初中数学15.3 分式方程课堂检测

这是一份初中数学15.3 分式方程课堂检测，文件包含八年级数学上册专题152分式方程压轴题专项讲练人教版原卷版docx、八年级数学上册专题152分式方程压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

专题15.2 分式方程


【典例1】已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．

【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解题过程】
解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1 中，得22x+3−1−xx−5=1，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x=−15，
检验：把x=−15 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=−15．
答：分式方程的解是x=−15．
（2）把a＝1代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1 得12x+3−b−xx−5=1，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即b=112，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，x=3b−1011−2b，
x=−32 时，分式方程无解，即3b−1011−2b=−32，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即3b−1011−2b=5，b＝5．
综上所述，b=112或b＝5时，分式方程a2x+3−b−xx−5=1 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1 中，得：3b2x+3+x−bx−5=1
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴x=18b−1510+b，
∵x=18b−1510+b=18(b+10)−19510+b=18−19510+b，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．


1．（2021春•南芬区月考）在①x2﹣x+1x，②1a−3＝a+4，③x2+5x＝6，④2xx−3=1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解题过程】
解：①x2﹣x+1x是分式，不是分式方程；
②1a−3＝a+4是关于a的分式方程；
③x2+5x＝6是一元一次方程；
④2xx−3=1是关于x的分式方程，
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A．
2．（2022•黑龙江模拟）已知分式方程2x+3x+1=kx2+2x+1+2的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞1且k≠﹣1 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【思路点拨】
根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解题过程】
解：解2x+3x+1=kx2+2x+1+2得x＝k﹣1．
由关于x的分式方程2x+3x+1=kx2+2x+1+2的解是负数，得k﹣1＜0，且k≠0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：D．
3．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程2x−ax−1−4=−2x+ax+1的解为整数，则整数a＝（　　）
A．a＝±2 B．a＝±1或a＝±2 C．a＝1或2 D．a＝±1
【思路点拨】
对方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程即可求解．
【解题过程】
解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，
（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得：﹣2ax＝﹣4，
即ax＝2，
∵x，a为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∵原分式方程要求x≠±1，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故选：D．
4．（2022•龙马潭区模拟）已知关于x的方程x−4mx2−4+mx−2=1x+2无解，则实数m的取值是（　　）
A．m=12，m=−2 B．m=−12，m=2 C．m=0，m=−12 D．m=0，m=12
【思路点拨】
将关于x的分式方程去分母，整理成整式方程，使整式方程未知数的系数为0，或是分式方程产生增根即可．
【解题过程】
解：关于x的方程x−4mx2−4+mx−2=1x+2，去分母得，
x﹣4m+m（x+2）＝x﹣2，
整理得，mx＝2m﹣2，
由于关于x的方程x−4mx2−4+mx−2=1x+2无解，
所以m＝0，或产生增根x＝±2，
当x＝2时，m的值不存在，当x＝﹣2时，m=12，
因此m＝0或m=12，
故选：D．
5．（2022•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组2x−m≥−132(x+23)+12≤9有且只有两个偶数解，且关于y的分式方程my−4y−2=−2−3y−22−y的解为整数，则所有满足条件的整数m的和是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．9
【思路点拨】
根据题目的条件确定m的取值范围即可求解．
【解题过程】
解：解不等式组：2x−m≥−132(x+23)+12≤9，
得x≥−1+m2x≤5，
∴不等式组解为−1+m2≤x≤5，
∵不等式组有且仅有两个偶数解，
∴这两个偶数解为2、4，
∴0＜−1+m2≤2，
即，1＜m≤5，
解分式方程my−4y−2=−2−3y−22−y，得y=6m−1，
由于y是整数且y≠2，因此m≠4，
又因为1＜m≤5，m是整数，因此m＝2，m＝3，
所以满足条件的整数m的值之和是5．
故选：B．
6．（2022春•锡山区校级月考）若关于x的一元一次不等式组−5−x≤111(x−a)3x+12＞2x+1的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程2y−ay−1−3y−21−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．9 C．﹣1 D．2
【思路点拨】
先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解题过程】
解：−5−x≤111(x−a)①3x+12＞2x+1②，
解不等式①得：x≥a−5512，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：a−5512≤x＜﹣1，
∵不等式组的解集恰好有3个负整数解，
∴﹣5＜a−5512≤−4，
∴﹣5＜a≤7，
2y−ay−1−3y−21−y=1，
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
解得：y=a+14，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y为整数且a+14≠1，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
