专题15.1 分式的混合运算与化简求值（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题15.1  分式的混合运算与化简求值

【典例1】阅读下列解题过程：

已知，求的值．

解：由，知x≠0，所以，即．

∴

∴的值为7的倒数，即．

以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：

（1）已知，求的值．

（2）已知，求的值．

（3）已知，，，求的值．

【思路点拨】

（1）把已知等式变形求出x的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；

（2）把已知等式变形求出x的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；

（3）把已知三个等式变形后相加可以求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可．

【解题过程】

解：（1）由，知x≠0，

所以，

即，

∴x2

＝（x）2﹣2

＝22﹣2

＝2，

∴的值为2的倒数，即；

（2）由，知x≠0，

所以：7，

∴x﹣17，

即，

∴x2﹣1

＝（x）2﹣3

＝82﹣3

＝61，

∴的值为61的倒数，即；

（3）由，知x≠0，y≠0，

∴，

∴①，

由，知y≠0，z≠0，

∴，

∴②，

由，知z≠0，x≠0，

∴，

∴③，

①+②+③得：

2（），

∴1，

∴1，

∴的值为1的倒数，即1．

1．（2022•武安市一模）只把分式中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的（　　）

A．2 B．mn C． D．m2

2．（2022•桥西区一模）关于代数式M＝（1）下列说法正确的是（　　）

A．当x＝1时，M的值为0 B．当x＝﹣1时．M的值为 

C．当M＝1时，x的值为0 D．当M＝﹣1时，x的值为0

3．（2021秋•遵义期末）若a3，则的值是（　　）

A． B． C． D．

4．（2022•凤阳县一模）已知a，b，c满足a+c＝b，且．则下列结论错误的是（　　）

A．若b＞c＞0，则a＞0 B．若c＝1，则a2＝2 

C．若a2﹣c2＝2，则ac＝2 D．若bc＝1，则a＝1

5．（2021秋•九龙坡区校级期末）已知，则的值为 　   　．

6．（2021春•诸暨市校级月考）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则　   　．

7．（2021春•东坡区月考）已知，其中A、B是常数，则A+B＝　   　．

8．（2022春•隆昌市校级月考）已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 　   　．

9．（2021秋•虎林市校级期末）已知一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2，a3，…，an，则a1+a2+a3+…+a2020＝　   　．

10．（2021秋•潍坊期中）（1）计算：；

（2）化简：．

11．（2022春•西峡县校级月考）已知实数a满足a2+4a﹣8＝0，求的值．

12．（2021•聊城二模）先化简，再求值：1（），其中x是不等式1＜3x+7＜6的负整数解．

13．（2022•仁寿县模拟）已知：，，．求代数式a+b+c的值．

14．（2021秋•西山区期末）若x，y，z，设M＝（x+1）（y+1）（z+1），N＝（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）．

（1）请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；

（2）猜想M和N的大小关系，并证明．

15．（2021春•石城县月考）已知a+b+c＝0，且，求证：．

16．（2021秋•惠州期末）结合图，观察下列式子：

（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq

＝x2+（p+q）x+pq

于是有：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．

（1）填空：因式分解x2+5x+6＝（x+　   　）（x+　   　）；

（2）化简：；

（3）化简：．

17．（2021秋•仓山区校级期末）阅读理解

材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：

从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．

材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．

根据上述材料完成下列问题：

（1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　   　（增大或减小）；

当x＜0时，随着x的增大，的值 　   　（增大或减小）；

（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；

（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．

18．（2021秋•莆田期末）阅读下面材料，并解答相应的问题

欧拉分式

欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式：

．

（1）请你对欧拉分式中，当n＝2时的情况进行证明；

（2）请你利用欧拉分式解决下列问题：

①计算：；

②求的值．

19．（2021秋•通州区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．

（1）已知分式，则　   　的“关联分式”（填“是”或“不是”）；

（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：

设的“关联分式”为N，则N，

∴，

∴N．

请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．

（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　   　；

②用发现的规律解决问题：

若是的“关联分式”，求实数m，n的值．

20．（2021秋•海淀区期末）在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，b＝0），则称分式为（a﹣b）次分式．例如，为三次分式．

（1）请写出一个只含有字母x的二次分式 　   　；

（2）已知A，B（其中m，n为常数）．

①若m＝0，n＝﹣5，则A•B，A+B，A﹣B，A2中，化简后是二次分式的为 　   　；

②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m+n的值．