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八年级数学上册专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份八年级数学上册专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共39页。
专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的高
1．如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
2．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条中线必交于一点 B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线都在三角形的内部
3．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
类型二、三角形的高的有关计算
4．是的高，，，则的度数为( )
A． B． C． D．或
5．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（ ）
A．8 B．9.6 C．10 D．12
6．如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是1，则与之间的距离是（ ）
A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
类型三、三角形中线的有关长度计算
7．在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
8．如图，CM 是的中线，的周长比的周长大，，则 AC 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（ ）
A．5 B．6 C．8 D．4
类型四、三角形中线的有关面积计算
10．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
11．如图，顺次连接三边的中点D，E，F得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点M，G，H得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形面积为，设的面积为64，则（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
12．在中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
类型五、与重心的有关计算
13．三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
14．如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，在△ABC中，D、E、F三点将BC分成四等分，XG：BX=1：3，H为AB中点．则△ABC的重心是（ ）
A．X B．Y C．Z D．W
类型六、重心的性质
16．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的垂心不一定只有一个
B．三角形的外心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
17．如图，在中，，分别是，边上的中线，且与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积＝（ ）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
类型七、三角形的稳定性
19．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正六边形 B．长方形 C．三角形 D．正五边形
20．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
21．下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
类型一、三角形的高
22．如图，以为高的三角形共有___________个.
23．如图，在∆ABC中，如果过点B作PBBC交边AC点P，过C作CQAB交AB的延长线于点Q，那么图中线段_______是∆ABC的一条高.
24．小明用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
① 分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
② 作射线BF，交边AC于点H；
③ 以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④ 取一点K，使K和B在AC的两侧；
⑤ 所以BH就是所求作的高．
正确的作图顺序应该是____________.
类型二、三角形的高的有关计算
25．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．
26．如图，在中，于点，于点，且，，，则_________．
27．已知的高为，，，则的度数是_______．
类型三、三角形中线的有关长度计算
28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为__cm．
29．为的中线，为的高，的面积为14，则的长为_________．
30．已知：、分别是的高，中线，，，则的长为_________．
类型四、三角形中线的有关面积计算
31．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是__．
32．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为__.
33．如图，点是的边上任意一点，点、分别是线段、的中点，且的面积为40，则的面积_________．
类型五、与重心的有关计算
34．如图，是的中线，且，将绕点旋转得到，则_______．的面积_________．
35．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=3，G是△ABC重心，则S△AGC=_____．
36．已知△ABC中，，，，为△ABC的重心，那么___.
类型六、重心的性质
37．已知点是的重心，若，则________．
38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8，则GC的长是 _____．
39．如图，和是的中线，与交于点，有以下结论：①；②； ③；④S四边形DOEC；其中正确的有________（填序号）．
类型七、三角形的稳定性
40．世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是______.
41．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 _____根木条．
42．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______．
三、解答题
43．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行作图（只用直尺）
(1)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；
(2)画出中AC边上的高；
(3)直接写出使的面积等于3的格点P（异于点A）有______个．
44．如图，AD、BE分别是△ABC的高，AF是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD与BE的比．
45．如图，在中，，，，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，四边形DCEF的面积的最大值是______．
46．如图，在中，、是边、上的中线，与相交于点，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
47．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．
48．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
参考答案
1．B
【分析】
根据三角形的高的定义解答即可．
解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：B．
【点拨】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
2．A
【分析】
根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．
解：A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，
B.直角三角形有三条高，故该选项错误，
C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，
D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．
3．D
【分析】
根据三角形高的定义进行判断．
解：线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高．
选项A、B、C错误，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．D
【分析】
分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°+20°=100°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-20°=60°，
综上所述，∠BAC的度数为100°或60°．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．
5．B
【分析】
如图，作与E,利用勾股定理的逆定理证明,再利用面积法求出EC即可.
解：如图，作与E.
是的中线,BC=12,
BD=6,
,
故选B.
【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
6．B
【分析】
由题意直接根据三角形的面积和点到直线的距离进行分析解答即可．
解：∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，
∴点A到BC的距离，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是.
故选：B.
