2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．若双曲线的渐近线的方程为，则      .

【答案】

【分析】首先判断，再表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可.

【详解】因为双曲线方程为，所以，

则渐近线方程为，所以，则.

故答案为：

2．已知，则      ．

【答案】

【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.

【详解】因为，则.

故答案为：

3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是，和棋的概率是，则甲不输的概率为      ．

【答案】

【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得 .

【详解】记甲获胜为事件A，和棋为事件B.

易知A，B互斥，

所以，甲不输的概率为．

故答案为：

4．在的展开式中常数项为        (用数字作答).

【答案】

【解析】写出的展开式的通项，即可求得常数项.

【详解】的展开式的通项为：

，

当，

解得，

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式.

5．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则        ．

【答案】

【分析】根据条件概率公式，结合组合数公式，即可求解.

【详解】因为事件，所以，

而，所以.

故答案为：

6．从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若表示取出后的得分，则      .

【答案】/1.4/

【分析】利用古典概型的概率公式得到随机变量每一个可能取值下的概率值，再代入数学期望公式的定义式即可求解.

【详解】从1，2，3，4，5中任取2个不同数的所有结果有：，，，，

，，，，，共10种结果，

其中和为偶数的有：，，，共4种，

其中和为奇数的有：，，，，，共6种，

所以，，

利用数学期望公式.

故答案为：.

7．已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照，这四位同学排在同一行，则甲、乙两位学生相邻的概率为      .

【答案】/

【分析】利用捆绑法，先将甲、乙两位学生看成一个整体，再与剩余学生排列，结合古典概型运算求解.

【详解】四位同学排列，共用种不同排法，

若甲、乙两位学生相邻，共用种不同排法，

所以甲、乙两位学生相邻的概率.

故答案为：.

8．随机变量，，若，那么实数的值为          .

【答案】

【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果.

【详解】，，，，

，，解得：.

故答案为：.

9．在中，，顶点在以为直径的圆上.点在平面上的射影为的中点，，则三棱锥外接球的半径为          .

【答案】2

【分析】根据三棱锥的外接球几何关系和勾股定理即可求.

【详解】

设球的半径为，

所以，

解得，

所以外接球的半径为2.

故答案为：2.

10．期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为          ．

【答案】

【分析】根据全概率公式求解即可.

【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”

则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：

.

故答案为：.

11．的展开式中的系数是          ．

【答案】120

【分析】利用二项式定理得到的展开式中的系数为，从而得到答案为.

【详解】的展开式中的系数为，

故的展开式中的系数是.

故答案为：120

12．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数      ．

【答案】236

【分析】按照特殊元素优先处理原则，分类讨论秋老师教9班，秋老师教10班的排课方法种数，但这两种重复了秋老师同时教9班和10班的排课方法种数，减去即可得到答案.

【详解】（1）秋老师教9班，曲老师可在4,5,7,10班中选两班，再分两小类：

①曲老师不教5班，则曲老师可选（种）；王老师可选（种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有（种）；按分步相乘计数原理有：（种）；

②曲老师教5班，则曲老师可选（种）；剩余的4个班4个老师全排列安排有（种）；按分步相乘计数原理有：（种）.

按分类相加计数原理，秋老师教9班有：（种）；

（2）秋老师教10班，同理也有126（种）；

（3）秋老师同时教9班和10班，曲老师可在4,5,7班中选两班，再分两小类：

①曲老师不教5班，则曲老师教4班和7班，王老师再从2,6班选一个，可选（种）；剩余的2个班2个老师全排列安排有（种）；按分步相乘计数原理有：（种）；

②曲老师教5班，则曲老师可选（种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有（种）；按分步相乘计数原理有：（种）.

按分类相加计数原理，秋老师同时教9班和10班有：（种）；

但秋老师同时教9班和10班在（1）和（2）两种分类里都涉及到，所以重复需减去，

故不同的排课方法种数有：（种）.

故答案为：236

【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

二、单选题

13．若函数在处导数为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义即可直接求解.

【详解】,

故选：D.

14．如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.

【详解】由题意可得：，则，

故，

∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.

故选：D.

15．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（    ）

A．24 B．36 C．60 D．240

【答案】C

【分析】分两种情况分类计算，一种是基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.

【详解】当基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；

当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；

则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.

故选：C

16．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用抛物线定义及两点间距离公式列式，再借助均值不等式求解作答.

【详解】抛物线的准线方程为，，则，，

，当时，，

当时，，当且仅当时取等号，而，

所以的最小值是.

故选：B

三、解答题

17．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成的角．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用已知条件结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据线面角的定义进行求解即可.

【详解】（1）在正方形中，，

因为，所以，

又因为侧面是正方形，所以，

因为平面，

所以平面，

而平面，则，而，

∴，而，

又平面，

∴平面

（2）连接，如图所示：

∵为正方形，，

∴，

而平面，

∴平面，

∴为直线与平面所成的角，

∵，

∴，

所以直线与平面所成的角为.

18．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：

已知与线性相关.

(1)求关于的线性回归方程；

(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，

【答案】(1)

(2)万人

【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程；

（2）利用回归方程估计.

【详解】（1）解：由

有，

故关于的线性回归方程为；

（2）解：由（1）知回归方程为，当时，，

所以预测该月的用户数量为万人.

19．人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

(1)根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？

(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.

附：，其中.

【答案】(1)没有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断；

（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【详解】（1）零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.

根据表中数据得，

所以根据小概率值的独立性检验，

没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.

（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，

有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，

有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，

则的可能取值为，

又，

所以的分布列为

所以.

20．设椭圆的离心率，过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)求椭圆被直线截得的弦长.

(3)直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，从而得到椭圆的方程．

（2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解.

（3）根据向量的坐标运算即可代入韦达定理求解.

【详解】（1）由题意可知，解得，

椭圆的方程为．

（2）设椭圆与直线的交点为，，，，

联立方程，消去得，

，，

因此

（3）设，，

联立方程，消去得，

所以，，，得

由，即

，

，均符合，

故

21．定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．

(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；

(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；

(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．

【答案】(1)9；

(2)；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解作答.

（2）设出切点坐标，利用导数和几何意义结合圆的切线性质，建立函数关系，再利用导数求函数最小值作答.

（3）假定存在点满足题意，利用导数的几何意义结合同角公式导出矛盾作答.

【详解】（1）设点，由，求导得，

于是，解得，由，得，解得，

所以m的值为9.

（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，

又圆M：的圆心，直线的斜率为，

则由，得，令，求导得，

当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，

因此当时，，

所以当时，.

（3）假设存在满足题意，

则有，对函数求导得：，

于是，即，

平方得，

即有，因此，

整理得，而恒有成立，则有，

从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，

所以假设不成立，即不存在点满足条件.

【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.