八年级数学上册专题11.27 《三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题11.27 《三角形》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．已知三角形三边长分别为 3，x，14，若 x 为正整数，则这样的三角形个数为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，、都是的角平分线，且，则（       ）

A．45° B．50° C．65° D．70°
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（       ）

A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
5．能用三角形的稳定性解释的生活现象是（       ）
A． B．
C． D．
6．给定下列条件，不能判定三角形为直角三角形的是（       ）
A．∠A：∠B：∠C=1∶2∶3 B．∠A+∠B=∠C
C． D．∠A=2∠B=3∠C
7．如图，结合图形作出了如下判断或推理：

①如图甲，如果，为垂足，那么点到的距离等于，两点间的距离；
②如图乙，如果，那么；
③如图丙，如果，，那么；
④如图丁，如果，，那么．
其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和是（       ）
A． B． C． D．
9．正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（       ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
10．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB，若∠ADE=120°，则∠B的度数为（       ）

A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题
11．等腰三角形一边长为5，另一边长为7，则周长为__________.
12．如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF ^ BC 于点 F．若，BD = 4 ，则 EF 长为___________．

13．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

14．图，与是的两个外角，平分交的平分线于点.若，则________．

15．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点，则 ______度．

16．如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为_____．

17．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝___．

18．若一个多边形的内角和是 1980°，则这个多边形的边数为________．
19．如图，ABCD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________．

20．如图，一副三角板按如图放置，则∠DOC的度数为______．

三、解答题
21．（1）解不等式：；
（2）已知一个三角形的三边长分别为2a，，5，求整数a的值．






22．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分．
(1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来；
(2)选择（1）中的一个真命题加以说明．





23．如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．






24．在四边形ABCD中，，．
(1)如图①，若，求出的度数；
(2)如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
(3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．








25．如图，在五边形ABCDE中，，EF平分，CF平分，若，求的度数．







26．一个零件的形状如图所示，按规定，，质检工人测得，就断定这个零件不合格，这是为什么？










27．求出下列图形中x的值．




















28．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．


















参考答案
1．B
【分析】
直接根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而可得出结论．
解：三角形三边长分别为，，，
，即．
为正整数，
，，，，，即这样的三角形有5个．
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．
2．B
【分析】
由三角形内角和定理解得，再根据角平分线的性质解得，最后根据三角形内角和定理解答即可．
解：

、都是的角平分线，



故选：B．
【点拨】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．D
【分析】
根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
解：线段是的高的图是选项．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．D
【分析】
根据折叠的性质可得，作出选择即可．
解：如图，

∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
5．C
【分析】
根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定
解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；
B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；
C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；
D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；
故选：C
【点拨】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．
6．D
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出最大角，然后选择即可．
解：A、最大角∠C=×180°=90°，是直角三角形，不符合题意；
B、最大角∠C=180°÷2=90°，是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
所以，x+2x+3x=180°，
解得x=30°，
最大角∠C=3×30°=90°，是直角三角形，不符合题意；
D、设∠A=x，则∠B=x，∠C=x，
所以，，
解得，是钝角三角形，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
7．B
【分析】
根据点到直线的距离及两点间的距离的定义可判断①；
根据平行线的性质及三角形的外角的性质可判断②；
根据平行线的判定可判断③；
根据平行线的判定与性质可判断④．
解：①由于直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故正确；
②设AB与DE相交于点O．
∵AB∥CD，
∴∠AOE=∠D．
又∵∠AOE＞∠B，
∴∠D＞∠B，故错误；
③∵∠ACD=∠CAB，
∴AB∥CD，
，故错误；
④∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，
∴∠D+∠BCD=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠BCD=60°，故正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了点到直线的距离的定义，平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，正确理解相关概念和性质是解本题的关键．
8．B
【分析】
根据多边形外角和为360度以及多边形内角和公式进行求解即可．
解：设这个多边形为n边形，
由题意得，
∴，
∴这个多边形的内角和为，
故选B．
【点拨】本题主要考查了多边形内角和和外角和，熟知多边形外角和为360度是解题的关键．
9．C
【分析】
首先计算出多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
解：多边形的边数：360°÷36°=10，
从一个顶点出发可以引对角线的条数：10-3=7（条），
故选：C．
【点拨】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．
10．C
【分析】
先根据三角形外角的性质求出∠A=30°，再根据三角形内角和定理求出∠B的度数．
解：如图，

∵DE⊥AB，
∴∠DFA=90°，
∵∠ADE=120°，
∴∠A=∠AED-∠DFA =120°-90°=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°-∠A =90°-30°=60°，
故选 C．
【点拨】本题主要考查三角形外角的性质、垂直的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
11．17或19
【分析】
先确定第三边的取值范围，再确定第三边的长，最后求周长即可．
解：∵7-5＜第三边＜7+5，
∴2＜第三边＜12，
∵该三角形是等腰三角形，
∴第三边为5或7，
∴周长为5+5+7=17或5+7+7=19，
故答案为：17或19．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系和对等腰三角形的认识，解题关键是理解题意，确定第三边的取值．
12．3
【分析】
因为S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD；所以S△BDE=S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．
解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，
∴S△ABD=S△ABC=12，
同理，BE是△ABD的中线，，
∵S△BDE=BD•EF，
∴BD•EF=6，
即
∴EF=3．
故答案为：3．
【点拨】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．
13．66
【分析】
过D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，再证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．
解：过D作DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，
∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，
由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，
∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，
∵DH=DF，DG=DF，
∴DH=DG，
∵DG⊥AC，DH⊥BA，
AD平分∠HAC，
∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．
故答案为：66．