【点拨】本题主要考查点到直线的距离，解答此题的关键是掌握三角形的面积公式．
7．C
【分析】
设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用．
解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
8．C
【分析】
根据三角形中线的特点进行解答即可．
解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM=BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，
∴BC-AC=3cm，
∵BC=8cm，
∴AC=5cm，
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．
9．A
【分析】
根据三角形中线定义可得．
解：因为CD是△ABC的中线，AB＝10，
所以AD＝
故选：A
【点拨】考核知识点：三角形中线．理解三角形中线定义是关键．
10．A
【分析】
延长交于点，证明，可得是的中线，，结合已知条件即可求解．
解：如图，延长交于点，
，BP平分∠ABC，
又
，
是的中线
△PAB的面积为，△PBC的面积为，
故选A
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
11．A
【分析】
根据三角形中位线性质证△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，求出S1＝S△FEC＝S＝16，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1．
解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，
在△ADF和△DBE中，
，
∴△ADF≌△DBE（SSS），
同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，
∴S1＝S△FEC＝S＝16，
同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，
∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，
故答案为：A．
【点拨】本题考查了三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键．
12．A
【分析】
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则由D点为BC的中点得到，利用同样方法得到，所以．
解：∵D点为BC的中点，
∴，
∵E点为AD的中点，
∴，，
∴，
即，
∵F点为CE的中点，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
13．C
【分析】
根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
【点拨】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
14．C
【分析】
根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD＝CD，又知△ABD与△ADC的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数.
解：∵O是△ABC的重心，
∴BD＝CD，
又∵△ABD与△ADC的高相等，
∴△ABD与△ACD的面积相等＝S△ABC，
同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，
∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，
故选C．
【点拨】本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积＝底×高，此题难度一般．
15．C
试题分析：根据重心的定义得出AE是△ABC边BC的中线，CH是△ABC边BA的中线，即可得出答案．
解：∵D、E、F三点将BC分成四等分，
∴BE=CE，
∴AE是△ABC边BC的中线，
∵H为AB中点，
∴CH是△ABC边BA的中线，
∴交点即是重心．
故选C．
16．D
【分析】
根据三角形的垂心、外心、内心、重心的意义及重心的性质判断即可．
解：A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部、内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；
C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；
D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是：，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确；
故选：D
【点拨】本题考查三角形的垂心、外心、内心及重心的意义，重心的性质，掌握这些知识是解题的关键．
17．A
【分析】
根据三角形的重心性质得到，根据三角形的面积公式得到，，据此解题．
解：点是，边上的中线，的交点，
，，
，，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查三角形重心的概念与性质、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．D
【分析】
根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．
解：设三角形ABC的面积是2，
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，
∵BG：GF＝CG：GD＝2，
∴三角形CGF的面积是，
∴四边形ADGF的面积是2−1−＝，
∵,
∴,
∵,
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：＝3：2．
故选：D．
【点拨】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
19．C
【分析】
根据三角形具有稳定性解答．
解：具有稳定性的是三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
20．A
【分析】
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
【点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
21．C
【分析】
三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定．
解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
C、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键．
22．6
【分析】
由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为6
【点拨】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
23．CQ
【分析】
过三角形一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段称为三角形的高，据此判断CQ为高.
解：由三角形高的定义可得CQ为△ABC的一条高.
【点拨】本题考查三角形高的定义: 过三角形一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段称为三角形的高.
24．④③①②⑤
【分析】
取一点K，使K和B在AC的两侧，以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；接下来作线段DE的垂直平分线，与DE交于点H，则BH就是所求作的高，据此即可完成本题.
解：分析题中作图步骤，可知用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以BH就是所求作的高，
所以正确的作图顺序应该是：④③①②⑤，
故答案为④③①②⑤.
【点拨】本题考查的是尺规作图以及三角形高线的定义，明确用尺规作图作三角形高线的方法是解题关键.
