2022-2023学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（2月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 任意画一个三角形，其内角和是
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C. 汽车累积行驶，从未出现故障
D. 购买张彩票，中奖

4.  已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定

5.  用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将二次函数向左平移个单位，再向上平移个单位，所得新抛物线表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，且于点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一天晚上，小华帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯杯、盖形状不同，突然停电了，小慧只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，将扇形纸片沿着半径剪成两个扇形，，其中较小的扇形的圆心角为，围成一个圆锥甲纸片不重合，记它的底面积为；较大的扇形的圆心角为，围成一个圆锥乙纸片不重合，记它的底面积为；若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，已知点，，过作轴的垂线交线段的垂直平分线于点，若到直线：的距离为的点有且只有三个，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  点关于原点对称的点的坐标是______．

12.  某工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，设每季度平均增长率为，则可列出方程为______．

13.  如图，中，，过点作的平行线交过点的圆的切线于点若，则的度数是______ ．

14.  十八世纪法国的博物学家布丰做过一个有趣的投针试验如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：

可以估计出针与直线相交的概率为______ 精确到，由此估计的近似值为______ 精确到．

15.  如图，抛物线交轴于点，在的左侧，交轴的正半轴于点，抛物线的对称轴为直线，点在点的右侧，直线的解析式为下列结论；；；其中正确的是______ ．

16.  如图，在中，点为上一点，，点在线段上，，若，，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知关于的方程的一个根为，求的值和方程的另一根．

18.  本小题分
如图：，、分别是半径和的中点，求证：．

 

19.  本小题分

“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”种手势中的种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出种手势中的种．

甲每次做出“石头”手势的概率为____；

用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．

20.  本小题分
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．
求证：直线与相切；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
，，三个格点都在圆上画出该圆的圆心，并画出的中点；
如图，点为网格点，和为的直径，点为上一点，画出点关于的对称点，连接交于，在上画点，使得．

22.  本小题分
如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米以点为原点，自动喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．

求抛物线的解析式；
斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米．
记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线；
如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左多少米？

23.  本小题分
问题提出如图，点为等腰内一点，，，将绕着点逆时针旋转得到，求证：≌．

尝试应用如图，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，，求证：．
问题拓展如图，中，，点，分别在边，上，，，交于点若，，直接写出的长度用含，的式子．

24.  本小题分
抛物线：交轴于点，．

求抛物线的解析式；
如图，直线过点，，点为抛物线第四象限上的一点，过作轴交直线于点，若，求点的坐标；
如图，将抛物线平移使得顶点为坐标原点，记新抛物线为，直线交抛物线于点、点在点的左侧，不与轴平行轴于点点关于轴的对称的点为点，交抛物线于点点在点的左侧，的外接圆为，设点的坐标为的半径为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．
故选：．
直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义逐项分析即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的判断，熟练掌握中心对称图形的定义解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故A符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B不符合题意；
C、汽车累积行驶，从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；
D、购买张彩票，中奖，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，三角形内角和定理，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，，
直线与相离．
故选：．
设圆的半径为，点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案．
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由原方程移项，得
，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方即，得
，
；
故选A．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．

6.【答案】 

【解析】解：将二次函数向左平移个单位，再向上平移个单位，所得新抛物线表达式为，
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

7.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：用和分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用和分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
在确定一组搭配的同时，另一组也确定，
共有种等可能结果，、符合题意的有种，
所以颜色搭配正确的概率是．
故选：．
根据概率的计算公式．颜色搭配总共有种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
本题考查了概率的求法，找出符合条件的可能性计算概率是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：设，
由题意得，，
，
，
，
解得负值舍去，
故选：．
根据扇形的弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，结合弧长公式和圆面积公式分别表示出，，再根据列式求解即可．
本题主要考查了弧长公式，熟知扇形的弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，，，连接，的垂直平分线为，过作轴的垂线，与交于点，

，，
，，
，
∽，
，
设，
，
，，，，
，
整理得：，
点的运动轨迹为抛物线，点的坐标为：，
设直线的平行线为，，
当与的轨迹相切时，只有一个交点，另一条与的轨迹产生两个交点，
令，整理得，，
解得：，
，
解得：，
切点为，
将点代入，，
得，
，
当时，，当时，，
，，
，
，
直线：，当时，，
，
，
过点作，过点作轴交于点，

，，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
故选：．
根据题意作出图象，连接，的垂直平分线为，过作轴的垂线，与交于点，由相似三角形的判定和性质得出点的运动轨迹为抛物线，得出当与的轨迹相切时，只有一个交点，得出切点为，过点作，过点作轴交于点，利用平行四边形的判定和性质及勾股定理解三角形，正弦函数解三角形求解即可．
本题考查点的运动，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键，难度较大．

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，利润的平均月增长率为，那么根据题意即可得出．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是两次变化后的量，表示平均每次的增长率．

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，
．
，，
≌，
．
，
，
为切线，
，
．
，
．
故答案为：．
连接由可得出，从而可利用“”证明≌，即得出，再根据等边对等角可得出由切线的性质可得出，从而得出，最后根据平行线的性质，即可求出的度数．
本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．连接常用的辅助线是解题关键．

