专题11.1 三角形的三边关系（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（人教版）

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专题11.1 三角形的三边关系


【典例1】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　 　AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

【思路点拨】
（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
【解题过程】
解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．
理由：如图②，延长BP交AC于M，

在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，
两式相加得BP+PC＜AB+AC，
于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长；
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，
理由：如图③，分别延长BP1、CP2交于M，

由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，
可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，
于是得：四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．


1．（2021秋•博白县期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
首先能够找到所有的情况，然后根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解题过程】
解：根据三角形的三边关系，得5，7，9；7，9，13；5，9，13都能组成三角形．
故有3个．
故选：C．
2．（2022春•东台市期中）为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（　　）

A．6m B．18m C．26m D．20m
【思路点拨】
由PA＝12m，PB＝13m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．
【解题过程】
解：∵PA＝12m，PB＝13m，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即1m＜AB＜25m，
∴AB间的距离不可能是：26m．
故选：C．
3．（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．14
【思路点拨】
分四种情况、根据三角形的三边关系解答即可．
【解题过程】
解：①选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
②选6+4、3、8作为三角形，则三边长为10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为10；
③选3+8、4、6作为三角形，则三边长为111、4、6；4+6＜11，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；而3+4＜14，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10，
故选：B．
4．（2022春•江阴市期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为28，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个．

A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拨】
依据△ABC的周长为28，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜14，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10，12．
【解题过程】
解：∵△ABC的周长为28，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴2＜BC＜28﹣BC，
解得2＜BC＜14，
又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，
∴AC=28−BC−22为整数，
∴BC边长为偶数，
∴BC＝4，6，8，10，12，
即BC的长可能值有5个，
故选：B．
5．（2021秋•九龙坡区期末）已知a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0．若b为奇数，则△ABC的周长为（　　）
A．10 B．8或10 C．10或12 D．8或10或12
【思路点拨】
根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【解题过程】
解：∵|a﹣4|+（c﹣3）2＝0，
∴a＝4，c＝3，
∴边长b的范围为1＜b＜7．
∵边长b的值为奇数，
∴b＝3或5，
∴△ABC的周长为4+3+3＝10或4+3+5＝12．
故选：C．
6．（2021春•叶县期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格（元/根）
10
15
20
25
30
35
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【思路点拨】
根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案．
【解题过程】
解：设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3，
解得2＜x＜8，
x＝3，4，5，6，7，共5种选择，
根据木棒的价格可得选3m最省钱，
所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元，
故选：C．
7．（2021秋•霍林郭勒市期末）满足下列条件的三条线段a、b、c能构成三角形的是（　　）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a+b＝4，a+b+c＝9
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：c＝1：1：2
【思路点拨】
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可．
【解题过程】
解：A、设a，b，c分别为1x，2x，3x，则有a+b＝c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误；
B、当a+b＝4时，c＝5，4＜5，不符合三角形任意两边大于第三边，故该选项错误；
C、当a＝3，b＝4，c＝5时，3+4＞5，故该选项正确；
D、设a，b，c分别为x，x，2x，则有a+b＝c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误．
故选：C．
8．（2021秋•建湖县期末）已知线段AB＝9cm，AC＝5cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为4cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】
直接利用当A，B，C在一条直线上，以及当A，B，C不在一条直线上，分别分析得出答案．
【解题过程】
解：∵线段AB＝9cm，AC＝5cm，
∴如图1，当A，B，C在一条直线上，

∴BC＝AB﹣AC＝9﹣5＝4（cm），故①正确；
如图2，当A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB+AC＝9+5＝14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C不在一条直线上，
9﹣5＜BC＜9+5，
故线段BC不可能为3cm，可能为9cm，故③，④正确．
故选：D．
9．（2021秋•柯桥区月考）如图，∠MAB为锐角，AB＝10，点B到射线AM的距离为6，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 　 　．

【思路点拨】
当x＝6或x≥10时，三角形是唯一确定的．
【解题过程】
解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝6或x≥10，
故答案为：x＝6或x≥10．
10．（2021春•庐山市 期末）在一个三角形中，如果有一条边的长是另一条边长的2倍，且有两条边的和是另一条边的2倍，那么我们就把这样的三角形叫2倍边三角形．如果一个2倍边三角形中有一条边长为6，则这个三角形的另外两条边的和可以是 　 　．
【思路点拨】
设最短边为x，其他两边分别为2x，1.5x，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解题过程】
解：设最短边为x，其他两边分别为2x，1.5x，
当x＝6时，其他两边为12，9，因为6+9＞12，符合题意，12+9＝21；
当2x＝6时，其他两边为3，4.5，因为3+4.5＞6，符合题意，3+4.5＝7.5；
当1.5x＝6时，其他两边为4，8，因为4+6＞8，符合题意，4+8＝12；
故答案为：21或7.5或12．
11．（2022•莱州市一模）已知关于x的不等式组x−a＜0，2x−1≥7至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有 　4　个．
【思路点拨】
依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【解题过程】
解：x−a＜0①2x−1≥7②，
解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个．
故答案为：4．
12．（2021春•南京月考）现有长为100cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 　 　．
【思路点拨】
根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，然后依此类推，最后每段的总和要等于100即可．
【解题过程】
解：因为n段之和为定值100cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
1+1+2+3+5+8+13+21+46＝100，
所以n的最大值为9．
故答案为9．
13．（2021秋•阳东区期中）已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于16的偶数．判断△ABC的形状．
【思路点拨】
根据三角形三边关系进而得出c的取值范围，利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解题过程】
解：∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于16的偶数，
∴2＜c＜6，
∴c＝4；
当c＝4时，△ABC的形状都是等腰三角形．
14．（2021秋•长丰县月考）如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，点B、F、C、E在一条直线上，AB＝4，EF＝6，求△ABC中AC边的取值范围．

