八年级数学上册专题11.29 《三角形》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题11.29 《三角形》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（     ）

A．3 B． C． D．6
2．如图，直线，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令，用含的式子表示∠EBC为（       ）．

A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是(               )

A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
4．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2020为顶点的底角度数是（　）

A．（）2020•75° B．（）2020•65°
C．（）2021•75 D．（）2021•65°
5．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　）

A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
6．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（　　）

A．50° B．75° C．100° D．125°
7．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（       ）

A．25 B．26 C．30 D．39
8．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
9．如图，在锐角中，，BD，BE分别是的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论：
①；②；③；④.其中正确的是（       ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
10．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；   ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是(　 　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，在中，，和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得和的平分线交于点，得，则________度．

12．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．

13．（1）如图1所示，_________；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________．

14．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．

15．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．

16．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是______．

17．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．

18．如图，中，点，分别在，上，与交于点，若，，，则的面积______．

19．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．

20．如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共_____个.

21．设三角形三个内角的度数分别为x，y，z，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，那么我们称数对(y，z)(y≤z)是x的和谐数对．例：当x＝150°时，对应的和谐数对有一个，它为(10，20)；当x＝66时，对应的和谐数对有二个，它们为(33，81)，(38，76)．当对应的和谐数对(y，z)有三个时，此时x的取值范围是____________．
三、解答题
22．在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．









23．阅读下列材料：
阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、．
求证：．
阳阳发现，连接，有，即．由，可得．
他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：．

请回答：
（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；
证明：连接．________，
________________．
，．
（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：
在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、．
①如图3，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程．
②若点在如图4所示的位置，利用图4探究得此时、、、之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）



24．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合．

（1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______．
（2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______．
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．
（4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；



25．已知：在中，平分，平分，、交于点．

(1)如图1：若，求的度数；
(2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：；
(3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数．




26．如图，AB ^ CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．

(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．







27．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．

(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝______°；
②若∠A＝70°，则∠BGE＝______；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．



28．已知，点P在直线之间，连接．

(1)探究发现：（填空）
如图1，过P作，
______
（已知）

（____）
_______；
(2)解决问题：
①如图2，延长至点分别平分交于点Q，试判断与存在怎样的数量关系，并说明理由；
②如图3，若，分别作分别平分，求的度数（直接写出结果）．


















参考答案
1．A
【分析】
由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴①，
同理，∵，，
∴，，
∴，
∴②，
由①-②得：．
故选：A．
【点拨】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
2．D
【分析】
先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．
解：在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=50°．
延长CE，交AB于点G，
∵，
∴，∠ACM=∠BAC=40°，
∴∠ACE=-40°，
∴∠BCE=90°-（-40°）=130°-．
∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，
∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（-40°）=-20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=，
∴∠CEB=，
∴∠EBC=．

故选：D．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键．
3．C
【分析】
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，
∴，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴，故④正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
4．A
【分析】
根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=×150°=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
解：∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．
同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是．
∴以A2021为顶点的内角度数是．
故选 A．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
5．B
【分析】
分析题意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
解：连接AD，

在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键．
6．C
【分析】
∠BEG=∠FEG-∠FEB=，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到AB∥CD，由平行线的性质和邻补角的定义即可求解．
解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，

∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∵∠BEG=40°，
∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，
在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，
∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，
∵AB∥CD，
∴∠CEH=∠FAE=80°，
∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．
故选：C．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关α，β的等式表示出△AEF内角和为180°，题目难度较大．
7．B
【分析】
正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
解：如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，

