2022-2023学年江苏省南通市高二下学期期末模拟数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市高二下学期期末模拟数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市高二下学期期末模拟数学试题 一、单选题1．若，则x的值为（    ）A．4 B．6 C．4或6 D．8【答案】C【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C2．已知x，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用特殊值法及对数的性质判断A、B、C，根据指数函数的单调性判断D.【详解】A：当时，，错误；B：当时，无意义，错误；C：当时，，错误；D：由于在R上递减，故，正确.故选：D3．定义运算，则符合条件的复数 对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】由题意可得：，即，∴，则复数对应的点的坐标为在第二象限，故选B.4．文创产业被认为是21世纪全球最有前途的产业之一，将成为一种更高层次的全新产业形态，也就是所谓的“第四产业”.为拉近文物与年轻人的心理距离，故宫博物院推出“故宫猫祥瑞”系列盲盒：锦鲤、天马、钟馗、狎鱼、狻猊、行什、狮子、凤凰、葫芦、青铜（共10款），其设计灵感来自故宫文物：故宫太和殿部分脊兽，金大吉葫芦式挂屏，清道光款矾红彩鱼蝠盘等.故宫盲盒售卖点还剩下12个“故宫猫祥瑞”盲盒存货，其中狻猊、葫芦各2个，其余8款各剩1个，小明同学去该售卖点购买了2个“故宫猫祥瑞”盲盒，问买到不同款式盲盒的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出小明同学去该售卖点购买了2个“故宫猫祥瑞”盲盒的方法总数和买到不同款式盲盒的方法总数，由古典概率的公式求解即可.【详解】故宫盲盒售卖点还剩下12个“故宫猫祥瑞”盲盒存货，小明同学去该售卖点购买了2个“故宫猫祥瑞”盲盒，则有种方法，买到不同款式盲盒共有：种方法，所以买到不同款式盲盒的概率为：.故选：A .5．设向量, ,若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量等于(　　)A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】因为对应有向线段首尾相接,所以,故有.故选：D．6．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若则；③若则；④若则．其中真命题的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依次判断每一个命题的真假，然后选出答案.【详解】①若，则，命题为真命题；②若则或，所以命题为假命题；③若所以，又因为，则，所以命题为真命题；④若，则，命题为真命题.故选：C.7．已知不等式对恒成立，则正实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，不等式可化为，即，令，利用导数求出的最大值即可.【详解】由可得，令，易知在上单调递增，又有（∵，∴，），∴对任意的均成立，∴，令，，则，则当时，，单调递增；当，，单调递减，所以，∴．故选：A．8．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（    ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解.【详解】，与是的子集，，对子集分情况讨论：当时，，，，，有种情况；当时，，，有种情况；当时，，，有种情况；当 时，，有种情况；所以共有种，故选：D. 二、多选题9．将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（    ）A．由，类比为：B．由，类比为：C．由，类比为D．由，类比为：【答案】AB【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可.【详解】设，，则，所以，，A正确；，，C错误；设，所以，，因为复数与实数不能比较大小，故D错误，，，因为，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，故，又，所以，B正确；故选：AB.10．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值 D．的解集为【答案】ABD【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取，，且，则，，所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.故选：ABD． 三、单选题11．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，构造函数，利用其单调性比较.【详解】解：令，则，因为，所以，则在上单调递减.所以，故，，故选：C 四、多选题12．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（    ）A．该正方体的棱长为2 B．该正方体的体对角线长为C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为【答案】BD【分析】设内外球半径分别为r，R，利用正方体的对角线求得，根据两球上点的距离最小值为，求解后得到r，R，进而求得正方体的对角线和外接球的表面积.【详解】设内外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为，体对角线长为，∴，又由题知，所以，，∴正方体棱长为，体对角线长为，∴外接球表面积为，故选：BD. 五、填空题13．乘积式展开后的项数是           .【答案】18【分析】根据分步乘法计数原理计算可得.【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，从第二个括号中选一个字母有种方法，从第三个括号中选一个字母有种方法，按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项；故答案为：14．