2022-2023学年上海市建平中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市建平中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．已知，则，        .

【答案】

【分析】由对立事件的概率求解即可.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

2．为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行调查，已知高一学生有400人，高二学生有500人，高三学生有600人，则应抽取的高三学生人数为        .

【答案】60

【分析】根据分层抽样的定义求解即可.

【详解】由题可知，三个年级共有人，

抽样比例为，

则抽取的学生中，高三年级有人.

故答案为：60.

3．已知随机变量服从二项分布，则        .

【答案】2

【分析】利用二项分布的期望公式计算作答.

【详解】随机变量服从二项分布，所以.

故答案为：2

4．甲和乙在五分钟内独立复原魔方的概率分别为0.7和0.5，则甲、乙两人在五分钟内均独立复原魔方的概率为        .

【答案】0.35/

【分析】利用独立事件概率公式求解即可.

【详解】因为甲和乙在五分钟内独立复原魔方的概率分别为： 0.7、0.5，

所以甲、乙两人在五分钟内均独立复原魔方的概率为：，

故答案为：0.35.

5．5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是      ．

【答案】/0.5

【详解】设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件，

则.

故答案为：.

6．的展开式中，常数项是              .

【答案】

【分析】写出二项展开式的通式，令的次数为即可.

【详解】的展开式通项为，

令，得，

故常数项是．

故答案为：．

7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名工人某日的产量数据．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则      ．

【答案】

【分析】根据中位数相等可构造方程求得，进而利用平均值相等构造方程求得，加和即可.

【详解】由茎叶图可知：甲组工人产量的中位数为，则乙组工人产量的中位数应为，解得：，

乙组工人产量的平均值为，

则甲组工人产量的平均值为，解得：，

.

故答案为：.

8．已知随机变量的分布为，且随机变量，则        .

【答案】29

【分析】由数学期望和方差的公式求出，，再由方差的的性质即可求出.

【详解】因为随机变量的分布为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：29.

9．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有1张牌的概率为        .（精确到0.1%）

【答案】34.1%

【分析】本题首先可求出任意抽出张有多少种可能事件，然后求出有张牌有多少种可能事件，利用对立事件的概率即可求出至少有张牌的概率.

【详解】从张扑克牌中任意抽出张，共有种可能事件，

从张扑克牌中任意抽出张，有张牌，有种可能事件，

故至少有1张牌的概率.

故至少有1张牌的概率为34.1%.

故答案为：34.1%.

10．设随机变量服从正态分布，且，，则        .

【答案】/

【分析】由题意可得，由可求出，而与关于对称，由正态分布的对称性即可求出.

【详解】因为随机变量服从正态分布，且，

所以，又，所以，

所以，而与关于对称，

所以.

故答案为：

11．人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是        .（用分数表示）

【答案】

【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有，即可得答案.

【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则

，不吸烟者中患肺癌的概率为.

又由全概率公式有，

则，解得．

故答案为：.

12．已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是        .

【答案】

【分析】将化为，换元，令，将方程化为，根据函数的图象，化为方程在内有两个互不相同的根，利用二次函数知识列式可求出结果.

【详解】函数的定义域为，

因为函数存在4个零点，所以存在4个正实根，

即存在4个正实根，

即存在4个正实根，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上为增函数，在上为减函数，且时，，

所以函数的图象如图：

则，，化简得，

结合的图象，知道方程在内有两个互不相同的根，

记，

利用根的分布得，解得.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、单选题

13．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ）

A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．

C．的概率最大 D．服从超几何分布

【答案】C

【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D.

【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于D，由题意，随机变量，故D不正确；

对于C，随机变量，，

若取得最大值时，则:

  ，

则，解得，则．

故的概率最大，所以C正确；

故选：C.

14．已知有8个数据：1，2，3，3，4，5，5，6，则以下选项正确的是（    ）

A．众数为 B．第25百分位数为

C．极差为 D．平均数为4

【答案】B

【分析】根据众数、百分位数、极差和平均数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，根据众数的定义，可得数据的众数为和，所以A不正确；

对于B中，由，所以数据的第25百分位数为，所以B正确；

对于C中，根据极差的定义，可得数据的极差为，所以C不正确；

对于D中，数据的平均数为，所以D错误.

故选：B.

15．从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是（注：下面为随机数表的第3~5行）（    ）

91685307    17337298    29849526    37515923    03886191    14679054

49042443    36160865    53317333    03570684    57173171    84357012

17355239    47454753    01644305    44017425    26545229    10694745

A．865 B．086 C．173 D．171

【答案】D

【分析】根据随机数表第4行第5个数开始向右读，找出满足条件的编号即可.

