2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末联考数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，先把集合求出，再利用集合的交集运算即可.【详解】由，，则故选：A【点睛】考查了指数不等式的解法以及函数的值域的求法，交集的运算，属于较易题.2．命题“”，命题“”，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.【详解】对于命题，，得，可以推出，但是不能推出， p是q的充分不必要条件.故选：A.3．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】化简已知得，得，即得解.【详解】解：因，两边取对数得：，令，则，而，于是得，即，所以.故选：B4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，所以的最大值为.故选：A5．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（    ）A．方案一 B．方案二 C．一样划算 D．不能确定【答案】A【分析】设第一次油价为，第二次油价为，计算两种方案的平均油价，作差比较得到答案.【详解】设第一次油价为，第二次油价为，，，方案一的平均油价为：；方案二的平均油价为：.则，故.故选：A.6．已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求出点M的坐标代入双曲线方程化简得，即可求出离心率.【详解】由双曲线的对称性不妨设点在第一象限，设双曲线的右焦点为F，因为为顶角为的等腰三角形，所以，，则，所以，，则点的坐标为，代入双曲线方程得，化简得，所以双曲线的离心率.故选：D【点睛】本题考查双曲线的概念和性质、求双曲线的离心率，属于基础题．7．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】  依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A8．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构建函数，利用导数判断的单调性可得，再构建利用导数判断的单调性可得.【详解】构造函数，则，所以在上单调递增，则，故，构建，则，在上恒成立， 故在上单调递减，则，∴， 所以，即，所以，故，综上，，故选：C 二、多选题9．某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断错误的是（    ）A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C．有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关D．在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”【答案】ABD【分析】根据题意，由的意义即可得到结果.【详解】每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，已知数据不能确定结论，故A错误；若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，故B错误；由以及可知，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关，即在犯错误率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误.故选：ABD10．下列命题中正确的是（    ）A．命题：“”的否定是“”B．函数（且）恒过定点C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为D．函数的值域是，则实数m的范围是【答案】BCD【分析】根据全称量词命题的否定、指数函数的性质、函数定义域、函数值域等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知：“”的否定是“”，故A错误；B选项，因为，由，可得恒过定点，故B正确；C选项，函数的定义域为，，所以的定义域为，所以，即函数 的定义域为，故C正确；D选项，函数的值域是，当时，的值域为，符合题意，当时，则，解得；综上所述，的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B选项；的取值为，计算的概率和期望值，又，可计算，可判断AC选项；的取值为，且，计算可判断D选项.【详解】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；的取值为，，，，，，可知A错；的取值为，且，，，，，则，，所以，故C错；的取值为，且，，，，，所以，故D正确；故选：BD.12．定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（    ）A．是周期为2的函数 B．为偶函数C． D．的值域为【答案】BC【分析】对求导，根据条件求得对称性，并求得定义域上的单调性及周期性，从而对选项一一分析.【详解】解：因为，所以，在时，，所以，所以，故在上单调递减．因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；又，所以函数关于直线对称，所以在单调递增，且，则，，可得，是周期为的周期函数，A不正确．因为，，结合草图可知，C正确．对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确而的函数最值无法确定，故D错误． 故选：BC 三、填空题13．已知等差数列的前项和为，且，，则      ．【答案】5【分析】根据题意，由等差数列的性质以及其前项和公式可得，从而求得.【详解】因为，则，又，所以，则，所以.故答案为：14．的展开式中，的系数为      ．【答案】【分析】可以将可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，每个盒子中取一个元素，结合组合数公式，即可求解.【详解】可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：15．已知，，且，则的最大值是     .【答案】4【分析】根据均值不等式，即可求得答案.【详解】因为，，所以由基本不等式得,所以，得，所以，当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,故答案为：416．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为          .【答案】【分析】表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况，由于至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，从而求出至少要用8根小木棍的概率.【详解】至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，用5根小木棍为1、2、6这一种情况的全排列，6根有123，127，163，167这四种情况的全排列，7根有124，128，164，168，137，267，263这七种情况的全排列，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况故至少要用8根小木根的概率为.故答案为：. 四、解答题17．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．(1)求，，(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)，(2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.【详解】（1）方法一：由题意可得：，“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，因为，，所以，故．方法二：，“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，故．（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列：X0123PX的数学期望.18．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y（万件）5.25.35.75.8附：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】(1)0.96，订单数量y与月份t的线性相关性较强(2)，6.05万件 【分析】（1）根据公式求出，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.【详解】（1），，，，，，订单数量y与月份t的线性相关性较强；（2），，线性回归方程为，令，（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.19．已知数列的前n项和为．(1)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；(2)设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)(2)． 【分析】（1）选择条件①，结合题意得，进而得为公比的等比数列，再根据等比数列求得，进而求解通项公式；选择条件②，由题知，再根据等比数列通项公式求解即可；（2）由题知，进而根据裂项求和法得，进而得.【详解】（1）解：选择条件①，且，由题意可得，∴，即，∴为公比的等比数列，∵，∴，解得，∴；选择条件②为等比数列，且满足，由题意可得，∴，∴；（2）由（1）得，∴，∴，∵，，∴∴不等式恒成立时，，即的最小值为．20．已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；(2)当时，求在上的最大值；(3)若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）直接求导得出，解a的值即可；（2）利用导函数判断在上的单调性即可得出最大值；（3）利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可.【详解】（1）由，所以，又曲线在处的切线方程为，即，所以；（2）当时，，由在上分别单调递增、单调递减可得：在上单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，且，即在上的最大值为；（3）∵，，令，①当时，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；②当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，又，故在上单调递增，∵，∴恒有，符合题意；③当时，由②知在时单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，又，则，不满足题意；综上当，能满足任意的，恒有.21．2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分别分析小周连续3个月摇上号的概率和集齐三款模型的概率，即可求出他在这三个月集齐三款模型的概率；（2）根据题意得出和，得出的表达式，根据错位相减即可求出．【详解】（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．（2）由题意得，，则，两边同乘得，两式相减得，所以．22．已知 ，函数，.(1)当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；(2)若，求证：.【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案.（2）令，由可得，要证 ，不妨设，所以只要证，令，，对求导，得出的单调性，即可证明.【详解】（1），定义域均为，，  当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；    又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；    由题：，解得：.（2）令，因为，所以，由可得：，（1）-（2）得：，所以，要证： ，只要证： ，只要证： 不妨设，所以只要证：， 即证：，令，只要证：，令， ， 所以在上单调递增，， 即有成立，所以成立.