14.【答案】   

【解析】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与，
相交的概率为；
，
，
，
解得：，
故答案为：；．
根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可．
题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，与轴交点在轴正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故正确；
当时，，
，故正确；
，即，
，故错误；
联立得到，
，
解得或，
，
，故正确；
故答案为：．
根据抛物线开口向上，与轴交点在轴正半轴，得到，，再根据抛物线的对称轴为直线，得到即可判断；根据当时，即可判断；求出直线与抛物线的两个交点的横坐标为，，得到，即可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，
，，
、、、四点共圆，
令其圆心为，连接、，
，则，
过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，

，，
，，，
，，
，与圆相切，
，
≌，
，
，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
，
由三角形三边关系可知：当、、在同一直线上时取等号，
的最大值为：．
故答案为：．
将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，可知、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、过作，交于，交圆于，过、分别作圆的切线，交于，连接交于，连接、，利用的直角三角形求得，由，与圆相切，可得≌，利用其性质证得，计算出，，由，知，可得四边形为平行四边形，则，由三角形三边关系可知：当、、在同一直线上时取等号，即可求得的最大值．
本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键．

17.【答案】解：设方程的另一根为，
根据根与系数的关系得，，
解得，，
即的值为，方程的另一根为． 

【解析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系得，，然后先求出，再求的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．

18.【答案】证明：连接．

在中，
，
，、分别是半径和的中点，
，
，
在与中

≌，
． 

【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．

19.【答案】解：
画树状图得：

共有种等可能的情况数，其中乙不输的有种，
则乙不输的概率是． 

【解析】【分析】
本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
见答案．

20.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
是的半径，
直线与相切；
解：设的半径为，
在中，，
，
，
，
，
由得：，
，
在中，，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平分，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答；
设的半径为，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．

21.【答案】解：如图所示，圆心，的中点即为所求；

如图所示，，即为所求．
 

【解析】如图，连接、交于点，由、可知、是直径，则交点为该圆的圆心；在矩形中，连接、交于点，则点为的中点，连接并延长交于点，则点为的中点；
如图，连接交于点，连接并延长交于，则点为点关于的对称点，连接交于，可得，同理作点关于的对称点，连接交于点，则，是的中位线，所以，由轴对称的性质可知，，结合可得，所以是直径，则，延长交于点，，可得，即为所求．
本题考查了作图，利用了圆周角定理的推论，垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质，三角形中位线的判定和性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．

22.【答案】解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，
则可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线为，
由题可知点坐标为，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入得，
解得 ，
则直线为，
，
的最大值为．
设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，
解得或舍去，
喷射架应向后移动米． 

【解析】根据当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，设设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，即可求解；
先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解．
此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．

23.【答案】解：问题提出：
证明：，，将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，即：，
在与中，
，
≌．
尝试应用：延长，使，连接，

为等腰直角三角形，
，，
又，即：，
、、、四点共圆，
，
，
在与中，
，
≌．
，，
，即：，

≌
，

即：．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，

，，
，
、、、、五点共圆，
则：，，，，，
又，
，
，
，，，
≌
，
，，，
≌
，
，则，
作交于，则，
，
，
，
则：． 

【解析】问题提出：由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明≌；
尝试应用：延长，使，连接，由题意可知、、、四点共圆，可得，进而可得，利用可证得≌，根据其性质得，，，进而可证得，，即可得证；
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，由，可知、、、、五点共圆，可得，，，根据，，可得，进而得证≌，≌可得，则，作交于，则，可求得，，即可求得的长度．
本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形和利用圆周角定理转化角是解决问题的关键，属于中考压轴题．

24.【答案】解：抛物线：交轴于点，，
抛物线为：；
设直线为，而直线过点，，
，
解得：，
直线为，
设，而轴，
，
，，
，
，
即，
解得：，负数不符合题意舍去，
，
；
将抛物线平移使得顶点为坐标原点，则新抛物线为为：，
设，，，
由，可得，
，，
与关于轴对称，
，
设直线为，
，
，
直线为，
由可得，
，，
，
，，
轴，轴是的垂直平分线，
如图，作的垂直平分线交于，交轴于，过作交轴于，
由可得，而，
，

，
，
，
，
，
，
设直线为，
，
解得：，
由的垂直平行线与平行，
设的垂直平分线为：，
，，
的中点坐标为：，
，
过，，
，
解得：，
，
垂直平分线为，
外接圆的圆心坐标为，
即，
而，
． 

【解析】根据抛物线过，，可得抛物线为，再化简即可；
先求解直线为，设，而轴，，则，，利用建立方程求解即可；
将抛物线平移使得顶点为坐标原点，则新抛物线为为：，设，，，证明，，可得轴，轴是的垂直平分线，证明外接圆的圆心坐标为，即，而，再计算即可．
本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数解析式的求法，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系的灵活运用，勾股定理的应用，三角形的外接圆的圆心及其坐标的确定，锐角三角函数的应用是解本题的关键．