2022-2023学年湖南省永州市道县九年级（上）期末数学试卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市道县九年级（上）期末数学试卷（A卷）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 全体实数

2.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  方程：的解是(    )

A.  B.
C. ， D.

6.  在个数据中，用适当的方法抽取个数据为样本进行统计，其中这一组数据的频率为，请估计总体数据落在之间的约有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，反比例函数的图象过点，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  定义新运算“”：对于实数，，，有，其中等式的右边通常是加法和乘法运算，例如，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根 ______ ．

12.  今年月，我市为了缓解旱情，发射人工降雨火箭，实施人工降雨工作，在一场人工降雨中，道县测得个面积相等区域区域用表示的降水量如下表所示，则可估计道县这次的平均降雨量为______ ．

13.  当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为______ ．

14.  已知：如图，，，，，则 ______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，若，则正方形的面积是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
如图，在与中，，求证：．

20.  本小题分
已知反比例函数的图象经过点．
求这个反比例函数的表达式；
若，是这个反比例函数图象上的两个点，请比较，的大小．

21.  本小题分
某县实验中学为了庆祝党的二十大胜利召开，举行“党史知识”竞赛，向党的二十大献礼，八年级和九年级各选出名选手参加比赛，成绩如图所示．

根据图中数据填写上表中的 ______ ， ______ ．
计算两个年级竞赛成绩的方差，并说明哪个年级的成绩较稳定．

22.  本小题分
如图，在中，，已知，，求，，的值．

23.  本小题分
道州脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的矿物质，深受消费者的喜爱某合作社从年到年每年种植脐橙亩，年脐橙的平均亩产量为千克，年到年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，年脐橙的平均亩产量达到千克．
若年和年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，年每亩脐橙的种植成本为元，若脐橙的种植面积每增加亩，每亩脐橙的种植成本将下降元，求年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？

24.  本小题分
阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．
运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为：，解方程和，可得方程的解为，，．
问题：方程的解是：， ______ ， ______ ．
拓展：解方程组．
应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小明把一根长为的绳子一端固定在点，把绳长拉直并固定在上的一点处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点处，求的长．

25.  本小题分
综合与实践：数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣，获得数学知识．

如图，在矩形中，点、、分别为边、、的中点，连接、，为的中点，连接将绕点旋转，线段、和的位置和长度也随之变化当绕点顺时针旋转时，请解决下列问题：
图中，，此时，点落在的延长线上，点落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
图中，若，，则 ______ ；当，时， ______ ；
在的条件下，连接图中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得如图点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：函数中，自变量的取值范围是．
故选：．
根据反比例函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数的自变量取值范围，熟练掌握分式的分母不等于是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：是一元一次方程，故A错误；
B.是一元二次方程，故B正确；
C.是二元二次方程，故C错误；
D.是分式方程，故D错误．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答本题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
C、两个图形形状相同，相似，符合题意．
D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意．
故选：．
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
本题考查的是相似形图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
故选：．
根据三角函数的定义即可求得的值．
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，掌握为的对边，为的邻边是关键．

5.【答案】 

【解析】解：移项得，
，．
故选C．
这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求的平方根．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．

6.【答案】 

【解析】解：用样本估计总体：在频数分布表中，这一组的频率是，
那么估计总体数据落在这一组的频率是，
那么其大约有个．
故选：．
利用数据总数乘以该范围的频率即可求得频数．
本题考查频率、频数的关系，解题的关键是了解频率频数数据总和．

7.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据比例的分比性质即可求解．
此题考查了比例的分比性质：若，则．

8.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡度，
，
米，
在中，由勾股定理得，米，
故选：．
根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：由反比例函数的几何意义可知，
，
故选：．
由反比例函数的几何意义可知，也就是的面积的倍是，求出的面积即可．
考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握的绝对值，等于的面积的倍．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
整理得：，
方程有两个实数根，
，，
解得：且，
故选：．
由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是正确运用根的判别式．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．
【解答】
解：已知关于的方程有一个根是，
所以由得：，
．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：平均降雨量为：．
故答案为：．
平均数即把个数据相加，再除以即可求得．
本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解决本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：三角形的面积底边底边上的高，
，
．
故答案为：．
根据等量关系“三角形的面积底边底边上的高”即可列出与的关系式．
本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线得出正确的比例式是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：作轴于，如图，
点的坐标为，
，，
，
在中，，
故答案为．
作轴于，如图，先利用勾股定理计算出，然后在中利用正弦的定义求解．
本题考查了三角函数的定义，充分利用勾股定理和解直角三角形计算三角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．