25．2.4
【分析】
根据面积相等可列式，代入相关数据求解即可．
解：∵，，
∴
∵，，，
∴
故答案諀：2.4
【点拨】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．
26．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
解：根据三角形面积公式可得，，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
27．90°或40°．
【分析】
画出图形可知有两种情况：∠BAC＝∠BAD＋∠CAD和∠BAC＝∠BAD−∠CAD．
解：如图：
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝65°＋25°＝90°；
如图：
∠BAC＝∠BAD−∠CAD＝65°−25°＝40°．
故答案为：90°或40°．
【点拨】本题考查了三角形的高线的概念：可能在三角形内部，也可能在三角形的外部．注意本题要分两种情况讨论．
28．6
【分析】
利用三角形的中线定义可得CD= BD，再根据△ADC的周长比△ABD的周长多2cm可得AC - AB = 2cm，进而可得AC的长．
解： AD是BC边上的中线
CD= BD
△ADC的周长比△ABD的周长多2cm
(AC+ CD+ AD)-(AD+ DB+ AB)= 2cm
AC - AB = 2cm
AB = 4cm
AC = 6cm
故答案为：6．
【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
29．2或6
【分析】
利用面积法求出BD，即可求得CD，再分AE在内部和外部，求出DE即可．
解：为的高，△ABD的面积为14，AE=7，
，
∴
∵为的中线，
∴CD=BD=4，
当AE在内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE在外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点拨】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
30．2或10
【分析】
由已知条件，可推导出；再假设D点所在的不同位置，分别计算，即可得到答案．
解：∵是的中线，且
∴
假设点D在CB的延长线上，如下图
∵是的中线，且
∴
∵
∴，和图形不符
∴该假设不成立；
假设点D在点E和点B之间，如下图
∵，
∴，和图形不符
∴该假设不成立；
假设点D在点E和点C之间，如下图
∴；
假设点D在点BC延长线上，如下图
∴；
故答案为：2或10．
【点拨】本题考察了三角形中线和三角形高的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线和三角形高的性质，从而完成求解．
31．18
【分析】
由题意可知F为重心，则根据重心的性质有，又△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，立得S△BFC=6，所以S△BEC=9，最后根据三角形中线的性质求△ABC面积即可．
解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心，
由重心的性质可得：，
∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，
∴S△BFC=6，
则S△BEC=S△BEF+S△BFC=3+6=9，
又E为AB中点，
∴S△ABC=2S△BEC=2×9=18．
故答案为：18．
【点拨】此题考查了三角形中线的性质以及三角形重心的性质，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
32．
【分析】
由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S△ABD=S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴•AB•ED=•AC•DF，
∴×6×ED=×2.5×DF，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题．
33．10
【分析】
利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到S△EBD=S△ABD，S△ECD=S△ACD，所以S△EBC=S△ABC，然后利用S△BEF=S△EBC求解．
解：点为的中点，
，，
，
，
点为的中点，
．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
34． 2 18
【分析】
根据是的中线，且CG=2DG可得点G为△ABC的重心，得到CD=3GD=6，DE=GD=GC=2，再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，根据中线的性质，得S△ACD=S△BCD，可求△BCD的面积．
解：∵是的中线，且CG=2DG，
∴点G为△ABC的重心，
∴CD=3GD=6，
根据旋转的性质得：DE=GD=GC=2，
∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，
∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，
∵CD为△ABC的中线，
∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2××BG×CD=18cm2．
故答案为：2，18．
【点拨】本题考查重心的概念和性质，旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
35．3
【分析】
延长AG交BC于E．易知S△AGC=×S△AEC，由此计算即可解决问题．
解：延长AG交BC于E．
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=3，
∴S△ABC=•AB•AC=9，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GE，BE=EC，
∴S△AEC=×9=4.5，
∴S△AGC=×S△AEC=3；
故答案为：3.
【点拨】本题考查三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36．
【分析】
根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．
解：如图：
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵G为△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴CD=AB=5，
∵G为△ABC的重心，
∴CG=CD=，
故答案为．
【点拨】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
37．3
【分析】
根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．
解：如下图，
∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
∴AG ：GD=2：1，
∴S△ABG = 2S△BGD，S△CAG = 2S△CGD，
∴△BGC的面积为△ABC的面积的，
∴ S△ABC = 3S△GBC．
故答案为：3．
【点拨】此题考查了三角形的重心的性质，最题的关键是结合三角形的面积公式找到三角形的面积比．
38．
【分析】
延长CG交AB于点D，由重心的性质得到CD为AB边上的中线，，再根据直角三角形斜边中线的性质解题即可．
解：如图，延长CG交AB于点D，
G是△ABC的重心，
CD为AB边上的中线，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的重心、直角三角形斜边上的中线等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
39．①②④
【分析】
由AD和BE是△ABC的中线，可知S△ABD＝S△ADC＝S△ABE＝S△BEC＝S△ABC．连接CO，设S△AOE＝a，可逐步推出S△AOE＝S△COE＝S△BOD＝S△COD＝a，S四边形DOEC＝S△ABO＝2a，即可判断以上结论．
解：∵AD和BE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC，S△ABD＝S△ADC＝S△ABC．
∴S△ABE＝S△ABD，故①正确
连接CO，设S△AOE＝a，由E为AC中点，如图所示．
∴S△AOE＝S△COE＝a，
又D为BC中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝•S△ABC，
又S△AOE＝a，
∴S△BOD＝a＝S△COD，
∴S四边形DOEC＝S△COD＋S△COE＝2a．
又因为S△ABE＝S△ADC＝•S△ABC，且S△AOE＝a，
∴S△ABO＝S四边形DOEC＝2a，故④正确；
∵△ABO与△BOD等高，面积比为2：1，
故底之比AO：OD＝2：1，即AO＝2OD，故②正确．
③BO＝EO无法证明．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，三角形中线将三角形面积分成两个相等的部分，三角形中线的交点即为重心，关键在于设三角形AOE的面积为a，并用含a的式子表示其他部分的面积．
40．三角形的稳定性．
【分析】
利用三角形的稳定性求解即可．
解：世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．
41．3
【分析】
根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可．
解：如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【点拨】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键．
42．稳定性．
【分析】
本题考查形状对结构的影响，三角形结构具有较好的强度和稳定性.
