2022-2023学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．设集合，，则        ．

【答案】

【分析】利用补集、交集的定义直接求解作答.

【详解】由，得或，又，

所以.

故答案为：

2．若不等式的解集为，则实数等于         .

【答案】3

【分析】求出绝对值符号的不等式解集，再比对作答.

【详解】不等式，化为，因此不等式的解集为，

依题意，，于是，解得，

所以实数等于3.

故答案为：3

3．在复平面内，点对应的复数z，则          

【答案】

【分析】由点的坐标写出复数，再计算。

【详解】由题意，∴。

故答案为：。

【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的模，属于基础题。

4．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为        ．

【答案】

【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.

【详解】设圆锥的母线为,则,所以,

则圆锥的侧面积为.

故答案为：.

5．已知，则的值为        ．

【答案】10

【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.

【详解】依题意，.

故答案为：10

6．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为      ．

【答案】

【分析】根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程.

【详解】因为，所以，

则，，

所以所求切线的方程为.

故答案为：.

7．已知随机变量服从正态分布，若，则          ．

【答案】1

【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，据此得到关于a的方程，解方程可得a的值.

【详解】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，

结合题意有：.

故答案为1．

【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

8．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为    ．

【答案】/0.9

【分析】把另3 编号，用列举法写出从5人中任选3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率．

【详解】另三名同学记为1，2，3，由从5人中选3名同学基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10个，

其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9个，

所以所求概率为．

故答案为：．

9．已知抛物线(其中)的焦点为，点在抛物线上，若，且的最小值为，则点到抛物线的准线的距离为       

【答案】

【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据已知条件列方程组，由此求得进而求得正确答案.

【详解】设直线的方程为，

由消去并化简得，

，

则①，

，

当时等号成立，所以②，

由①②解得或，因为，

所以，即到抛物线的准线的距离为.

故答案为：.

10．已知偶函数在上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为        ．

【答案】

【分析】首先利用辅助角公式得，根据其奇偶性和的范围求出，则，令，利用余弦函数图象得，解出即可.

【详解】为偶函数,

所以,即,

因为,所以，所以,

令,由得,所以转化为,

如图:在上有且仅有一个极大值点没有极小值点时,

则,所以,即的取值范围为.

故答案为：.

11．已知函数f(x)＝，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是        ．

【答案】(－1,5)

【解析】由题意f(x)<2可得－2<x3－ax<2，得到x2－<a<x2＋，即

分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式得到a的范围.

【详解】解法1 当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－<a<x2＋，即，

设，因此在单调递增，，

设，因此在单调递增，，

得到－1<a<5.

解法2 原问题可转化为先求：对任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围．

则有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥.

（1）当a≥4时，a≥x2＋≥22＋＝5，得到a≥5.

（2）当a≤1时，x2－a≥，有a≤x2－≤1－＝－1，得到a≤－1.

（3）当1<a<4时，|a－x2|≥0，与>0矛盾．

那么有a≤－1或a≥5，故原题答案为－1<a<5.

对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)．

【点睛】本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.

12．函数，数列，满足，，若要使成等差数列，则的取值范围为       

【答案】

【分析】由绝对值的意义可得的分段函数式，根据为等差数列，对分，，进行讨论，结合函数解析式和等差数列的性质，即可得到结论．

【详解】，因为为等差数列，

(1)若，此时， 满足条件.

(2)若，则

①若，则，

由，得，解得，不合题意.

②若，则

由，得解得：，不合题意；

(3)若，，

①若，则

由，得解得：，不合题意.

②若，则，

由，得解得：，符合题意，

此时，，，， ，符合题意.

综上，的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的增减性，解答本题的关键是分类讨论思想的准确应用，属于难题.

二、单选题

13．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断.

【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；

对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意；

对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意.

故选：D.

14．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（    ）

A．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差

B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于

C．若，，则事件、相互独立

D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为

【答案】C

【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，设层数据分别为、、、；、、、，

因为，所以，总体平均数为，

所以，，，

所以，总体方差为

，

则，

所以，当或时，，否则，A错；

对于B选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于，B错；

对于C选项，由条件概率公式可得，所以，，

所以，，故，

所以，事件、相互独立，C对；

对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为、、、、、、、，

所以，该样本数据的第百分位数为，D错.

故选：C.