16.【答案】 

【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
同理可得∽，
，
，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，

正方形的面积是．
故答案为：．
先求出，再证明∽，得到，，，再证明∽，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，，根据规律即可求解．
本题为位似的实际应用，考查了位似的定义，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】分别计算零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减法．
本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，特殊角三角函数，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．

18.【答案】解：原方程可化为：，
或；
解得：，． 

【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

19.【答案】证明：，
则，
，
，
∽，
，
． 

【解析】由可证，进而可证得∽，利用其性质可列比例关系，即可得证结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．

20.【答案】解：把代入，
得，
解得：．
这个反比例函数的解析式为；
理由如下：
，
在每一个象限内，函数值随的增大而增大．
点，都在第四象限，且，
． 

【解析】把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解；
根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值随的增大而增大解答．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．需要熟练掌握反比例函数图象的性质是解决问题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：由图可知八年级名选手的竞赛成绩为：、、、、，
九年级班名选手的竞赛成绩为：、、、、，
八年级名选手的竞赛成绩位于正中间的是，即中位数是，
，
九年级的竞赛成绩出现次数最多的为分，即众数为分，
，
故答案为：，；
八年级成绩的方差为：，
九年级成绩的方差为：，
，
八年级成绩更稳定．
观察图分别写出八年级班和九年级班名选手的复赛成绩，然后根据中位数以及众数的求法，求解即可；
根据方差公式计算，再根据方差的意义，求解即可．
本题考查了中位数、众数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．

22.【答案】解：，，，
，
则，
，． 

【解析】由勾股定理可得的长度，再根据正弦的三角函数的定义即可求得的正弦值，从而可求得这个角的度数，进而可求得的度数．
本题考查了三角函数的定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，勾股定理，关键是求得的正弦值．

23.【答案】解：设年和年脐橙平均亩产量的年增长率为，
根据题意，得，
解得，不合题意，舍去，
答：脐橙平均亩产量的年增长率为．
设增加脐橙种植面积亩．
根据题意，得．
解得不合题意，舍去，．
答：该合作社增加脐橙的种植面积亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变． 

【解析】设年和年脐橙平均亩产量的年增长率为，第年脐橙平均亩产量为千克，第年脐橙平均亩产量为千克，据此列出方程求解即可；
设增加脐橙种植面积亩，根据成本不变列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．

24.【答案】   

【解析】解：，
，
．
或或，
，，，
故答案为：，；
．
由得：，
将代入中得：，
整理得：，即：，
，，
将代入中，，
将代入中，，
原方程组的解为：，；
四边形是矩形，
，，
设，则，
因为，，，
，
，
两边平方，得，
整理，得，
两边平方并整理，得，
解得或不合题意，舍去此时，
经检验，是方程的解，
则．
答：的长为．
首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论；
运用“转化”的数学思想，将二元方程转化为一元，求解即可；
设的长为，则，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解再代入即可．
本题考查的是因式分解法解一元二次方程，解无理方程是注意到验根．解决时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．

25.【答案】   

【解析】解：结论：，理由如下：
，四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
、为，中点，即：，，
，
≌，
，
为中点，为中点，
，
．
连接，如图所示，

由题意知，，，
，
由矩形性质及旋转知，，
∽，
，
为中点，为中点，
，
，
若，，则；
当，时，．
故答案为：；；
过作于，如图所示，

由折叠知，，，
平分，
，
，
，，
，
设，，
由知，，
即，，
，
∽，
，
即，，
，
解得：，
故答案为：．
先证明≌，得，再根据中位线性质得，等量代换即可；
连接，先证明∽，利用相似三角形的性质可得，再根据中位线性质得，等量代换即可；
过作于，根据折叠性质得，根据角平分线证明出，设，，根据三角函数定义找到、之间的关系，再利用∽，得到，代入解方程即可．
本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键．