2022-2023学年四川省成都市高二下学期期末零诊测试数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期末零诊测试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可.

【详解】由，得，解得，

所以，

因为，所以，

故选：C

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解.

【详解】由题意得，“，”的否定为，,

故选：B

3．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出、的值，即可得出所求双曲线的渐近线方程.

【详解】在双曲线中，，，

因此，该双曲线的渐近线方程为.

故选：A.

4．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的的值为（    ）

A． B． C．2 D．16

【答案】D

【分析】根据条件结构，即可分类讨论求解.

【详解】若，则，此时不满足，不符合要求，故舍去，

若，此时不满足，符合要求，故，

故选：D

5．若实数，满足，则的最大值为（    ）

A．0 B．6 C．7 D．9

【答案】D

【分析】先作可行域，再作直线，平移直线确定最优解，然后可得.

【详解】根据题意作可行域如图，

作直线，由图可知，平移直线到位置，即过点时，取得最大值.

解方程组得，

代入，.

故选：D.

6．全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分.现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B．甲、乙两组评分的中位数不相同

C．甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D．甲组评分的众数小于乙组评分的众数

【答案】A

【分析】根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数.

【详解】甲的数据为，乙组数据为.

A选项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，

甲的平均数小，A选项正确；

B选项，甲的中位数为：，乙的中位数为：，甲乙中位数一样，B选项错误；

C选项，甲的极差为，乙的极差为，甲的极差更小，C选项错误；

D选项，甲的众数为，乙的众数为，甲的众数更大，D选项错误.

故选：A

7．如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（    ）

A．C，G，，F四点共面 B．直线平面

C．平面平面 D．直线EF和HG所成角的正切值为

【答案】C

【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D.

【详解】取中点，连接,

由于是的中点，在正方体中可知,

又，所以四边形为平行四边形，故,

因此，故C，G，，F四点共面，故A正确，,

取中点，连接,

由于均为中点，所以

平面，平面，所以平面,

同理平面,平面,

所以平面平面，平面，故直线平面，B正确，

假若平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与相交矛盾，故C错误，

由于，所以,

故为直线EF和HG所成角或其补角，

不妨设正方体的棱长为，则，

由于底面，平面，所以,

故,

直线EF和HG所成角的正切值为，D正确.

故选：C.

8．函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】先对函数化简得，然后分和两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可.

【详解】，

①当时，，则，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以在上的最小值为，

因为，

，

所以在和上各有一个零点，

②当时，，则，

所以在上递增，

因为，，

所以在上有一个零点，

综上，共有3个零点，

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

9．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】圆的方程可化为，

其圆心坐标为，半径为，

当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，

所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.

故选：C.

10．七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质,进行边长运算即可得出结论.

【详解】如图，

为等腰直角三角形， 连接,

由题可知， 分别为的中点，

设，则,, , ,

则,

阴影部分②的面积为,

阴影部分⑦的面积为

则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为，

故选：B.

11．记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.

【详解】令，则，

当时恒有，所以，

则在上单调递增，

所以，则，即，选项A错误；

，则，即，选项B正确；

，则，又为奇函数，所以，选项C错误；

由得，选项D错误；

故选：B

12．如图①，已知四边形所有边长均为2，对角线.现以为折痕将四边形折起为四面体，使得，如图②.则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据边长可判断为四边形为菱形，进而根据线线垂直得线面垂直，可证得四面体为棱长为2的正四面体，将其放入正方体中，借助正方体的外接球即可求解.

【详解】由题意可知，由余弦定理可得

所以，故四边形为的菱形，

取中点为，连接，

由于三角形为等边三角形，所以，

又，平面，

所以平面，平面，所以，

由于为中点，所以，故三角形为边长为2的等边三角形，

故，故四面体为棱长为2的正四面体，

不妨将其放入正方体中，则正方体的棱长为，其正方体的外接球即为四面体的外接球，

则正方体的体对角线长为其外接球的一条直径，故，

故外接球的表面积为.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用线面垂直的判定与性质定理证得，从而确定四面体为棱长为2的正四面体，进而将其放入正方体中，由此得解.