解：三角形结构具有较好的稳定性.
故答案为稳定性.
【点拨】本题考查了形状对结构的影响，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响.
43．(1)见分析(2)见分析(3)
【分析】
（1）先画出将△ABC的三个顶点向右平移6格，再向上平移3格后的对应点D、E、F，然后顺次连接这三个点即可；
（2）根据格点特点，过点B作出垂直AC的直线即可；
（3）根据，过点A作BC的平行线，此平行线所过的格点，与B、C组成的三角形面积与△ABC的面积相等，即为3，符合要求；在BC右侧，作BC的平行线，且到BC的距离与A到BC的距离相等时，此平行线所过的格点，符合要求．
(1)解：作出△ABC的三个顶点向右平移6格，再向上平移3格后的对应点D、E、F，然后顺次连接这三个点，即为所求，如图所示：
(2)过点B作出垂直AC的直线，交AC于点H，则BH即为所求，如图所示：
(3)因为，所以过点A作BC的平行线，此平行线所过的格点，与B、C组成的三角形面积与△ABC的面积相等，即为3，符合要求；在BC右侧，作BC的平行线，且到BC的距离与A到BC的距离相等时，此平行线所过的格点，符合要求，如图所示：
根据图可知，符合要求的点共有14个．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了作图−平移变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
44．（1）；（2）2：3
【分析】
（1）根据题意易得，，然后根据角的和差关系可求解；
（2）根据等积法可得，然后根据题意可进行求解．
解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）∵分别是的高，
∴，
∵，
∴，
即．
【点拨】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．
45．
【分析】
如图，连接CF，设S△BFD=a，根据，点E是AC的中点可分别表示出S四边形DCEF与S△ABC，根据AB⊥AC时S△ABC最大，即可得答案．
解：如图，连接CF，设S△BFD=a，
∵，点E是AC的中点，
∴S△CDF=3S△BDF=3a，S△BCE=S△BAE，S△CFE=S△AFE，
∴S△ABF=S△CBF=S△BDF+S△CDF=4a，
∴S△ABD=S△ABF+S△BDF=5a，
∴S△ADC=3S△ABD=15a，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=20a，S△CFE=（S△ADC-S△CDF）=6a，
∴S四边形DCEF=S△CDF+S△CFE=9a，
∴S四边形DCEF=S△ABC，
∵AB=6，AC=8，
∴AC边上的高的最大值为6，
∴AB⊥AC时S△ABC最大，即S四边形DCEF的值最大，
∴S四边形DCEF的最大值=S△ABC=××6×8=，
故答案为：.
【点拨】本题考查三角形的面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它们的底边的比；三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形；熟练掌握相关性质是解题关键．
46．（1）详见分析；（2）12.
【分析】
（1）由BD、CE是边AC、AB上的中线得到点O为△ABC的重心，然后根据重心的性质易得OC＝2OE；
（2）根据三角形面积公式易得S△OCD＝2S△CDN＝2，再利用重心的性质得OB：OD＝2：1，则S△BCD＝3S△OCD＝6，然后根据AD＝CD可得S△ABC＝2S△BCD＝12．
解：（1）∵、是边、上的中线，
∴点为的重心，
∴，即；
（2）∵是的中点，
∴，
∵点为的重心，
∴，
∴，
∴为中线，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形中线的性质.