15．已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点作平面于点，利用正四面体的特点求出的长，从而得到，即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积.

【详解】过点作平面于点，

则，

因为，则，

则表示的区域为以为圆心，2为半径的圆及其内部，

面积为，

故选：C.

16．已知在中，，则的最大值是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据，可得，再利用余弦定理化角为边可得，再根据结合柯西不等式可求得的最大值，即可得解.

【详解】解：因为在中，，

即，所以，

所以，

即，

即，

则

，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最大值为，

即的最大值是.

故选：B.

三、解答题

17．如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成角的大小为.

(1)求正三棱柱的体积；

(2)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可得，又，求得正三棱柱的底面边长为.再求出底面积，代入棱柱体积公式可得正三棱柱的体积；

（2）在底面三角形中，过作，垂足为，则为直线与平面所成角，求解三角形得答案.

【详解】（1）解：∵异面直线与所成角的大小为，且，

∴，又，

∴，即正三棱柱的底面边长为.

∴.

则；

（2）解：在底面三角形中，过作，垂足为，则为中点，

在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，

所以平面，连接，

则为直线与平面所成角，

，，

∴，

∴，

即直线与平面所成角的大小为.

18．在数列{an}中，已知，()．.

(1)证明:数列为等比数列.

(2)记bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系.首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；

（2）先由(1)结论求出，再化简bn=，再由分组求和法即可得出答案.

【详解】（1）证明：由，得，从而，

，

又，故数列为等比数列；

（2）由(1)得，，故，

所以，

则

.

19．一场始于烟火，归于真诚的通邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出150元烧烤套餐．某同学调研发现，烧烤店成本(单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本)与每天卖出套餐数(单位：份)的关系如下：

与可用回归方程(其中为常数)进行模拟．

参考数据与公式：设，则：

线性回归直线中，．

(1)试预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元(利润=售价一成本，结果精确到1元)

(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增．4月份的连续16天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．供货商拟购置辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元;若不发车，则每辆车每天平均亏损200元．若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议．

【答案】(1)3236元；

(2)购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.

【分析】根据所给数据求出，即可求出回归方程，再代入求出预测值，即可得到利润；

根据频率分布直方图，得到送货箱数得概率分布表，设该运输户购辆车和购辆车时每天得利润为，求出分布列，计算出期望，即可判断.

【详解】（1）根据题意，

所以

所以，

议，所以，

所以时，(千元)，

即卖出100份的成本为11764元，故利润(元)

（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，

则的可能取值为，其分布列为：

故，

的可能取值为，其分布列为：

故，

即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.

20．已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为.

(1)若为直角三角形，求的离心率；

(2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由；

(3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由.

【答案】(1)

(2)必要不充分条件，理由见解析

(3)是，理由见解析

【分析】（1）利用为直角三角形得到，转化为即可得.

（2）根据椭圆的对称性可证必要性，又反例可知不满足充分性.

（3）先证直线过椭圆的右焦点，可得的周长为

【详解】（1）  

如图，，，

，，

由题意，即，故，

解得离心率

（2）必要不充分条件.

必要性：根据椭圆的对称性可知，当，关于轴对称时，成立；

充分性：椭圆方程为，设，

，在上不单调，

所以可举反例：分别取，，

即，

使得，但，不关于轴对称.

（3）  

由题意，，，椭圆方程为，

设，则直线的斜率为，方程为：，

联立椭圆方程得，

，故，代入得，

所以，

同理直线的方程为：，

联立椭圆方程得，

，故，代入得，

所以，

所以，

直线方程为，

令，可得，即直线恒过椭圆的右焦点.

所以的周长为定值.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．

(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；

(2)若，求函数的极值点；

(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．

【答案】(1)是的“和谐数组”，理由见解析；

(2)为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.

(3)见解析

【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；

（2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点；

（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.

【详解】（1）是的“和谐数组”,理由如下：

当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得:

是的“和谐数组”.

（2）当,

于是可列表如下:

为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.

（3）反证法:假设存在,使得,则对任意,都有.

对任意恒成立.令，则在上恒成立,

由二次函数性质可知,必存在使得当时,恒成立,且此时,

当时有，

其中，

由二次函数性质可知,必存在使得当时，.

这与在上恒成立矛盾.

对任意,都有

【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在,使得,根据和谐数组的定义转化得存在,使得,设，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.