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初中数学13.3.2 等边三角形同步训练题
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这是一份初中数学13.3.2 等边三角形同步训练题，文件包含八年级数学上册必考点10等边三角形的性质与判定-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版原卷版docx、八年级数学上册必考点10等边三角形的性质与判定-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
必考点10 等边三角形的性质与判定
●题型一 等边三角形的性质
★★★1、解决求线段长问题
【例题1】（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
A．1 B．32 C．2 D．3
★★★2、解决求角度问题
【例题2】（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【例题3】（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，
AE＝CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为 ；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
★★★3、利用等边三角形的性质证明线段相等问题
【例题4】（2021秋•庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．
【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
●题型二 等边三角形的判定
【例题6】（2022春•嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC
【例题7】（2021秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且
DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
【例题8】（2012•乐平市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
●题型三 含30°角的直角三角形的性质的应用
【例题9】（2022春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ．
【例题10】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【例题11】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【解题技巧提炼】
（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
●题型四 等边三角形的性质与判定的综合应用
【例题12】（2022春•神木市期末）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
【例题13】（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定与性质
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
●题型五 与等边三角形相关的实际问题
【例题14】（2022春•西安期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
●题型六 构造等边三角形证明线段之间的数量关系- - --（培优）
【例题15】（2021秋•北京期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝α（30°＜α＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．
【解题技巧提炼】
构造等边三角形证明线段之间的数量关系主要是综合运用等边三角形的性质和判定，以及全等三角形，关键是辅助线的作法是解题的关键.
●题型七 与等边三角形相关动态探究题
【例题16】（2022春•莲湖区期中）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【解题技巧提炼】
解决与等边三角形相关动态探究题的问题时，主要是“化动为静”，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
◆◆◆题型一 等边三角形的性质
1．（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
2．（2021秋•平江县期末）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．53
3．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
4．（2021秋•融水县期中）如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD．
5．（2020秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．
◆◆◆题型二 等边三角形的判定
6．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，
（1）说明△BCD与△CAE全等的理由；
（2）请判断△ADE的形状，并说明理由．
◆◆◆题型三 含30°角的直角三角形的性质的应用
8．（2022春•三水区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
9．（2021秋•大兴区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E，DE＝2．求BD的长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．
（1）求∠DFG的度数．
（2）求BC的长度．
◆◆◆题型四 等边三角形的性质与判定的综合应用
11．（2021秋•重庆期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：△PCQ为等边三角形．
◆◆◆题型五 与等边三角形相关的实际问题
12．（2021秋•密山市校级期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
◆◆◆题型六 构造等边三角形证明线段之间的数量关系----（培优）
13．（2021秋•德城区校级期中）小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）（初步探究）
小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，请直接写出结论；
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．
◆◆◆题型七 与等边三角形相关动态探究题
14．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
15．（2021春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
1．（2022春•鄄城县期末）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
2．（2021秋•临沂期末）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．90° B．120° C．180° D．无法确定
3．（2021秋•卫辉市期末）如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
4．（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°
5．（2022秋•兴化市月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序号）．
6．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022秋•南岗区校级月考）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
8．（2021秋•西华县期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
9． （2021秋•东莞市期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长
为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
10．（2022春•云岩区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE．
11．（2021秋•晋安区期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC．
（1）求∠A、∠ABC的度数；
（2）连接CE，且CE=12AB，求证：△BCE是等边三角形．
13．（2021•西城区校级开学）在等边△ABC中，过点A作一条射线AM，设∠BAM＝α°，在射线AM上取一点D，使得AC＝AD且∠ACD＝∠ADC．AE是∠BAM的角平分线，交直线CD于E．
（1）如图1，当AM⊥BC时∠BCE＝ °，∠AED＝ °；
（2）当AM∥BC时，∠AED＝ ；
（3）如图2中，求出∠BCE的度数（可以用含α的等式表示）．
14．（2022秋•江阴市校级月考）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
15．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝ 度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数量关系？请说明理由．
必考点10 等边三角形的性质与判定
●题型一 等边三角形的性质
★★★1、解决求线段长问题
【例题1】（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
A．1 B．32 C．2 D．3
★★★2、解决求角度问题
【例题2】（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【例题3】（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，
AE＝CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为 ；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
★★★3、利用等边三角形的性质证明线段相等问题
【例题4】（2021秋•庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．
【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
●题型二 等边三角形的判定
【例题6】（2022春•嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC
【例题7】（2021秋•宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且
DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
【例题8】（2012•乐平市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
●题型三 含30°角的直角三角形的性质的应用
【例题9】（2022春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ．
【例题10】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【例题11】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【解题技巧提炼】
（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
●题型四 等边三角形的性质与判定的综合应用
【例题12】（2022春•神木市期末）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
【例题13】（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定与性质
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
●题型五 与等边三角形相关的实际问题
【例题14】（2022春•西安期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
●题型六 构造等边三角形证明线段之间的数量关系- - --（培优）
【例题15】（2021秋•北京期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝α（30°＜α＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．请根据上述分析过程，完成解答过程．
【解题技巧提炼】
构造等边三角形证明线段之间的数量关系主要是综合运用等边三角形的性质和判定，以及全等三角形，关键是辅助线的作法是解题的关键.
●题型七 与等边三角形相关动态探究题
【例题16】（2022春•莲湖区期中）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【解题技巧提炼】
解决与等边三角形相关动态探究题的问题时，主要是“化动为静”，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
◆◆◆题型一 等边三角形的性质
1．（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
2．（2021秋•平江县期末）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．53
3．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
4．（2021秋•融水县期中）如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD．
5．（2020秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．
◆◆◆题型二 等边三角形的判定
6．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，
（1）说明△BCD与△CAE全等的理由；
（2）请判断△ADE的形状，并说明理由．
◆◆◆题型三 含30°角的直角三角形的性质的应用
8．（2022春•三水区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
9．（2021秋•大兴区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E，DE＝2．求BD的长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．
（1）求∠DFG的度数．
（2）求BC的长度．
◆◆◆题型四 等边三角形的性质与判定的综合应用
11．（2021秋•重庆期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：△PCQ为等边三角形．
◆◆◆题型五 与等边三角形相关的实际问题
12．（2021秋•密山市校级期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
◆◆◆题型六 构造等边三角形证明线段之间的数量关系----（培优）
13．（2021秋•德城区校级期中）小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）（初步探究）
小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，请直接写出结论；
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．
◆◆◆题型七 与等边三角形相关动态探究题
14．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
15．（2021春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
1．（2022春•鄄城县期末）下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
2．（2021秋•临沂期末）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．90° B．120° C．180° D．无法确定
3．（2021秋•卫辉市期末）如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
4．（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°
5．（2022秋•兴化市月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序号）．
6．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022秋•南岗区校级月考）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
8．（2021秋•西华县期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
9． （2021秋•东莞市期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长
为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
10．（2022春•云岩区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE．
11．（2021秋•晋安区期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC．
（1）求∠A、∠ABC的度数；
（2）连接CE，且CE=12AB，求证：△BCE是等边三角形．
13．（2021•西城区校级开学）在等边△ABC中，过点A作一条射线AM，设∠BAM＝α°，在射线AM上取一点D，使得AC＝AD且∠ACD＝∠ADC．AE是∠BAM的角平分线，交直线CD于E．
（1）如图1，当AM⊥BC时∠BCE＝ °，∠AED＝ °；
（2）当AM∥BC时，∠AED＝ ；
（3）如图2中，求出∠BCE的度数（可以用含α的等式表示）．
14．（2022秋•江阴市校级月考）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
15．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝ 度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数量关系？请说明理由．
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