仅当时，，
所以，且时，，
由f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，得（*）,
又的图象关于点对称，所以，
所以不等式（*）为，
所以，所以恒成立，
，所以．