【点拨】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．
14．60°##60度
【分析】
先求出∠DBC+∠BCE，再利用邻补角的性质和三角形内角和定理求解即可．
解：∵∠F=60°，
∴∠CBF+∠BCF=120°，
∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F，
∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，
∴∠ABC+∠ACB=（180°-∠DBC）+（180°-∠BCE）=120°，
∴∠A=180°-120°=60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了角平分线定义、邻补角互补和三角形内角和是180°，解题关键是牢记性质和定义．
15．
【分析】
由折叠的性质可得，根据三角形内角和定理可求出，即可得的度数．
解：∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质以及三角形内角和定理，熟练运用折叠的性质是解本题的关键．
16．145°
【分析】
连接AC并延长，延长线上一点为E．由三角形外角的性质可得：，．所以可得：

解：连接AC并延长，延长线上一点为E
是的外角

同理可得：

故答案为．

【点拨】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．
17．##42度
【分析】
利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案．
解：等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是，
则．
故答案为：
【点拨】此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键．
18．
【分析】
设这个多边形为边形，根据多边形的内角和公式：（且为整数）求解即可．
解：设这个多边形为边形，由题意得：
，
解得：，
所以这个多边形的边数是．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形的内角和公式：（且为整数）．
19．         
【分析】
（1）由两直线平行同旁内角互补解得，再由五边形内角和540°即可解答；
（2）由角平分线的性质，解得，根据两直线平行同旁内角互补解得，最后由三角形内角和180°解答．
解：（1）ABCD，

五边形的内角和为
∠B+∠E+∠D=
故答案为：；
（2）ABCD，

AF平分∠CAB，CF平分∠ACD



故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质、五边形内角和、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
20．
【分析】
根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，从而得到∠OCD=15°，再由再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
解：根据题意得：∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°，
∴∠OCD=∠ACD-∠ACB=15°，
∴∠DOC=90°-∠OCD=75°．
故答案为：75°
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，根据题意得到∠ACB=30°，∠ACD=45°，∠D=90°是解题的关键．
21．（1） （2）3
【分析】
（1）解不等式，写出解集即可；（2）根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的范围，再取整数解集即可．
解：（1）移项得，，
，
∴．
（2）依题意得，
解得．
因为a为整数，所以，
所以整数a的值为3．
【点拨】本题考查了不等式的解法和三角形三边关系，解题的关键是掌握解不等式的步骤．
22．(1)有三种正确命题，命题1：；命题2：；命题3：
(2)答案不唯一，见分析
【分析】
（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．
（2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明．
(1)解：上述问题有三种正确命题，分别是：
命题1：；
命题2：；
命题3：．
(2)解：选择命题1：．
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴平分．
选择命题2：．
证明：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
选择命题3：．
证明：∵平分，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
【点拨】本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键．
23．(1)25°(2)23°
【分析】
（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出
（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．
(1)解：∵，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC==25°；
(2)解：∵，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
24．(1)(2)(3)
【分析】
（1）利用四边形内角和进行角的计算即可；
（2）利用四边形内角和及角平分线的计算得出，再由三角形外角的性质求解即可；
（3）利用角平分线得出，，结合三角形内角和定理即可得出结果．
(1)解：∵四边形的内角和是360°，，
∴
∵
∴

(2)∵，，
∴，
∵CE平分
∴
∵
∴

(3)∵BE，CE分别平分和
∴，
∴
∴在中，．

【点拨】题目主要考查四边形内角和及平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
25．135°
【分析】
根据角平分线的性质，，，再根据五边形内角和求出的值，可得到的值，再利用四边形内角和为360°即可求出的度数．
解：∵EF平分，CF平分，
∴，．
∵，
∴．
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，，
∴，
即，
∵四边形EFBD内角和为360°，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线和多边形内角和，能熟练运用角平分线与多边形内角和求角的度数是解题的关键．
26．见分析
【分析】
在五边形DHGFE中利用内角和定理求得∠GFE的度数即可作出判断．
解：∵四边形ABCD的内角和是：180×（4－2）=360°．
∠H=360°－∠A－∠B－∠C=90°
五边形DHGFE的内角和是180×（5－2）=540°．
则∠GFE =540°－∠FGH －∠EDH－∠H －∠FED =130°．
因为质检工人测得∠GFE=140°
因此这个零件不合格．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，正确进行角度的计算是关键．
27．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【分析】
（1）根据直角三角形的两个锐角互余求解即可；
（2）根据三角形的内角和为180°求解即可；
（3）根据三角形的外角性质求解即可；
（4）根据四边形内角和是360°求解即可；
（5）根据五边形内角和是540°求解即可．
解：（1）由直角三角形的两个锐角互余得：x＝90－50＝40；
（2）由三角形的内角和为180°得：x+x+40＝180，
解得：x＝70；
（3）由三角形的外角性质得：x+（x+10）＝x+70，
解得：x＝60；
（4）由四边形内角和是360°得：x+（x+10）+90+60＝360，
解得：x＝100；
（5）由五边形内角和是540°得：x+（x－10）+ x+（x+20）+70＝540，
解得：x＝115．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式(n－2)·180°，熟记常见多边形的内角和以及熟练地解方程是解题的关键．
28．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见分析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【分析】
（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
故答案是：70．

【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．