7．（2022春•开州区月考）若关于x的不等式组x+13−1≥x−42x+2a≤2(x−1)有解，且使关于y的分式方程1−2yy−2+a−y2−y=−3的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣9 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣4
【思路点拨】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数，确定出a的值，求出之和即可．
【解题过程】
解：不等式组x+13−1≥x−42x+2a≤2(x−1)整理得：x≤8x≥2a+2，
∵关于x的不等式组x+13−1≥x−42x+2a≤2(x−1)有解，
∴2a+2≤8，
即a≤3，
解分式方程1−2yy−2+a−y2−y=−3得y=a+52，
∵关于y的分式方程1−2yy−2+a−y2−y=−3的解为非负数，
∴a+52≥0，且a+52≠2，
解得，a≥﹣5且a≠﹣1，
∴﹣5≤a≤3，且a≠﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，
∴满足条件的所有整数a的值之和：（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+0+1+2+3＝﹣8．
故选：B．
8．（2022春•渝北区校级月考）已知关于x的分式方程mx(x−2)(x−6)+2x−2=3x−6无解，且关于y的不等式组m−y＞4y−4≤3(y+4)有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【思路点拨】
分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出m的值，整理不等式组表示出解集，由不等式组有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的值即可．
【解题过程】
解：分式方程去分母得：
mx+2（x﹣6）＝3（x﹣2），
∴mx+2x﹣12＝3x﹣6，
∴（m﹣1）x＝6，
当m﹣1＝0时，
即m＝1，方程无解；
当m﹣1≠0时，
即m≠1，
x=6m−1，
由分式方程无解，得：
6m−1=2或6m−1=6，
解得：m＝4或m＝2，
整理不等式组得：
y＜m−4y≥−8，
即﹣8≤y＜m﹣4，
∵不等式组有且只有三个偶数解，
∴偶数解为﹣8，﹣6，﹣4，
∴﹣4＜m﹣4≤﹣2，
即0＜m≤2，
∴符合条件的整数m的值为2，
故选：B．
9．（2022•东港区校级开学）a＝　−74　时，关于x的方程x+1x−2=2a−3a+5的解为1．
【思路点拨】
本题需先把分式方程化成整式方程，再根据关于x的方程x+1x−2=2a−3a+5的解为1，即可求出a的值．
【解题过程】
解：x+1x−2=2a−3a+5
（x﹣2）（2a﹣3）＝（x+1）（a+5）
ax﹣8x﹣5a+1＝0，
把x＝1代入，得a﹣8﹣5a+1＝0，
解得a=−74．
故答案为：−74．
10．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程1x+1−ax−3=2(a−1)x2−2x−3的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 　7　．
【思路点拨】
解分式方程，用a表示x，根据最简公分母及一次系数不为0，求出a≠13且a≠﹣1，a≠1，再根据关于x的方程的解为整数，求出a的值，进而求出满足条件的所有整数a的和．
【解题过程】
解：原分式方程可化为：1x+1−ax−3=2(a−1)(x+1)(x−3)，
去分母，得x﹣3﹣a（x+1）＝2a﹣2，
解得，x=3a+11−a
=3(a−1)+41−a
＝﹣3+41−a，
∵x≠3且x≠﹣1，
∴﹣3+41−a≠3且﹣3+41−a≠−1，
∴a≠13且a≠﹣1，a≠1，
∵关于x的方程的解为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4，
∴a＝﹣3、0、2、3、5，
∴﹣3+0+2+3+5＝7，
故答案为：7．
11．（2021•雁江区模拟）若数m使关于x的不等式组3−5x2≤9−xx＜m至少有3个整数解且所有解都是2x﹣5≤1的解，且使关于x的分式方程4x−2x−1+3m−11−x=2有整数解．则满足条件的所有整数m的和是 　2　．
【思路点拨】
先解不等式组得﹣5≤x＜m，再由题意可知﹣2≤m≤3；再解分式方程得x=3m−12，由方程有整数解，则3m﹣1是2的倍数，因为x≠1，所以m≠1，则可求满足条件的整数为2．
【解题过程】
解：3−5x2≤9−x①x＜m②，
由①得，x≥﹣5，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴﹣2≤m，
∵2x﹣5≤1的解集是x≤3，
∴m≤3，
∴﹣2≤m≤3，
4x−2x−1+3m−11−x=2，
方程两边同时乘x﹣1，得4x﹣2﹣3m+1＝2x﹣2，
移项、合并同类项得，2x＝3m﹣1，
解得x=3m−12，
∵分式方程有整数解，
∴3m﹣1是2的倍数，
∵x≠1，
∴m≠1，
∵m是整数，
∴m＝﹣1，3，
∴满足条件的所有整数m的和是2，
故答案为：2．
12．（2021•龙泉驿区模拟）若关于x的不等式组x−12＞x+135x−m＜x+2无解，关于y的方程y+2y−2−1=my2−4的解大于1．则m的取值范围是　12＜m≤18，且m≠16　．
【思路点拨】
解不等式组，根据不等式组无解得出m的范围；解分式方程，根据解大于1得出m的范围；检验分式方程，得出m的范围；综上所述，得出m的范围．
【解题过程】
解：x−12＞x+13①5x−m＜x+2②，
解不等式①得：x＞5，
解不等式②得：x＜m+24，
∵不等式组无解，
∴m+24≤5，
∴m≤18；
解关于y的分式方程y+2y−2−1=m(y+2)(y−2)，
方程两边都乘以（y+2）（y﹣2）得：（y+2）2﹣（y+2）（y﹣2）＝m，
∴y2+4y+4﹣（y2﹣4）＝m，
∴y2+4y+4﹣y2+4＝m，
∴4y＝m﹣8，
∴y=14m﹣2，
∵y＞1，
∴14m﹣2＞1，
∴m＞12，
∵（y+2）（y﹣2）≠0，
∴y≠±2，
∴14m﹣2≠±2，
∴m≠0，m≠16，
综上所述，12＜m≤18，且m≠16．
故答案为：12＜m≤18，且m≠16．
13．（2021秋•仓山区校级期末）解下列方程
（1）3x−1−x+2x2−x=0；
（2）7x+2−2=2−3xx+2．
【思路点拨】
（1）方程两边都乘x（x﹣1）得出3x﹣（x+2）＝0，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x+2得出7﹣2（x+2）＝2﹣3x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解题过程】
解：（1）3x−1−x+2x2−x=0，
3x−1−x+2x(x−1)=0，
方程两边都乘x（x﹣1），得3x﹣（x+2）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无实数根；
（2）7x+2−2=2−3xx+2，
方程两边都乘x+2，得7﹣2（x+2）＝2﹣3x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x+2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣1．
14．（2022春•河南月考）已知关于x的方程：x+1x−2=mxx−2−3．
（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；
（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正整数，得出关于m的方程，解方程即可得出m的值；
（2）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正数及分式方程的意义，得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．
