数学八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程课后测评

专题15.3  分式方程的应用

【典例1】某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．

（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？

（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．

【思路点拨】

（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，由题意：用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．列出分式方程，解方程即可；

（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，由题意：甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤22.5，则m的整数值为20或21或22，得共有3种进货方案，再分别求出费用，即可得出结论．

【解题过程】

解：（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，

由题意，得：，

解得：x＝10，

经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，

则x﹣4＝6，

答：甲笔记本的单价为10元，乙笔记本单价6元；

（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，

由题意得：，

解得：20≤m≤22.5，

∵m为正整数，

∴m的整数值为20或21或22，

∴共有3种进货方案，

方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，费用为：20×10+20×6＝320（元）；

方案②：购进甲种笔记本21本，购进乙种笔记本19本，费用为：21×10+19×6＝324（元）；

方案③：购进甲种笔记本22本，购进乙种笔记本18本，费用为：22×10+18×6＝328（元）；

∵320＜324＜328，

∴方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，最省钱．

1．（2021秋•望城区期末）一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第二组单独做，超过规定日期6天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？

2．（2021秋•金川区校级期末）某项工程，需要在规定的时间内完成．若由甲队去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天．现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？

3．（2022•朝阳区校级一模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．

4．（2021秋•公安县期末）为加快乡村振兴步伐，不断改善农民生产生活条件，某乡镇计划修建一条长18千米的乡村公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成．已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．

（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

（2）已知甲工程队每天的修路费用为9万元，乙工程队每天的修路费用为12万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好15天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？

5．（2021秋•攸县期末）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路600米，甲队比乙队少用5天．

（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？

（2）现在需要修建一段长4800米的公路，因工程需要，需由甲、乙两支工程队施工完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过45万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？

6．（2020秋•天河区期末）某校组织八年级学生外出去博物馆参观，一部分学生步行，一部分学生骑车．已知骑车的路程是12km．而步行路程是骑车路程的．若骑车的速度是步行学生速度的2倍，且骑车时间比步行所需时间少用20分钟，求骑车的平均速度．

7．（2021秋•蓬安县期中）我国铁路实现了多次大提速，这给旅客的出行带来了极大的方便．京沪铁路全长约1500千米，第六次提速后列车运行全程所用的时间比第五次提速后列车运行全程所用的时间少用1小时．已知第六次提速后的平均速度比第五次提速后的平均速度快40千米/小时，请问第六次提速后的平均速度是多少？

8．（2021•安徽模拟）中秋节期间，小明计划外出游玩，他有两种出行线路：线路一是自己开车；线路二是先坐高铁再骑行；其中线路二的路程是线路一的2倍，且乘坐高铁部分路程占线路二全程的95%，剩余路程为骑行路程．已知高铁平均速度是开车平均速度的5倍，若最终两种出行方式所花费时间一致，则开车速度是骑行速度的多少倍？

9．（2021秋•荔湾区期末）列方程解应用题：

小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程为140公里，比广州到湛江的路程少280公里，小明爸爸驾车从广州到深圳的平均车速和广州到湛江的平均车速比为7：6，从广州到湛江的时间比从广州到深圳的时间多5小时．

（1）求广州到深圳的平均车速；

（2）从广州到湛江时，若小明的爸爸至少要提前2小时到达，则平均车速应满足什么条件？

10．（2020秋•仓山区校级期末）某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了20%，行驶全程所需时间减少了4小时．

（1）求列车提速前的速度；

（2）现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围．

11．（2022春•南关区校级月考）自2020年新型冠状病毒疫情发生以来，物资运输压力剧增，无人接触配送需求爆发，国产无人机大量进入快递行业．现有甲、乙两种型号的无人机都被用来运送快件，甲型机比乙型机平均每小时多运送20件快件，甲型机运送1000件所用时间与乙型机运送800件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少件快件？

