2022-2023学年上海市格致中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市格致中学高二下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市格致中学高二下学期期末数学试题 一、填空题1．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为  ．【答案】【分析】设直线的方向向量为，直线的倾斜角为．利用，即可得出．【详解】解：设直线的方向向量为，直线的倾斜角为．则，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．2．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为      ．【答案】/【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为，又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为，故体积 故答案为：3．已知随机变量X服从二项分布，且，则      .【答案】/【分析】根据二项分布的期望公式，求得，得到，结合方差的公式，即可求解.【详解】由题意知，随机变量服从二项分布，因为，可得，解得，即，所以.故答案为：.4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则       ．【答案】或【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求的值.【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是， 因为两条渐近线的夹角是，所以直线的倾斜角是或，即或.故答案为：或5．已知是抛物线上一点，F为该抛物线的焦点，，则      .【答案】【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出作答.【详解】抛物线的准线方程为，而F为该抛物线的焦点，在抛物线上，因此，解得，则抛物线方程为，即有，所以.故答案为：6．设E是正方体的棱的中点，在棱上任取一点P，在线段上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为      ．【答案】/【分析】连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理可知，即可得解.【详解】连接，由底面为正方形，可知，由正方体的性质，可知平面，又平面，则又，则平面，由已知可知平面，则所以异面直线PQ与BD所成角的大小为故答案为：7．三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则      .【答案】【分析】先分别计算事件和事件的情况数，在根据条件概率的定义计算.【详解】根据条件概率的定义，的含义为在事件发生的前提下，事件发生的概率，事件的情况数为，对于事件，因为“三个点数都不相同”，则只有一个2点，故有种情况，所以.故答案为：.8．如图，在平行六面体中，，，，则的长为      .【答案】2【分析】可以看成空间的一个基底，由空间向量基本定理可以表达出，则，利用向量的相关知识即可求解.【详解】，又：，，，∴.故答案为：2.9．设，若关于x的方程有3个不同的实根，则的取值范围是      .【答案】【分析】先令，用导数的方法判断函数的单调性，得到的极值，得到函数有三个不同零点，由极大值大于0，极小值小于0，即可得出结果.【详解】记，令，得或，由得或，此时为增函数，由得，此时为减函数，即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，即，因为关于的方程有三个不同的实根，所以函数有三个不同零点，因此，只需 ，即 ，解得，即关于的方程有三个不同的实根的范围是 ．故答案为：.10．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为      .【答案】/【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：  由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，，取线段的中点，连接，则，所以，，所以，，故，设点、，则点，所以，，两个等式作差可得，可得，所以，，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.11．已知对于任意，不等式都成立（是自然对数的底数），则的最小值是      .【答案】【分析】令，由题意可知，，对实数的取值进行分类讨论，求出的最小值，可得出，令，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.【详解】对任意的，不等式恒成立，等价于，令，其中，则.①当时，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；②当时，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，所以，，则，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，故的最小值为.故答案为：.12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是        .【答案】①②【解析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得，故②正确；联立得四个交点，满足条件的最小正方形是以为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将代入得成立，故曲线关于直线对称，故①正确；对于②，因为，所以，所以，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确；对于③，联立得，从而可得四个交点，，，，依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确.故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题. 二、单选题13．已知事件A、B是相互独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么下列等式中不一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据独立事件的性质判断A，根据条件概率公式B，再由对立事件的性质判断C，根据和事件的性质判断D．【详解】因为、是相互独立事件，、分别是、的对立事件，所以、是相互独立事件，所以，A正确；，B正确；，C正确；，D不一定成立．故选：D．14．已知函数，其导函数记为，有以下四个命题：①若为偶函数，则为奇函数； ②若为偶函数，则为奇函数；③若为周期函数，则也为周期函数；④若为周期函数，则也为周期函数.