二、填空题

13．已知复数（其中为虚数单位）)，则      ．

【答案】

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．

【详解】，因此，.

故答案为：.

14．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项.小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击.假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是          （填写具体项目名称）.

【答案】武术

【分析】根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解.

【详解】由题意，如图下表所示：

若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术.

故答案为：武术.

15．已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为          .

【答案】7

【分析】设抛物线的准线为，过作于，过作于，由抛物线的性质可将的周长转化为，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得答案.

【详解】当时，，所以点在抛物线内，

由，得焦点为，准线为，

过作于，过作于，则，

所以的周长为，

由图可知当三点共线时，取得最小值，

此时的最小值为，

因为，

所以的最小值为7，即的周长的最小值为7，

故答案为：7

16．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为          .

【答案】

【分析】分别求得函数和在点和点处的切线方程，再由切线相同求解.

【详解】因为，所以，

则在点处的切线方程为：，即；

在点处的切线方程为：，即，

因为一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，

所以，则 ，解得，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．记函数的导函数为，已知，.

(1)求实数的值；

(2)求在的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，根据，列出方程，即可求解；

（2）由（1）得，求得的单调区间和最值，即可求得函数的值域.

【详解】（1）解：由函数，可得，

因为，可得，解得.

（2）解：由（1）得，

令，解得或；令，解得，

所以函数在，单调递增；在单调递减，

又由，，，，

所以，，

所以函数在的值域为.

18．某种产品的价格（单位：万元/吨）与需求量（单位：吨）之间的对应数据如下表所示，

(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；

(2)请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由.

参考公式：，.

【答案】(1)

(2)不超过，理由见解析

【分析】（1）根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出的值，即可得到线性回归方程；

（2）根据（1）所求的线性回归方程，把代入线性回归方程，即可解.

【详解】（1）由题意得，.

因为，

，

所以，，

所以关于的线性回归方程为.

（2）当时，.

所以当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨.

19．如图，在直三棱柱中，，，.，分别为棱，上的动点，为中点，且.

(1)求三棱锥体积的最大值；

(2)当三棱锥的体积最大时，求证:平面.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设，用等体积法得到，用基本不等式求解即可;

(2)由（1）知当三棱锥体积取得最大值时，，分别为棱，的中点.

要证明平面，只需证明，.

【详解】（1）由题意设，则.

.

（当且仅当时取等号），

.

三棱锥体积的最大值为.

（2）由（1）知当三棱锥体积取得最大值时，，分别为棱，的中点.

为中点，

.

在直三棱柱中，由平面，平面，得.

，，，，平面，

平面.

平面.

又平面，

.

由，在中，.

同理在中，.

又，

.

又，，平面，

平面.

20．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到其左、右焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点.若椭圆上存在点满足，求四边形面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得且，求出，再结合求出，从而可求得椭圆方程；

（2）设直线的方程为，，，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，再由表示出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程可求出，求出，从而由可求出.

【详解】（1）椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其左、右焦点距离之和为4，

且.解得，.

，.

椭圆的标准方程为.

（2）由题意知直线的斜率为0时显然不成立.

设直线的方程为，，.

由消去，得.

显然.

则，.

，.

为的中点，得.

由，得.

又点在椭圆上，则，

，化简得，

，解得或（舍去），

.

，

四边形的面积.

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，解题的关键是充分利用表示出点的坐标和，考查计算能力，属于较难题.

21．已知函数，其中.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若恒成立，求整数的最大值.

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)4

【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；

（2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出整数的最大值.

【详解】（1）当时，函数的定义域为，

.

由解得；由解得.

函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意当时，，即.

整理得.

令函数.

则.

令.则.

当时，恒成立.

在单调递增.

又，，

，使得，即.

时，；时，.

在单调递减，在单调递增，

则.

由恒成立，则.

整数的最大值为4.

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔.

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设曲线与曲线相交于，两点.

(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

(2)已知点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得曲线的的普通方程为.

，，

化简得曲线的直角坐标方程为.

（2）由题意得曲线的参数方程为（为参数）.

将其代入，得.

.

设，两点对应的参数分别为，.

则，.

则，为一正一负，

.