【详解】从随机数表第4行第5个数开始向右读，符合条件的有160，173，068，171，

则选出的第4个编号是171.

故选: D

16．若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.

【详解】不等式等价于即，

原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，

等价于存在实数，，不等式成立，

记，则，

（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减

①当，即时，，

②当，即时，，

从而当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以；

（2）当时，令，解得，

在区间上单调递增，在上单调递减，

，，，

①当时，此时，    

当即时，，

当即时，，

从而当时，，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增,

所以；

令，则，，记，

则，

当时，恒成立，

即在区间上单调递减，即，

即；

②当时，此时，

当即时，，

当即时，，

从而当时，，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以；

（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，

①当，即时，，

②当，即时，，

从而当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以；

综上所述，，

所以.

故选：B

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

三、解答题

17．已知函数.

(1)若，求函数在处的切线方程；

(2)若函数在上严格增，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，即可求出函数在点处的切线方程；

（2）求导，由题意，转化为恒成立问题，利用分离参数法，求出函数最值，即可求出的取值范围.

【详解】（1），，

所以，，

即切线的斜率，切点，

所以切线方程为：，即，

故切线方程为；

（2）因为函数在上严格增，

所以在恒成立，

所以在恒成立，

即在恒成立，

所以小于等于的最小值，因为，

所以，

故的取值范围为.

18．某箱子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球，2个白球.从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回；如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球.记两次取球后，箱子中小球的个数为.

(1)求两次取球都是红球的概率；

(2)求的分布、期望和方差.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，，

【分析】（1）求出的概率即可；

（2）根据求分布列的步骤求出分布列，根据期望公式、方差性质求解可得结果.

【详解】（1）两次取球都是红球的概率即为；

（2）由题意知的所有可能取值为3，4，5，则

，，，

所以的分布为，，

.

19．某中学为了加强食堂用餐质量开展“美食”工作，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数）不低于0.95，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)为了了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求出应选取评分在的学生人数；

(2)判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.

【答案】(1)10人

(2)需要进一步整改，理由见解析

【分析】（1）先通过频率分布直方图求出的值，然后由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算；

（2）由频率分布直方图求出平均值以及求出第60百分位数后，根据题意求出认可系数，比较即可．

【详解】（1）由题意有：，

解得，

评分低于80分的频率为：，

因此评分低于80分的人数为：，

评分在的学生总数为，

因此分层抽样时应选取评分在的学生人数为：人.

（2）认可程度平均分为：

，

设认可程度评分第60百分位数为，

则，

解得，

因此认可系数，

所以需要进一步整改.

20．已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.

(1)求椭圆的离心率；

(2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值；

(3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)为定值，

【分析】（1）利用条件直接求出，从而求出椭圆的离心率；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程得，设，，，由结合重心坐标公式可得，，表示出，由韦达定理代入化简即可得出答案；

（3）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，利用条件分别求出的面积，从而判断出是否为定值.

【详解】（1）因为，所以，

又，所以，解得，

所以椭圆E的的离心率.

（2）设直线的方程为，

联立，得，

设，，，则，，

因为原点为的重心，所以，，

所以.

（3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或，

当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，

将或者代入椭圆方程，均求得，

又点到直线的距离均为3，因此.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由（2）知，，

，，

因为在椭圆上，代入椭圆方程可得，

化简得，

又

，

到直线AB的距离为：

，

所以为定值.

综上所述，的面积是为定值.

21．给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.

(1)若，判断集合是否为空集，并说明理由；

(2)若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；

(3)若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.

【答案】(1)不存在，理由见解析

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾，即可判断；

（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解；

（3）依题意不存在图像上的点，使得该点是“正交点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得到方程对无解，结合二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）假设存在“正交点”，则存在两条相互垂直的切线，

设为和处的切线，

因为，所以，所以，

所以不存在“正交点”，所以.

（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，

因为，所以，

所以在和处的切线方程为：，，

联立，解得，即，

因为两条切线互相垂直，所以，

所以，所以的所有“正交点”在一定直线上.

（3）因为，所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”.

先证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点.

反证法：假设该点不是切点，则存在切线，

它与函数图像交于点，所以，

化简得，因为，所以，

同理可得，所以，所以两条切线重合，矛盾！所以该点本身一定是切点.

假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，

则由前文可知，所以

，

因为，所以，

即，

设，

则有，

由题意可知图像上的点都不是“正交点”，也即不存在这样的点，

所以方程对无解.

设，其对称轴为，

所以当时，取得最小值，

要使得无解，只要，解得.

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的.