【思路点拨】
证明BC＝EF＝6，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解题过程】
解：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF＝6．
∵AB＝4，
∴6﹣4＜AC＜6+4，
∴AC边的取值范围为：2＜AC＜10．
15．（2021秋•八步区期中）已知，△ABC的三边长为4，9，x．
（1）求△ABC的周长的取值范围；
（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．
【思路点拨】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据周长为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．
【解题过程】
解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x，
∴9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13，
∴9+4+5＜△ABC的周长＜9+4+13，
即：18＜△ABC的周长＜26；
（2）∵△ABC的周长是偶数，由（1）结果得△ABC的周长可以是20，22或24，
∴x的值为7，9或11．
16．（2021秋•阜阳月考）如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞12（AB+BC+CA）．

【思路点拨】
在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．
【解题过程】
证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
∴OA+OB+OC＞12（AB+BC+CA）．
17．（2021秋•双流区期末）如图，在五边形ABCDE的各边上任意取一点，并顺次连接它们．试比较得到的图形周长与原五边形周长的大小，并说明理由．

【思路点拨】
任意两边上的点和两点间的顶点恰好构成一个三角形，利用三角形的三边关系可以得出结论．
【解题过程】
解：如图，在五边形ABCDE中，分别在各边上取点E、F、G、H、K、L，

在△AFL中，AF+AL＞FL，
同理在△BFG、△CGH、△DHK和△EKL中可得：
BF+BG＞GF，CG+CH＞GH，DH+DK＞HK，EK+EL＞LK，
∴AL+AF+BG+BF+CG+CH+DH+DK+EK+EL＞FL+FG+GH+HK+LK，
即AB+BC+CD+DE+EA＞FL+FG+GH+HK+LK，
∴五边形ABCDE的周长大于五边形FGHKL的周长．
18．（2021秋•梁园区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长．
【思路点拨】
利用非负数的性质求出b，c的值，解绝对值方程求出a，再利用三角形的三边关系解决问题即可．
【解题过程】
解：∵（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，
∴b−5=0c−7=0，解得b=5c=7
∵a为方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a＝1不合题意；
∴a＝5，
∴△ABC的周长＝5+5+7＝17，
19．（2021春•织金县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（3）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）根据绝对值非负数的性质，得出a＝b或b＝c或a＝b＝c，进而得出结论；
（3）利用三角形的三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解题过程】
解：（1）∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0或a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c或a＝b＝c，
∴△ABC为等腰三角形或等边三角形；
（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）
＝a+b﹣c﹣b+c+a
＝2a．
20．（2021秋•南昌月考）装修店的王师傅将一根长为l的钢筋条刚好切成三段，然后制作模具△ABC，且△ABC的三边长为整数，周长l为奇数（不考虑其他因素）．
（1）若AC＝8，BC＝2，求l的值．
（2）若AC﹣BC＝5，求l的最小值．
【思路点拨】
（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出l的值；
（2）根据AC﹣BC＝5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值，于是得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵AC＝8，BC＝2，
∴8﹣2＜AB＜8+2，
即6＜AB＜10，
∵△ABC的三边长为整数，周长l为奇数，
∴AB＝7或9，
∴l的值为17或19；
（2）∵AC﹣BC＝5，
∴AC、BC中一个奇数、一个偶数，
又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数，
∴AB＞AC﹣BC＝5，得AB的最小值为6，
∵△ABC的三边长为整数，AC﹣BC＝5，
∴AC的最小值为6，BC＝1，
∴l的最小值为13．
21．（2021秋•涪城区校级月考）三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？
【思路点拨】
不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此确定c的值，再确定a、b的值．
【解题过程】
解：设三角形三边为a、b、c，且a≤b≤c．
∵a+b+c＝30，a+b＞c，
∴a+b+c＞2c，即2c＜30，
∴c＜15，
3c≥a+b+c＝30，
∴c＞10，
∴10＜c＜15，
又∵c为整数，
∴c为11，12，13，14．
当c＝11时，另两边分别为：10，9；
当c＝12时，另两边分别为：11，7；10，8；
当c＝13时，另两边分别为：12，5；11，6；10，7；9，8；
当c＝14时，另两边分别为：13，3；12，4；11，5；10，6；9，7．
∴符合条件的所有三角形共有12个．
22．（2021秋•赣州期中）若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　②　（填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
【思路点拨】
（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．
【解题过程】
解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），
解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．