47．见分析
【分析】
由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BC//DE．
【点拨】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．
48．(1)3；（2）至少需要408元钱购买材料．
【分析】
（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．
（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元/分米，可求其所需钱数．
解：（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【点拨】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的高
1．如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
2．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条中线必交于一点 B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线都在三角形的内部
3．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
类型二、三角形的高的有关计算
4．是的高，，，则的度数为( )
A． B． C． D．或
5．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（ ）
A．8 B．9.6 C．10 D．12
6．如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是1，则与之间的距离是（ ）
A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
类型三、三角形中线的有关长度计算
7．在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
8．如图，CM 是的中线，的周长比的周长大，，则 AC 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（ ）
A．5 B．6 C．8 D．4
类型四、三角形中线的有关面积计算
10．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
11．如图，顺次连接三边的中点D，E，F得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点M，G，H得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形面积为，设的面积为64，则（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
12．在中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
类型五、与重心的有关计算
13．三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
14．如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，在△ABC中，D、E、F三点将BC分成四等分，XG：BX=1：3，H为AB中点．则△ABC的重心是（ ）
A．X B．Y C．Z D．W
类型六、重心的性质
16．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的垂心不一定只有一个
B．三角形的外心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
17．如图，在中，，分别是，边上的中线，且与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积＝（ ）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
类型七、三角形的稳定性
19．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正六边形 B．长方形 C．三角形 D．正五边形
20．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
21．下列图形中不具备稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
类型一、三角形的高
22．如图，以为高的三角形共有___________个.
23．如图，在∆ABC中，如果过点B作PBBC交边AC点P，过C作CQAB交AB的延长线于点Q，那么图中线段_______是∆ABC的一条高.
24．小明用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
① 分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
② 作射线BF，交边AC于点H；
③ 以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④ 取一点K，使K和B在AC的两侧；
⑤ 所以BH就是所求作的高．
正确的作图顺序应该是____________.
类型二、三角形的高的有关计算
25．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．
26．如图，在中，于点，于点，且，，，则_________．
27．已知的高为，，，则的度数是_______．
类型三、三角形中线的有关长度计算
28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2cm，已知AB＝4cm，则AC的长为__cm．
29．为的中线，为的高，的面积为14，则的长为_________．
30．已知：、分别是的高，中线，，，则的长为_________．
类型四、三角形中线的有关面积计算
31．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是__．
32．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为__.
33．如图，点是的边上任意一点，点、分别是线段、的中点，且的面积为40，则的面积_________．
类型五、与重心的有关计算
34．如图，是的中线，且，将绕点旋转得到，则_______．的面积_________．
35．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=3，G是△ABC重心，则S△AGC=_____．
36．已知△ABC中，，，，为△ABC的重心，那么___.
类型六、重心的性质
37．已知点是的重心，若，则________．
38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8，则GC的长是 _____．
39．如图，和是的中线，与交于点，有以下结论：①；②； ③；④S四边形DOEC；其中正确的有________（填序号）．
类型七、三角形的稳定性
40．世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是______.
41．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 _____根木条．
42．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______．
三、解答题
43．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行作图（只用直尺）
(1)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；
(2)画出中AC边上的高；
(3)直接写出使的面积等于3的格点P（异于点A）有______个．
44．如图，AD、BE分别是△ABC的高，AF是角平分线．
（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF的度数；
（2）若AC=4，BC=6．求AD与BE的比．
45．如图，在中，，，，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，四边形DCEF的面积的最大值是______．
46．如图，在中，、是边、上的中线，与相交于点，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
47．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．
48．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
参考答案
1．B
【分析】
根据三角形的高的定义解答即可．
解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：B．
【点拨】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
2．A
【分析】
根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．
解：A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，
B.直角三角形有三条高，故该选项错误，
C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，
D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．
3．D
【分析】
根据三角形高的定义进行判断．
解：线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高．
选项A、B、C错误，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．D
【分析】
分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°+20°=100°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-20°=60°，
综上所述，∠BAC的度数为100°或60°．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．
5．B
【分析】
如图，作与E,利用勾股定理的逆定理证明,再利用面积法求出EC即可.
解：如图，作与E.
是的中线,BC=12,
BD=6,
,
故选B.
【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
6．B
【分析】
由题意直接根据三角形的面积和点到直线的距离进行分析解答即可．
解：∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，
∴点A到BC的距离，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是.
故选：B.
