2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期7月期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期7月期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则（    ）

A．1 B．2 C． D．5

【答案】C

【分析】利用复数的除法和乘法算出z后可求

【详解】，所以.

故选：C.

2．已知集合，且，则（    ）

A． B．{2} C． D．

【答案】C

【分析】根据交集和补集的定义可求.

【详解】，

由题设有，故，

故选：C.

3．已知为奇函数，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】利用奇函数的定义求出a，从而得解.

【详解】因为为定义在R上的奇函数，

所以，即，解得，

当时，，

此时，则为奇函数，

故.

故选：A.

4．中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏､小满，六月有芒种､夏至，七月有小暑､大暑.现从五月､六月､七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】列举出基本事件，根据古典概型概率公式求解．

【详解】由题意，基本事件由（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15个，

其中两个节气在同一个月的有（立夏，小满），（芒种，夏至），（小暑，大暑）共3个，

所以两个节气恰在同一个月的概率为．

故选：A．

5．棱长为1的正方体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径，即可得出球的表面积．

【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，

则，故．

所以．

故选：B．

6．设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意利用勾股定理即可求解．

【详解】由圆的方程可得，故，

为原点，在圆上，与圆相切，

则.

故选:A．

7．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A、D讨论、为负数即可判断；B、C应用基本不等式求最值，结合根式、正弦函数性质判断等号是否能成立.

【详解】A：当为负数时，不满足；

B：由，仅当时等号成立，满足；

C：由，仅当时等号成立，

显然等号无法成立，故，不满足；

D：当为负值时，不满足.

故选：B

8．已知边长为1的等边△ABC，，则（　　）

A． B．3 C． D．6

【答案】A

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】

.

故选：A

9．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得对任意恒成立，分参即可求解.

【详解】因为函数在区间上单调递增，

所以，即对任意恒成立，

令，则在上单调递减，

所以，所以，

即实数的最小值为.

故选：C

10．若，满足约束条件 则的最大值为（    ）

A．0 B．2 C．14 D．16

【答案】C

【分析】画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答.

【详解】画出不等式组对应的可行域（如图所示），

由题得，它表示斜率为纵截距为的平行直线系，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大.

联立直线方程得.

此时的最大值为.

故选：C

11．甲､乙两人组队去参加乒乓球比赛，每轮比赛甲､乙各比赛一场，已知每轮比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，在每轮比赛中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲､乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，甲乙共胜3次有如下两种情况：甲胜1次，乙胜2次或者甲胜2次，乙胜1次，列出式子，即可得到结果.

【详解】甲乙共胜3次有如下两种情况：

甲胜1次，乙胜2次，其概率为，

甲胜2次，乙胜1次，其概率为，

故甲乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为.

故选：B

12．已知函数的定义域为，函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分、、三种情况说明单调性，从而可求解.

【详解】函数的导函数，

令，可得，得或，

当时，时，单调递增；

或时，单调递减；

所以在处取得极大值，符合题意；

当时，

当时，时，单调递减；

或时，单调递增；

所以在处取得极小值，不符合题意，舍去；

当时，时，单调递减；

或时，单调递增；

所以在处取得极大值，符合题意.

实数的取值范围为.

故选：D

二、填空题

13．的展开式中的系数是           .

【答案】40

【分析】利用二项展开式的通项公式，即得解

【详解】因为，所以的展开式中的系数是40.

故答案为：40

14．在中，，则中最小的边长为          .

【答案】/

【分析】由三角形内角和180°，大边对大角，可先确定最小边为，再利用正弦定理求解.

【详解】中，则，

所以中最小的边长为，

由正弦定理，.

故答案为：.

15．中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等4名航天员开展实验，每名航天员只去一个舱，每个舱至少安排一人，则甲乙不在同一个舱的种数是          .

【答案】30

【分析】分两种情况讨论：一是甲乙单独各在一个舱，二是甲乙各自所在的舱中其中有一个舱中有两个人，然后利用分类加法原理可求得结果.

