2022-2023学年吉林省长春市朝阳区长春外国语学校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区长春外国语学校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解出集合，利用交集运算求解.

【详解】由题，,则.

故选：C.

2．社会劳动实践期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻，则不同的站法有（    ）

A．240种 B．192种 C．144种 D．48种

【答案】A

【分析】根据题意，由相邻问题“捆绑法”即可得到结果.

【详解】由题意可得，，所以不同的站法有种.

故选：A

3．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A．2 B． C．－2 D．－

【答案】A

【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.

【详解】依题意，，，

函数的周期为6，

故，

在R上的奇函数,，

又，则．

故选：A．

4．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断出，且，从而可得答案.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：B.

5．函数与在均单调递减的一个充要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出函数与在上单调递减时，a的取值区间，从而可得答案.

【详解】因为函数在上单调递减，所以即；

因为函数在上单调递减可得，解得，

若函数与均单调递减，可得，

所以函数与均单调递减的一个充要条件是.

故选：A

6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.475，则的值为（    ）

A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95

【答案】B

【分析】利用全概率公式计算可得.

【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，

则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，

所以，，，，，，

所以接收信号为的概率为：，

解得

故选：B.

7．函数的图象大致为（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】B

【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.

【详解】由，排除A，D，

当时，，所以，排除C．

故选：B．

8．用模型拟合一组数据，其中.设，变换后的线性回归方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

【详解】因为，所以，则，

即，

所以.

故选：A

二、多选题

9．对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和，则（    ）

A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强

B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强

C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好

D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好

【答案】BD

【分析】根据样本的相关系数，残差平方和，决定系数的意义判断.

【详解】解：由越趋近1，数据的线性相关关系越强知，A错误；B正确；

由残差平方和越小，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，C错误；

由决定系数越大，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，D正确，

故选：BD

10．下列说法正确的有（    ）

A．实数是成立的充分不必要条件

B．已知的定义域为，则的定义域为

C．

D．函数在区间内是减函数

【答案】AC

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据抽象函数的定义域判断B，根据指数函数、对数函数的性质判断C，根据幂函数的性质判断D.

【详解】对于A：当，则，故，即充分性成立，

当，，满足，但不满足，故必要性不成立，

所以实数是成立的充分不必要条件，故A正确；

对于B：的定义域为，令，解得，

故的定义域为，故B错误；

对于C：，，，所以，故C正确；

对于D，因为，

又可以由向右平移个单位，再向下平移个单位得到，

因为在上单调递增，所以函数在区间内是增函数，故D错误．

故选：AC．

11．某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：

在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.

【详解】由题意得，

对于A，因为与互斥，所以，所以A正确，

对于B，，所以B错误，

对于C，

，所以C正确，

对于D，，所以D错误，

故选：AC

12．已知，则下列不等式成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】结合指数函数的单调性解得，然后由不等式性质逐项分析各选项即可；

【详解】由，即，所以，则，故A正确，

对于B，因为，所以，故B正确；

对于C：当，时，故C错误；

对于D：因为，则在上为增函数，

由得，故D错误；

故选：AB

三、填空题

13．在的展开式中，含项的系数是       .

【答案】5

【分析】写出展开式的通项，再令，解得，最后代入计算可得.

【详解】二项式展开式的通项为（且）

令，解得，所以，

即展开式中含项的系数为.

故答案为：

14．设函数，其中且，且，，则的解析式为       .

【答案】

【分析】由已知条件列方程组可求出，从而可求出函数解析式

【详解】因为，，

所以，

因为且，所以解得，

所以，

故答案为：

15．已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为        .

【答案】/

【分析】先求导，根据在点处的切线斜率，找到，利用基本不等式代“1”法求解.

【详解】由题，则，

因为，为正实数，

则，

当且仅当时取到等号.

故答案为：.

16．若、是从集合中随机选取的两个不同的数，则使得函数是偶函数的概率为           .

【答案】/

【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“函数是偶函数”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】对于幂函数而言，当为奇数时，函数为奇函数，

当为偶数时，函数为偶函数，

若、是从集合中随机选取的两个不同的数，以为一个基本事件，

则所有的基本事件有：、、、、、、、、

、、、、、、、、、、

、，共种，

若函数是偶函数，则、均为偶数，则必为偶数，

所以，事件“函数是偶函数”所包含的基本事件有：、、

、、、、、，共种，

故事件函数是偶函数”的概率为.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知，求实数的值；

（2）

【答案】（1）； （2）

【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可；

（2）利用指数幂的运算性质求解即可.

【详解】（1）；

（2）.

18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求时，的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，，即可得出在上的解析式；

（2）分、、解不等式，综合可得出不等式的解集.

【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，则，

当时，，则，所以，．

（2）解：当时，．

当时，，可得或，解得；

当时，，可得，解得．

综上所述，不等式的解集为.

19．已知函数，（其中）.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围.

【答案】(1)的递增区间为，递减区间为

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间；

（2）由，得，则于，则转化为，构造函数，利用导数求出其最大值即可.

【详解】（1）当时，，定义域为，

，

当时，，当时，，

所以的递增区间为，递减区间为

（2）由，得，

当时，，所以，

令，则，

所以在上递增，所以，

所以，得，

即的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，再构造函数，然后利用导数求函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题.

20．随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：

(1)完成列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；

(2)若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人按照是否选择新能源用分层抽样的方式抽取5人参加幸运抽奖活动，再从5个人中抽出两名幸运奖，表示得到幸运奖的是“选择新能源汽车”的人数，求的分布列及数学期望.

附：.

【答案】(1)列联表见解析，可以认为与年龄有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断；

（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【详解】（1）由题意可得列联表如下：

所以，

依据的独立性检验，能认为选择新能源汽车与年龄有关.

（2）依题意“选择新能源汽车”的抽取人，“选择传统汽车”的抽取人，

依题意的可能取值为、、，

则，，，

所以的分布列为：

所以.

21．小张准备在某商场租一间商铺开餐厅，为了解市场行情，在该商场调查了20家餐厅，统计得到了它们的面积（单位：）和日均客流量（单位：百人）的数据，并计算得，，，.

(1)求关于的回归直线方程；

(2)已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小张应该租多大面积的商铺?

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)

(2)100

【分析】（1）由所给数据求出，，即可求出、，从而得解；

（2）依题意可得，，再利用换元法、结合二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）由已知可得，，

，

，

所以回归直线方程为；

（2）根据题意得，，

设，，

令，则，

令，，

当时取得最大值，即时取最大值，

又因为，，所以此时也取最大值，

因此小李应该租的商铺．

22．为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.

(1)求样本中学生分数的平均数（每组数据取区间的中点值）；

(2)假设分数Z近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数(结果四舍五入)；

(3)学校规定：分数在内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

（参考数据：若随机变量，则）

【答案】(1)

(2)2730人

(3)

【分析】（1）先求出平均数;

（2）由题意可得分数Z近似服从正态分布，然后根据正态分布的性质可求出分数在内的概率，从而可求出人数；

（3）由题意得随机变量X的所有可能取值为求出各自对应的概率，从而可求得X的分布列与数学期望.

【详解】（1）样本的平均数.

（2）分数Z近似服从正态分布，

即，

可得，

所以，

所以分数在内的学生数约为（人）.

（3）随机变量X的所有可能取值为

，

，

所以X的分布列为

，

因此X的数学期望为17.5分.