【点拨】本题主要考查点到直线的距离，解答此题的关键是掌握三角形的面积公式．
7．C
【分析】
设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，注意三角形三边关系的应用．
解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
8．C
【分析】
根据三角形中线的特点进行解答即可．
解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM=BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，
∴BC-AC=3cm，
∵BC=8cm，
∴AC=5cm，
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．
9．A
【分析】
根据三角形中线定义可得．
解：因为CD是△ABC的中线，AB＝10，
所以AD＝
故选：A
【点拨】考核知识点：三角形中线．理解三角形中线定义是关键．
10．A
【分析】
延长交于点，证明，可得是的中线，，结合已知条件即可求解．
解：如图，延长交于点，
，BP平分∠ABC，
又
，
是的中线
△PAB的面积为，△PBC的面积为，
故选A
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
11．A
【分析】
根据三角形中位线性质证△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，求出S1＝S△FEC＝S＝16，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1．
解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，
在△ADF和△DBE中，
，
∴△ADF≌△DBE（SSS），
同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，
∴S1＝S△FEC＝S＝16，
同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，
∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，
故答案为：A．
【点拨】本题考查了三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键．
12．A
【分析】
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则由D点为BC的中点得到，利用同样方法得到，所以．
解：∵D点为BC的中点，
∴，
∵E点为AD的中点，
∴，，
∴，
即，
∵F点为CE的中点，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
13．C
【分析】
根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
【点拨】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
14．C
【分析】
根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD＝CD，又知△ABD与△ADC的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数.
解：∵O是△ABC的重心，
∴BD＝CD，
又∵△ABD与△ADC的高相等，
∴△ABD与△ACD的面积相等＝S△ABC，
同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，
∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，
故选C．
【点拨】本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积＝底×高，此题难度一般．
15．C
试题分析：根据重心的定义得出AE是△ABC边BC的中线，CH是△ABC边BA的中线，即可得出答案．
解：∵D、E、F三点将BC分成四等分，
∴BE=CE，
∴AE是△ABC边BC的中线，
∵H为AB中点，
∴CH是△ABC边BA的中线，
∴交点即是重心．
故选C．
16．D
【分析】
根据三角形的垂心、外心、内心、重心的意义及重心的性质判断即可．
解：A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部、内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；
C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；
D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是：，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确；
故选：D
【点拨】本题考查三角形的垂心、外心、内心及重心的意义，重心的性质，掌握这些知识是解题的关键．
17．A
【分析】
根据三角形的重心性质得到，根据三角形的面积公式得到，，据此解题．
解：点是，边上的中线，的交点，
，，
，，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查三角形重心的概念与性质、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．D
【分析】
根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．
解：设三角形ABC的面积是2，
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，
∵BG：GF＝CG：GD＝2，
∴三角形CGF的面积是，
∴四边形ADGF的面积是2−1−＝，
∵,
∴,
∵,
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：＝3：2．
故选：D．
【点拨】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
19．C
【分析】
根据三角形具有稳定性解答．
解：具有稳定性的是三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
20．A
【分析】
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
【点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
21．C
【分析】
三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定．
解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
C、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键．
22．6
【分析】
由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为6
【点拨】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
23．CQ
【分析】
过三角形一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段称为三角形的高，据此判断CQ为高.
解：由三角形高的定义可得CQ为△ABC的一条高.
【点拨】本题考查三角形高的定义: 过三角形一个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段称为三角形的高.
24．④③①②⑤
【分析】
取一点K，使K和B在AC的两侧，以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；接下来作线段DE的垂直平分线，与DE交于点H，则BH就是所求作的高，据此即可完成本题.
解：分析题中作图步骤，可知用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以BH就是所求作的高，
所以正确的作图顺序应该是：④③①②⑤，
故答案为④③①②⑤.
【点拨】本题考查的是尺规作图以及三角形高线的定义，明确用尺规作图作三角形高线的方法是解题关键.