【详解】当甲乙单独各在一个舱时，有种方法，

当甲乙各自所在的舱中其中有一个舱中有两个人时，有种方法，

所以由分类加法原理可知共有种方法，

故答案为：30

16．已知是双曲线的左焦点，点，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为          .

【答案】

【分析】由双曲线的性质可得直线与双曲线渐近线平行，结合双曲线离心率的定义求解即可．

【详解】双曲线的渐近线方程为，

又已知是双曲线的左焦点，，

直线与双曲线有且只有一个公共点，

所以直线与双曲线的渐近线平行，

则，即，即，即，

即，

即，即，

则双曲线的离心率为．

故答案为：．

三、解答题

17．已知数列是等差数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前5项和.

【答案】(1)

(2)682

【分析】（1）根据题意，由条件列出关于与的方程，即可得到结果；

（2）由等比数列的求和公式，即可得到结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由，可得

解得，

.

（2）由（1）知，

由，可得，

数列是首项为2，公比为4的等比数列，

数列的前5项和.

18．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求在闭区间上的最小值以及对应的值.

【答案】(1)

(2)当时，

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式化简变形，再利用周期公式可求得结果；

（2）由，得，再利用正弦函数的性质可求得的最小值及对应的值.

【详解】（1），

，

即函数的最小正周期为.

（2）由（1）可知，

，

∴当，即时，有，

故当时，.

19．汽车尾气中含有污染物，且汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物浓度会出现增大的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术､排放检验状况，对达到报废标准的机动车实行强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：

(1)是否有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？

(2)该环保组织查得某型号汽车的使用年数与排放的尾气中CO浓度的数据如下表：

若该型号汽车的使用年数不超过12年，可近似认为与线性相关.试确定关于的线性回归方程.

参考公式：，其中.

在线性回归方程中，.

【答案】(1)有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”

(2)

【分析】（1）根据题意，计算，即可判断；

（2）根据题意，分别计算，即可得到结果.

【详解】（1）计算，

故有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.

（2），

故，

，

所以所求线性回归方程为.

20．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为梯形，.

(1)证明：平面；

(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据余弦定理可得，进而得，根据面面垂直的性质即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.

【详解】（1）证明：，

由余弦定理得，

，则，

平面平面，且平面平面，平面,

平面.

（2）如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

由得取，得，

，

易得平面的一个法向量为，

，

平面与平面夹角的余弦值为.

21．已知椭圆过点，且椭圆的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过点且与椭圆相交于、两点，椭圆的右顶点为，试判断是否能为直角．若能为直角，求出直线的方程，若不行，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不能为直角，证明见解析.

【分析】（1）可得，．．即可得椭圆的标淮方程．

（2）对直线的斜率分两种情况讨论：①当直线垂直轴时，易得不能为直角；

②当直线不垂直轴时，可设直线代入椭圆方程，消去可得到关于的一元二次方程，再利用反证法，假设，得到与事实相矛盾，从而证明不能为直角.

【详解】（1）椭圆过点，，

椭圆的离心率，．

，．

椭圆的标淮方程为：.

（2）①当直线垂直轴时，易得，．

椭圆的右顶点为，，，

，是不为直角．

②当直线不垂直轴时，可设直线代入椭圆方程，

消去可得：，

设，，，，则有，，

又，，，，，

若是为直角：

则

，

解得，不符合题意．

故不能为直角．

【点睛】本题考查椭圆的离心率与标准方程求解、直线与椭圆的置关系、向量数量积，考查方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

22．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求解在点处的切线方程；

（2）求导得，令，再次求导，利用导数研究函数的最值.

【详解】（1），

又，

曲线在点处的切线方程为，

即.

（2），

，

令，

则，

在上单调递增，.

当时，，

在上单调递增，，

在上单调递减，，

符合题意；

当时，存在实数，

使时，，即，

在上单调递减，

在上单调递增，

时，，

不符合题意.

综上，正实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题用的方法比较常规，就是常规的用导数研究函数的最值，但是因为计算量比较大，所以关键是令，找到，利用的有界性，完成对值的分类讨论.