2022-2023学年陕西省汉中市高二下学期期末校际联考数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省汉中市高二下学期期末校际联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，或，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.

【详解】集合，或，

所以.

故选：A

2．在复平面内，对应的点位于（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为，

则所求复数对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

3．已知直线经过，两点，则直线的斜率为（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】D

【分析】直接代入直线斜率公式即可.

【详解】因为直线经过，两点，

所以直线的斜率为，

故选：D．

4．设函数可导，则等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的定义即可得出.

【详解】．

故选：C

【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题.

5．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐项判断即可求解.

【详解】A项，由于函数在上单调递增，所以在上单调递减，故A项错误；

B项，由于在上是减函数，故B项错误；

C项，由于在上单调递增，故C项正确；

D项，由于是对称轴为，开口向上的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故D项错误.

故选：C.

6．已知、、、为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用特殊值法可判断ACD选项；利用不等式的基本性质可判断B选项.

【详解】因为、、、为实数，且.

对于AC选项，取，，，，则，AC都错；

对于B选项，由不等式的基本性质可得，B对；

对于D选项，取，，则，D错.

故选：B.

7．随机变量的所有可能的取值为，且，则的值为（    ）

A． B． C．30 D．15

【答案】B

【分析】根据随机变量的概率和为1，列出方程即可求解.

【详解】随机变量的所有可能的取值为，且，

.

故选：B.

8．某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（    ）

A．9种 B．13种 C．64种 D．81种

【答案】D

【分析】根据每名大学生都有3种选择，利用分步计数原理求解.

【详解】解：因为每名大学生都有3种选择，

所以共有种选法．

故选：D

9．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（    ）

A．2 B．3 C．9 D．16

【答案】A

【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.

【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，

所以，解得，

故乙的平均成绩，

则乙成绩的方差.

故选：A.

10．在中， “”是“”的                          

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先判定充分性，然后判定必要性

【详解】在中，，三角形中大边对大角，则

由正弦定理可得，，

，

，充分性成立

，

由正弦定理可得，

，则

三角形中大边对大角，

则，必要性也成立

故选

【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．

11．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．

C．函数在上有极大值

D．函数有三个极值点

【答案】B

【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.

【详解】当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以有，因此选项B正确；

当时，，单调递增，

所以在上没有极大值，因此选项C不正确；

当时，，单调递增，

因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，

所以选项A不正确，选项D不正确，

故选：B

12．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，将不等式转化为，利用其单调性求解.

【详解】解：令，

则，

因为，

所以，则在R上递减，

又不等式，即为，

又，则即，

所以，

故选：A

二、填空题

13．          .

【答案】/

【分析】根据诱导公式化简，再应用特殊角三角函数值，可得答案.

【详解】，

故答案为：.

14．已知向量，，，则          .

【答案】

【分析】由，得，列方程求解.

【详解】因为向量，，，

所以，得，

故答案为：

15．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为1的概率为0.1；发送信号1时，接收为1的概率为0.95，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为0的概率为             .

【答案】0.475/

【分析】运用全概率公式计算即可.

【详解】设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，

则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”，

所以，

所以接收信号为0的概率为：.

故答案为：0.475

16．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设、、三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学报名，则不同报名方法有        种

【答案】

【分析】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为、、或、、，

然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程，

由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为.

故答案为：.

三、解答题

17．为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了"书法"和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或"剪纸"是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：

(1)请将上面列联表补充完整；

(2)是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关?

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关

【分析】（1）根据题意与表中数据即可完成列联表；

（2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论.

【详解】（1）根据题意，一共抽取了100人，补全列联表如下，

（2）根据列联表数据，得

，

所以有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关.

18．已知等差数列的前项和为，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差即可得数列的通项公式；

（2）由（1）得，直接利用等比数列的前项和公式求得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，解得，.

∴.

（2）∵，，

∴，

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴.

19．已知椭圆：过点，其焦点为，.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点在椭圆上，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）根据椭圆的几何性质计算求得，写出椭圆方程即可；

（2）应用椭圆的定义求出，再根据勾股定理得出直角三角形最后应用面积公式计算求解即可.

【详解】（1）由题易知，，

∴.

∴椭圆的方程为：.

（2）由题意，点在椭圆上，且，

∴，∴，

又，

∴，∴，

∴的面积为.

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ADPQ是梯形，，平面ABCD，且．

(1)求证：平面QAB；

(2)求平面PBQ与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面ABCD，，可得平面ABCD，进而得到，结合，进而得证；

（2）以为轴，为轴，为轴，为原点建立空间直角坐标系，找出平面与平面的法向量，根据两面的法向量即可求解．

【详解】（1）证明：∵平面ABCD，，

∴平面ABCD．

∵平面ABCD，

∴．

在正方形ABCD中，，

又，AB，平面QAB，

∴平面QAB．

（2）建立空间直角坐标系如图：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，D为原点，

则有，，，，，

设平面PBQ的一个法向量为，

则有，得，

令，则，，，

易知平面PCD的一个法向量为，

设平面PBQ与平面PCD所成二面角的平面角为，

则，

即平面PBQ与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

21．已知函数．

(1)求在点处的切线方程；

(2)求证：；

(3)若函数无零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；

（2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解；

（3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以在点处的切线的斜率为，

故在点处的切线方程为，即.

（2）依题意知，函数的定义域为，

，

令，则，解得；

令，则，解得或；

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，取得最大值为，

所以.

（3）依题意得，

，

当时，，在定义域上无零点；满足题意.

当时，，所以，

令，得；

令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，取得最大值为，

因为无零点,

所以，解得；

当时，因为，

所以，即，

所以在定义域上无零点；满足题意.

综上所述，实数a的取值范围

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是，与的一个交点为（点异于点），与的交点为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，先将曲线的参数方程化为直角坐标系方程，再转化为极坐标方程；

（2）根据题意，分别求得点的坐标，即可得到结果.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

转化为直角坐标方程为：，即,

转化为极坐标方程为：.

（2）曲线的极坐标方程是，

曲线的极坐标方程是，

且与的一个交点为，则，解得，

与的交点为，则，解得，

所以.

23．已知函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值的定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集即可得出答案.

（2）由，推出，分和解不等式即可得出答案.

【详解】（1）当时，，

当时，不等式化为，，此时；

当时，不等式化为，恒成立，此时；

当时，不等式化为，，此时，

综上所述，不等式的解集为；

（2），

若，则，

当时，不等式恒成立；

当时，不等式两边平方可得，

解得，，

综上可得，a的取值范围是．