25．2.4
【分析】
根据面积相等可列式，代入相关数据求解即可．
解：∵，，
∴
∵，，，
∴
故答案諀：2.4
【点拨】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．
26．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
解：根据三角形面积公式可得，，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
27．90°或40°．
【分析】
画出图形可知有两种情况：∠BAC＝∠BAD＋∠CAD和∠BAC＝∠BAD−∠CAD．
解：如图：
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝65°＋25°＝90°；
如图：
∠BAC＝∠BAD−∠CAD＝65°−25°＝40°．
故答案为：90°或40°．
【点拨】本题考查了三角形的高线的概念：可能在三角形内部，也可能在三角形的外部．注意本题要分两种情况讨论．
28．6
【分析】
利用三角形的中线定义可得CD= BD，再根据△ADC的周长比△ABD的周长多2cm可得AC - AB = 2cm，进而可得AC的长．
解： AD是BC边上的中线
CD= BD
△ADC的周长比△ABD的周长多2cm
(AC+ CD+ AD)-(AD+ DB+ AB)= 2cm
AC - AB = 2cm
AB = 4cm
AC = 6cm
故答案为：6．
【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
29．2或6
【分析】
利用面积法求出BD，即可求得CD，再分AE在内部和外部，求出DE即可．
解：为的高，△ABD的面积为14，AE=7，
，
∴
∵为的中线，
∴CD=BD=4，
当AE在内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE在外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点拨】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
30．2或10
【分析】
由已知条件，可推导出；再假设D点所在的不同位置，分别计算，即可得到答案．
解：∵是的中线，且
∴
假设点D在CB的延长线上，如下图
∵是的中线，且
∴
∵
∴，和图形不符
∴该假设不成立；
假设点D在点E和点B之间，如下图
∵，
∴，和图形不符
∴该假设不成立；
假设点D在点E和点C之间，如下图
∴；
假设点D在点BC延长线上，如下图
∴；
故答案为：2或10．
【点拨】本题考察了三角形中线和三角形高的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线和三角形高的性质，从而完成求解．
31．18
【分析】
由题意可知F为重心，则根据重心的性质有，又△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，立得S△BFC=6，所以S△BEC=9，最后根据三角形中线的性质求△ABC面积即可．
解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心，
由重心的性质可得：，
∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，
∴S△BFC=6，
则S△BEC=S△BEF+S△BFC=3+6=9，
又E为AB中点，
∴S△ABC=2S△BEC=2×9=18．
故答案为：18．
【点拨】此题考查了三角形中线的性质以及三角形重心的性质，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
32．
【分析】
由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S△ABD=S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴•AB•ED=•AC•DF，
∴×6×ED=×2.5×DF，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题．
33．10
【分析】
利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到S△EBD=S△ABD，S△ECD=S△ACD，所以S△EBC=S△ABC，然后利用S△BEF=S△EBC求解．
解：点为的中点，
，，
，
，
点为的中点，
．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
34． 2 18
【分析】
根据是的中线，且CG=2DG可得点G为△ABC的重心，得到CD=3GD=6，DE=GD=GC=2，再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，根据中线的性质，得S△ACD=S△BCD，可求△BCD的面积．
解：∵是的中线，且CG=2DG，
∴点G为△ABC的重心，
∴CD=3GD=6，
根据旋转的性质得：DE=GD=GC=2，
∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，
∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，
∵CD为△ABC的中线，
∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2××BG×CD=18cm2．
故答案为：2，18．
【点拨】本题考查重心的概念和性质，旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
35．3
【分析】
延长AG交BC于E．易知S△AGC=×S△AEC，由此计算即可解决问题．
解：延长AG交BC于E．
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=3，
∴S△ABC=•AB•AC=9，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GE，BE=EC，
∴S△AEC=×9=4.5，
∴S△AGC=×S△AEC=3；
故答案为：3.
【点拨】本题考查三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36．
【分析】
根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．
解：如图：
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵G为△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴CD=AB=5，
∵G为△ABC的重心，
∴CG=CD=，
故答案为．
【点拨】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
37．3
【分析】
根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．
解：如下图，
∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
∴AG ：GD=2：1，
∴S△ABG = 2S△BGD，S△CAG = 2S△CGD，
∴△BGC的面积为△ABC的面积的，
∴ S△ABC = 3S△GBC．
故答案为：3．
【点拨】此题考查了三角形的重心的性质，最题的关键是结合三角形的面积公式找到三角形的面积比．
38．
【分析】
延长CG交AB于点D，由重心的性质得到CD为AB边上的中线，，再根据直角三角形斜边中线的性质解题即可．
解：如图，延长CG交AB于点D，
G是△ABC的重心，
CD为AB边上的中线，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的重心、直角三角形斜边上的中线等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
39．①②④
【分析】
由AD和BE是△ABC的中线，可知S△ABD＝S△ADC＝S△ABE＝S△BEC＝S△ABC．连接CO，设S△AOE＝a，可逐步推出S△AOE＝S△COE＝S△BOD＝S△COD＝a，S四边形DOEC＝S△ABO＝2a，即可判断以上结论．
解：∵AD和BE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC，S△ABD＝S△ADC＝S△ABC．
∴S△ABE＝S△ABD，故①正确
连接CO，设S△AOE＝a，由E为AC中点，如图所示．
∴S△AOE＝S△COE＝a，
又D为BC中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝•S△ABC，
又S△AOE＝a，
∴S△BOD＝a＝S△COD，
∴S四边形DOEC＝S△COD＋S△COE＝2a．
又因为S△ABE＝S△ADC＝•S△ABC，且S△AOE＝a，
∴S△ABO＝S四边形DOEC＝2a，故④正确；
∵△ABO与△BOD等高，面积比为2：1，
故底之比AO：OD＝2：1，即AO＝2OD，故②正确．
③BO＝EO无法证明．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质，三角形中线将三角形面积分成两个相等的部分，三角形中线的交点即为重心，关键在于设三角形AOE的面积为a，并用含a的式子表示其他部分的面积．
40．三角形的稳定性．
【分析】
利用三角形的稳定性求解即可．
解：世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．
41．3
【分析】
根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可．
解：如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【点拨】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键．
42．稳定性．
【分析】
本题考查形状对结构的影响，三角形结构具有较好的强度和稳定性.