【解题过程】
解：（1）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
解得：x=54−m，
∵方程的解为正整数，且x≠2，
∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2
解得：m＝﹣1或3，且m≠2，
∴整数m的值为﹣1或3；
（2）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
解得：x=54−m，
∵方程的解为正数且x≠2，
∴54−m＞0且54−m≠2，
解得：m＜4，且m≠32，
∴m的取值范围为m＜4且m≠32．
15．（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【思路点拨】
方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解题过程】
解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m=32，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
16．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程16x(x−4)+2x=ax−4有正整数解，且使关于y的不等式组12(y+4)−2y−13＞121−y2≤3−a至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
【思路点拨】
表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可．
【解题过程】
解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，
由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，
解得：x=−82−a＞0，得a＞2，
不等式组整理得：y＜11y≥2a−5，即2a﹣5≤x＜11，
由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，
解得，a≤6，
由x为正整数，且−82−a≠0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，
解得：a＝3或4或6，
∵分式方程中x＝4增根，a≠4，
∴a＝3或6，
∵a≤6，
∴a＝3或6，
3+6＝9，
则符合条件的所有整数a的和为9．
故答案为：9．
17．（2021秋•庄浪县期末）观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
解答下面的问题：
（1）猜想并写1n(n+1)=　1n−1n+1　；
（2）求11×2+12×3+13×4+⋯+12020×2021的值；
（3）探究并解方程：1x(x+3)+1(x+3)(x+6)+1(x+6)(x+9)=3x2+18．
【思路点拨】
（1）根据题干中的规律即可得出结果；
（2）利用题干中的规律进行计算即可得出结果；
（3）利用规律把方程左边化简，再解分式方程即可．
【解题过程】
解：（1）∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，
∴1n(n+1)=1n−1n+1，
故答案为：1n−1n+1；
∵11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，
∴11×2+12×3+13×4+⋯+12020×2021
＝1−12+12−13+13−14+...+12020−12021
＝1−12021
=20202021；
（3）1x(x+3)+1(x+3)(x+6)+1(x+6)(x+9)=3x2+18，
13（1x−1x+3+1x+3−1x+6+1x+6−1x+9）=3x2+18，
13（1x−1x+9）=3x2+18，
x3+18x+9x2+162﹣x3﹣18x＝9x2+81x，
81x＝162，
x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+9）（x2+18）≠0，
∴x＝2是原分式方程的根．
18．（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1x=2，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为：　y4−1y=0　；
（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=x−1x+1，则原方程可化为：　y−4y=0　；
（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．
【思路点拨】
（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解题过程】
解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0；
（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0；
（3）原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1y=0的解．
当y＝1时，x−1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12；
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
19．（2021秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程x2+2x=3+23的解为：x1＝　3　，x2＝　23　；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
【思路点拨】
（1）根据题意可得x＝3或x=23；
（2）由题意可得a+b＝5，ab＝3，再由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19；
（3）方程变形为x﹣1+4x−1=k﹣1，则方程的解为x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，则有t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，整理得k＝t+t2+2，t3+t＝4，再将所求代数式化为k2﹣4k+2t3＝t（t3+t）+4t3﹣4＝4（t3+t）﹣4＝12．
【解题过程】
解：（1）∵x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b，
∴x2+2x=x+2x=3+23的解为x＝3或x=23，
故答案为：3，23；
（2）∵x+3x=5，
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
（3）4x−1=k﹣x可化为x﹣1+4x−1=k﹣1，
∵方程4x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，
则有x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，
∴t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，
∴k＝t+t2+2，t3+t＝4，
k2﹣4k+2t3
＝k（k﹣4）+2t3
＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+2t3
＝t4+4t3+t2﹣4
＝t（t3+t）+4t3﹣4
＝4t+4t3﹣4
＝4（t3+t）﹣4
＝4×4﹣4
＝12．