12．（2021春•秦都区月考）我市水产养殖专业户王大爷承包了一个水塘，用于养殖甲鱼和桂鱼，已知甲鱼每条的进价比桂鱼多10元，且用300元购进甲鱼的数量与用200元购进桂鱼的数量相等．

（1）求甲鱼和桂鱼每条的进价分别是多少元？

（2）经过市场调查可知，王大爷养殖甲鱼共需要饲料12500kg，养殖桂鱼共需要饲料3500kg，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍．结果运输养殖所需要全部饲料的实际次数比原计划减少了2次，求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg？

13．（2021•香坊区二模）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，且A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等．

（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料；

（2）为生产效率和生产安全考虑，A、B型两种机器都要参与原料运输，但两种机器人不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？

14．（2021•翠屏区校级模拟）2019年12月武汉发现病毒性肺炎病例，2020年1月12日被世界卫生组织命名为“2019﹣nCoV”．在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“2019﹣nCoV”的战斗．为了控制疫情的蔓延，我省准备捐赠320件一种急需防疫物资送往武汉，用多辆甲、乙两种型号的货车运输，如果用甲型车若干辆，装满每辆车后还余下20件物资未装；如果用同样辆数的乙型车装，还剩一辆可以装30件（此时其余各车已装满）已知装满时，每辆甲型车比乙型车少装10件．

（1）求甲、乙两型车每辆装满时，各能装多少件防疫物资？

（2）如果将这批物资从我省运到武汉的运输成本（含油费、过路费、损耗等）甲、乙两型车分别为320元/辆，350元/辆．计划派甲、乙两型车共5辆参与运输物资，且甲型车辆数不少于乙型车的一半，设运输的总成本为W元．请你提出一个派车方案：既要保证320件防疫物资装完，又要使运输总成本W最低，并求出这个最低运输成本值．

15．（2021秋•五华区期末）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年5月21日为国际茶日．已知某茶店5月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1200元、900元，红茶每克的售价是绿茶每克售价的1.5倍，红茶的销售量比绿茶的销售量小1000克．问绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？

16．（2022春•鼓楼区校级期中）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两公司为该活动各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20元．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．

17．（2022春•雨花区校级月考）圆圆预测一种应季衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，圆圆又用30000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了20元．

（1）圆圆购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按四折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

18．（2022•山西模拟）春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众．1月26日下午，习近平总书记在霍州市师庄乡冯南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国各地．临近年关，某商店决定购进一批花馍，已知甲种花馍每件的进价比乙种花馍每件的进价少6元，花180元购买甲种花馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等．

（1）求甲、乙两种花馍每件的进价．

（2）由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定用不超过4000元再购进一批甲、乙两种花馍共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%，则最多可购买乙种花馍多少件？

19．（2022•西山区一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，保障人民群众的身体健康．据某市3月份统计，甲接种点完成一批加强针的接种任务用了m天，乙接种点完成相同数量的加强针接种任务多用2天，且乙接种点平均每天接种加强针的人数比甲接种点少20%．

（1）求整数m的值．

（2）接种工作包含登记、接种、留观，需要组队完成．某中学现有2160人符合接种加强针条件，甲接种点需要组建A和B两种团队到校接种，A种团队每小时可完成100人的接种，B种团队每小时可完成60人的接种．若AB两种团队共10个，其中A种团队不超过5个，要求上午9点同时开始工作，中午12点前（包含12点）完成．问甲接种点有几种派遣方案前往该中学可以在12点前（包含12点）完成该校加强针的接种．

20．（2021秋•临海市期末）某水果商两次去批发市场采购同一种水果，第一次用2000元购进了若干千克，很快卖完．第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，且每千克的进价比第一次提高了20%．

（1）求第一次购买水果的进价；

（2）求第二次购买水果的数量；

（3）该水果商按以下方案卖出第二批的水果：先以a元/千克的价格售出m千克，再以8元/千克的价格售出剩余的全部水果，共获利1600元．若a，m均为整数，且a不超过第二次进价的2倍，求a和m的值．