解：三角形结构具有较好的稳定性.
故答案为稳定性.
【点拨】本题考查了形状对结构的影响，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响.
43．(1)见分析(2)见分析(3)
【分析】
（1）先画出将△ABC的三个顶点向右平移6格，再向上平移3格后的对应点D、E、F，然后顺次连接这三个点即可；
（2）根据格点特点，过点B作出垂直AC的直线即可；
（3）根据，过点A作BC的平行线，此平行线所过的格点，与B、C组成的三角形面积与△ABC的面积相等，即为3，符合要求；在BC右侧，作BC的平行线，且到BC的距离与A到BC的距离相等时，此平行线所过的格点，符合要求．
(1)解：作出△ABC的三个顶点向右平移6格，再向上平移3格后的对应点D、E、F，然后顺次连接这三个点，即为所求，如图所示：
(2)过点B作出垂直AC的直线，交AC于点H，则BH即为所求，如图所示：
(3)因为，所以过点A作BC的平行线，此平行线所过的格点，与B、C组成的三角形面积与△ABC的面积相等，即为3，符合要求；在BC右侧，作BC的平行线，且到BC的距离与A到BC的距离相等时，此平行线所过的格点，符合要求，如图所示：
根据图可知，符合要求的点共有14个．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了作图−平移变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
44．（1）；（2）2：3
【分析】
（1）根据题意易得，，然后根据角的和差关系可求解；
（2）根据等积法可得，然后根据题意可进行求解．
解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）∵分别是的高，
∴，
∵，
∴，
即．
【点拨】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．
45．
【分析】
如图，连接CF，设S△BFD=a，根据，点E是AC的中点可分别表示出S四边形DCEF与S△ABC，根据AB⊥AC时S△ABC最大，即可得答案．
解：如图，连接CF，设S△BFD=a，
∵，点E是AC的中点，
∴S△CDF=3S△BDF=3a，S△BCE=S△BAE，S△CFE=S△AFE，
∴S△ABF=S△CBF=S△BDF+S△CDF=4a，
∴S△ABD=S△ABF+S△BDF=5a，
∴S△ADC=3S△ABD=15a，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=20a，S△CFE=（S△ADC-S△CDF）=6a，
∴S四边形DCEF=S△CDF+S△CFE=9a，
∴S四边形DCEF=S△ABC，
∵AB=6，AC=8，
∴AC边上的高的最大值为6，
∴AB⊥AC时S△ABC最大，即S四边形DCEF的值最大，
∴S四边形DCEF的最大值=S△ABC=××6×8=，
故答案为：.
【点拨】本题考查三角形的面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它们的底边的比；三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形；熟练掌握相关性质是解题关键．
46．（1）详见分析；（2）12.
【分析】
（1）由BD、CE是边AC、AB上的中线得到点O为△ABC的重心，然后根据重心的性质易得OC＝2OE；
（2）根据三角形面积公式易得S△OCD＝2S△CDN＝2，再利用重心的性质得OB：OD＝2：1，则S△BCD＝3S△OCD＝6，然后根据AD＝CD可得S△ABC＝2S△BCD＝12．
解：（1）∵、是边、上的中线，
∴点为的重心，
∴，即；
（2）∵是的中点，
∴，
∵点为的重心，
∴，
∴，
∴为中线，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形中线的性质.
47．见分析
【分析】
由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BC//DE．
【点拨】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．
48．(1)3；（2）至少需要408元钱购买材料．
【分析】
（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．
（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元/分米，可求其所需钱数．
解：（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【点拨】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
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