其中真命题的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用偶函数的定义和复合函数求导可判断选项A；通过举反例可判断选项B；由周期函数的定义和复合函数求导可判断选项C；通过举反例可判断选项D.【详解】对于①，若为偶函数，则，两边取导，得，即，函数为奇函数，故①为真命题；对于②，若为偶函数，则不一定为奇函数.例如，，此时为偶函数，不是奇函数，故②为假命题；对于③，若为周期函数，即，则，得，故③为真命题；对于④，若为周期函数，则不一定为周期函数.比如，但，显然为周期函数，则不是周期函数，故④为假命题.真命题的个数有2个.故选：B15．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（    ）A．无论k、、如何，总是无解B．无论k、、如何，总有唯一解；C．存在k、、，使之恰有两解D．存在k、、，使之有无穷多解【答案】B【分析】根据题意，可得与不共线，得到，进而得到一定有唯一解，即可得到答案.【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，且直线斜率存在，且不过原点，所以与不共线，可得，所以关于和的方程组，一定有唯一解.故选：B.16．如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值.【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，   平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，四边形为正方形，，平面，平面，，，平面，平面；同理可得：平面；平面的法向量为，平面的法向量为，，，，，即与的夹角为，所求锐二面角的大小的余弦值是.故选：C． 三、解答题17．如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.  (1)求证：平面；(2)若为的中点，求四面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）推导出平面，并计算出的长以及的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体的体积.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因为，为的中点，则，因为，、平面，因此，平面.（2）解：因为、分别为、的中点，则且，因为平面，则平面，因为平面，平面，所以，，则，因为为的中点，则，因此，.18．某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图.    若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.(1)根据上图的数据，补全下方列联表，并依据显著性水平的独立性检验，分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？ 年轻人非年轻人总计健身达人   健身爱好者   总计  100附：，，，与k的若干对应数值见下表：0.250.050.0051.3233.8417.879(2)该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数，求X的分布及其期望.【答案】(1)列联表见解析，不能(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；（2）根据题意分析可得，结合二项分布求分布列和期望.【详解】（1）因为“年轻人”（20岁-39岁）所占的频率为，人数为，“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）的人数为，“健身达人”所占的频率为，人数为，“健身爱好者”的人数为，其中“年轻人”且“健身达人”的人数为，据此列联表为 年轻人非年轻人总计健身达人501060健身爱好者301040总计8020100可得，所以“健身达人”与这个人为“年轻人”没有关联.（2）由题意可知：既是“年轻人”又是“健身达人”的频率，用频率估计概率，可得，则有：，，则X的分布为X0123P期望.19．已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上的动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当取最大值时，求的面积；(3)已知r为正常数，过动点P作圆的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在r，使得为定值？若存在，求出r及的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得，解得，，，即可得出答案．（2）设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，由基本不等式可得取得最小值，可得取得最大值，即点为短轴的一个顶点，再计算，即可得出答案．（3）设，，，根据是圆的切线，可得，同理可得，进而可得，为方程的两个根，由韦达定理可得答案．【详解】（1）根据题意可得，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）设，，由椭圆的定义可得，又，，因为（当且仅当时，取等号），所以，即，所以，所以，所以当且仅当时，取得最小值，取得最大值，即点为短轴的一个顶点，所以．（3）设，，则直线的直线方程为，又是圆的切线，所以，即，同理可得，所以，为方程的两个根，所以，因为，为动点，所以，不存在定值．  【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．20．已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.(1)若，求实数a的取值范围；(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.【答案】(1)(2)1个，理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，依条件求解不等式，参变分离求出a的取值范围；（2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数；（3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证.【详解】（1）若，则，由题意，对任意的都有，则，即，所以，由于的最小值为，的最大值为，所以，即实数a的取值范围为；（2）依题意，，所以，在上为减函数，所以至多一个零点；，，当时，，当时，，所以存在零点，综上存在1个零点；（3）因为，由导数的定义得 ，即，不妨设若，则若，则 .命题得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数．（3）利用导数研究的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．