2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区高二下学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．用反证法证明命题：“若，能被整除，那么、中至少有一个能被整除”时，假设应为（    ）

A．、都不能被整除 B．、都能被整除

C．、不都能被整除 D．、中有一个能被整除

【答案】A

【分析】根据反证法的定义，只需找到“、中至少有一个能被整除”的否定即可.

【详解】因为“、中至少有一个能被整除”的否定为“、都不能被整除”，

所以应假设“、都不能被整除”.

故选：A

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据常数的导数为，即可判断.

【详解】因为，所以.

故选：B

3．函数，的最小值为1，则实数的值为（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】求导，得到函数单调性，得到的最小值为，列出方程，求出答案.

【详解】，，

令，解得，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，

又，，，

所以的最小值为，令，解得.

故选：C

4．已知离散型随机变量的分布列如表：

则其数学期望（    ）

A．1 B．1.3 C．2.1 D．3.2

【答案】C

【分析】根据概率和等于1可得，再利用期望公式即可得解.

【详解】因为分布列中概率之和等于1．

所以，可得，

随机变量的数学期望．

故选：C.

5．设，是复数，则下列命题中的假命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】利用复数模的运算可判断A；举反例可判断B；利用复数的四则运算及模的公式可判断C；利用共轭复数的定义可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；

对于B，当，时， ，，，则 ，故B错误；

对于C，设，，

因为，所以，即，

又因为，，所以，故C正确；

对于D，因为，所以与互为共轭复数，所以，故D正确.

故选：B.

6．曲线在处切线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】根据给定函数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算作答.

【详解】因为，则，因此，

所以.

故选：D

7．观察数组：，， ，，，，则的值是（    ）

A．1024 B．704 C．448 D．192

【答案】C

【分析】由题意可得，，进而得到，进而求解.

【详解】由题意，，，则，，

所以.

故选：C.

8．函数的单调递增区间是（    ）

A．和 B． C． D．和

【答案】D

【分析】先求出定义域，再求导，令导函数大于0，解不等式求出答案.

【详解】的定义域为，

，令，解得或，

故的单调递增区间为和.

故选：D

9．某班有男生人，从中选人均分组（即每组人），那么不同的选派法有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先选出人，再平均分成两组，按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】依题意首先从人中选出人，有种选法，

再将人平均分成两组，则有种分法，

按照分步乘法计数原理可得有种选法.

故选：B

10．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得，然后求得.

【详解】，，

，，

所以.

故选：C

11．已知函数为定义在R上的奇函数，若当时，，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，根据题意得到为偶函数，且在单调递增，在上单调递减，结合，把不等式，转化为时，等价于不等式和时，等价于不等式，即可求解.

【详解】令，可得，

因为时，，可得，所以为单调递增函数，

又由为定义在上的奇函数，可得，

则，所以函数为偶函数，

所以函数在上单调递减，

又因为，可得，

则对于不等式，当时，等价于不等式，解得；

当时，等价于不等式，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A.

12．若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设切点的坐标为，求得切线方程为，把点代入得，根据题意得到有两个不等的实根，结合，得到，根据选项逐项验证，即可求解.

【详解】由函数，可得，

设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为，

把点代入，可得，

整理得，因为过点可作曲线的两条切线，

则方程有两个不等的实根，

所以，即，

分别把点代入验证，可得只有满足，

所以点可以是.

故选：D.

二、填空题

13．若为纯虚数，则复数的虚部为         .

【答案】

【分析】根据复数的运算法则，求得，根据题意列出方程组，求得，得到，即看求解.

【详解】由复数，

因为复数为纯虚数，可得，解得，

所以，所以复数的虚部为.

故答案为：.

14．已知,的对应值如下表所示,若与线性相关，且回归直线方程为，则         .

【答案】3

【分析】利用样本中心点求得正确答案.

【详解】，，

所以，解得.

故答案为：

15．曲线在点处的切线方程为         .

【答案】

【分析】先利用导数求出切线的斜率，再求切点的坐标，再写出切线方程得解.

【详解】因为，所以，

所以.又因为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

16．二项式的展开式中常数项为          ．

【答案】-4

【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.

【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式展开式的通项公式为：

，

令可得：，则展开式的常数项为：.

【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

三、解答题

17．设函数对任意实数、都有  .

(1)求的值；

(2)若，求、、的值；

(3)在（2）的条件下，猜想（为正整数）的表达式，并证明.

【答案】(1)1

(2)

(3)（为正整数），证明见解析；

【分析】（1）赋值法，得；

（2）赋值，解得；赋值，解得；赋值，

解得；

（3）猜想：（n为正整数），然后用归纳法证明；

【详解】（1）令，得；

（2）由，得，

，

.

（3）猜想：（n为正整数）.

证明：当时，，等式成立.

假设当时，等式成立，即，

则当时，

，等式也成立.

综上：对任意正整数n都有.

18．已知二次函数.

(1)求的图像与两坐标轴所围成图形的面积；

(2)求的图像与两坐标轴所围成图形绕轴旋转一周形成的旋转体的体积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的图像与两坐标轴的交点坐标，使用定积分求出面积；

（2）由组成图形的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果．

【详解】（1）函数的图像与两坐标轴分别相交于点和，函数的图像与两坐标轴所围图形，如图中阴影区域，

其面积为；

（2）由（1）知函数的图像与两坐标轴所围成图形绕x轴旋转一周形成的旋转体，即是曲线段与坐标轴所围图形绕x轴旋转一周形成的旋转体，

其体积为：

19．某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为5:3，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.

(1)请完成下面的列联表，并求出k的值；

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取4人，记其中喜欢足球的人数为，求的分布列及数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题设数据得到的列联表，求得，结合题意列出不等式组，即可求解；

（2）由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为，得出随机变量，求得相应的概率，列出分布列，进而求得期望值.

【详解】（1）解：由题意，得到的列联表，

将数值代入公式可得的观测值为，

因为有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关，可得，解得，

因为，所以.

（2）解：由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为，

用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为，则，

可得，，，，，

则X的分布列为

所以期望为.

20．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.

(1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；

(2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，6种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为，求.

【答案】(1)0.6

(2)

【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解；

（2）利用对立事件求概率公式进行求解.

【详解】（1）设表示事件“第1天去A餐厅用餐”，表示事件“第1天去B餐厅用餐”，表示事件“第2天去A餐厅用餐”，

根据题意得，，，

则，

所以，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.6.

（2）由题意，.

21．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解不等式，即可得解；

（2）参变分离可得恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

则，

由得，所以函数的单调递增区间为.

（2）不等式，即，即.

所以问题可转化为恒成立，

令，

则，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以当时，取得极小值即最小值，即，

所以，即实数的取值范围是.