已知点，则在上的投影向量为              ．（用坐标表示）【答案】【分析】由投影向量定义可得答案.【详解】在上的投影向量为，其中为与同向的单位向量，则.又，，，则.故答案为：15．如果关于的方程在区间内有解，写出的一个取值      .【答案】6（答案不唯一）.【分析】构造函数，则由题意根据零点存在性定理可得，从而可求出的范围，进而可得答案.【详解】设，因为方程在区间内有解，所以函数在内有零点，所以，所以，则的一个取值为6，故答案为：6（答案不唯一）.16．若对于曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为        ．【答案】【分析】先求f′（x）=﹣ex﹣1，令﹣ex﹣1，进一步得 ∈（0，1），再求g′（x）=a﹣2sinx，令 =a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，把l1⊥l2转化为集合间的包含关系求解即可．【详解】由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，所以﹣ex﹣1 ∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．故答案为：[－1,2]【点睛】本题考查了两个函数在点的切线斜率间的关系，利用了导数的几何意义，把问题转化为集合间的包含关系是解题的关键，属于中档题． 六、解答题17．(1)若，求正整数；(2)已知，求.【答案】(1)8(2) 【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；（2）利用组合数公式可得，即求.【详解】（1）由得，，又，∴，即，∴正整数为8.（2）由得，，∴即，解得或，又，∴，∴.18．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】(1)求导得，分四种情况：当时，当时，当时，当时，讨论的单调性；(2)由(1)知，当时，，只需，解得；当时，，矛盾，进而可得答案.【详解】解：（1），当时，在上单增，在上单减；当时，或在和上单增，在上单减；当时，在上单增；当时，或在和上单增，在上单减；（2）由（1）知，当时，，故只需，即；当时，，矛盾；故，即a的取值范围为19．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：.【答案】（1）不可以，见解析（2）见解析【解析】（1）不能，还需要个体的数目或抽取样本量，再计算估计式得到答案.（2）根据关系式，代入化简得到答案.【详解】（1）不可以估计总体平均数，需要第1，2，3层中包含个体的数目A，B，C，或抽取样本量分别为a，b，e，则估计式为:或.（2）样本平均数为.在比例分配的分层随机抽样中，，【点睛】本题考查了分层抽样相关问题，意在考查学生对于分层抽样的理解和掌握.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为中点，为中点，为线段上一点.  (1)若为中点，求证：平面；(2)设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若，求的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)或1. 【分析】（1）连接交于点，连接，易得为平行四边形，即为中点，可得，再由线面平行的判定证结论.（2）取中点，连接，由中点及线面垂直的性质得底面，则为直线与底面所成角，过作于，连接，，利用线面垂直的判定及性质得，则为二面角的平面角，用线段表示出，结合求的长度.【详解】（1）连接交于点，连接，  底面为正方形，为中点，且，四边形为平行四边形.为中点，又为中点，，又平面，平面，平面.（2）取中点，连接.为线段中点，且，又底面，底面，为斜线在平面内的射影，则为直线与底面所成角，即，.过作于，连接，.底面，底面，，又，，面，平面，平面，，综上，为二面角的平面角，即，.由，知，即.设，，则，，，由得：，化简得，解得或，则或1.  21．已知函数，.（1）对任意的，恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用的单调性以及对数函数的单调性，即可求出的范围（2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理和数形结合进行分析，即可求解【详解】解：（1）因为是增函数，是减函数，所以在上单调递增.所以的最小值为，所以，解得，所以实数k的取值范围是.（2）函数的图象在上连续不断.①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，所以.根据函数零点存在定理，存在，使得.所以在上有且只有一个零点.②当时，因为单调递增，所以，因为.所以.所以在上没有零点.综上：有且只有一个零点.因为，即，所以，.因为在上单调递减，所以，所以.【点睛】关键点睛：对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解。本题考查函数的性质，函数的零点等知识；考查学生运算求解，推理论证的能力；考查数形结合，分类与整合，函数与方程，化归与转化的数学思想，属于难题22．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数，试求的伴随向量；(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得.（3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.【详解】（1），所以.（2）依题意，由得，，所以，所以.（3）的函数解析式，所以区间的长度为，函数的周期为，若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，最大值为1，当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：，故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.