由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；
小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，
故选：B．
【点拨】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
8．C
【分析】
由角平分线的定义可以得到，，设，假设，，通过角的等量代换可得到，代入的值即可．
解：∵平分，平分
∴，
设
∵
∴可以假设，
∴
∵
∴
∴
设，则
∴
∴
∵
∴
故答案选：C
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键．
9．A
【分析】
根据三角形角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，一一判定即可．
解：，
，
，
，
，
，故①正确；
∵BE平分，
，，
，
，故②正确；
，
，
，
，
由①得，
，
，
，故③正确；
为锐角，
，
又，
，
，
，故④错误，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是准确识图，灵活运用所学知识解决问题．
10．B
解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确，符合题意；
②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确，符合题意；
③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误，不符合题意；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
11．
【分析】
根据角平分线的定义，由BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD，得∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．根据三角形外角的性质，得∠A1=∠A1CD-∠A1BC，那么∠A1=∠ACD−ABC=∠A．再根据特殊到一般的数学思想解决此题．
解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．
∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC，
∴∠A1=∠ACD−ABC=∠A．
同理可证：∠A2=∠A1．
∴∠A2=•∠A= ()2∠A．
以此类推，∠An=()n∠A．
当n=2022，∠A2021=()2022∠A=()2022•m°=()°．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
12．##59度
【分析】
利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用且，得到，再根据折叠性质可知：，利用补角可知，进一步可求出．
解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：

∵且，
∴，
∵折叠得到，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．
13．     360°     720°     1080°    
【分析】
（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；
（2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
解：（1）如图所示，连接AD，交于点M

∵，，

∴；
故答案为：360°
（2）如图，连接，交于点M

∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴二环四边形的内角和为：
∵二环三角形的内角和为：
二环四边形的内角和为：
∴二环五边形的内角和为：
∴二环n边形的内角和为：
故答案为：，，．
【点拨】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．
14．
【分析】
连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
解：如图，连接AO，

∵CD=3AD，
∴AD：CD=1：3，
∴，，，
∵，
∴，，
∵AF∥BC，
∴，
∴，
∴，，
∵AE=2BE，
∴BE：AE=1：2，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴S四边形AEOD．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．
15．
【分析】
根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．
解：折叠
，

设



，
，

是的一个外角

即①


即
即②
②-①得
即
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键．
16．30°或52.5°或80°．
【分析】
分三种情况讨论，①当∠CDA＝3∠C时，②当∠C＝3∠CAD时，③∠CDA＝3∠CAD时，由“和谐三角形”定义可求解；
解：∵，，
∴
①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝30°；
②当∠C＝3∠CAD时，
∴∠CAD＝10°，
∴∠DAB＝80°；
③∠CDA＝3∠CAD时，
∴∠CAD＝×(180°-30°)=37.5°，
∴∠DAB＝52.5°，
故答案为：30°或52.5°或80°．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，理解“和谐三角形”定义，并能运用是解决本题的关键．
17．52°
【分析】
根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
解：、分别平分、，
，，
，，
即，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，
故答案为：52°．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
18．7.5．
【分析】
观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转化求解．
解：如下图所示，连接，

∵，，，
∴ ,
∴,
,
∴,
,
设，，
∴ ，
，
由，可得，
，
解得 ，
∴，，
．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关键．
19．
【分析】
连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
解：连接ED

是的中线，
，


设，






与是等高三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
20．4020
解：∵正六边形ABCDEF内放入2008个点，这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，
∴共有2008+6=2014个点．
∵在正六边形内放入1个点时，该正六边形被这个点分成互不重合的三角形共6个；即当n=1时，有6个；然后出现第2个点时，这个点必然存在于开始的6个中的某一个三角形内，然后此点将那个三角形又分成3个三角形，三角形数量便增加2个；又出现第3个点时，同理，必然出现在某个已存在的三角形内，然后又将此三角形1分为3，增加2个…，
∴内部的点每增加1个，三角形个数便增加2个．
于是我们得到一个等差数列：存在n个点时,三角形数目an=a1+(n−1)d=6+2(n−1)=2n+4(n⩾1).
由题干知,2008个点的总数为a2008=2×2008+4=4020(个).
故答案为4020.
【点拨】本题主要考查多边形的有关知识，找到点的个数是解题的关键.
21．0°＜x＜60°
【分析】根据题意，通过分情况讨论即可求得对应的和谐数对（y，z）有三个时，x的取值范围.
解：由题意可得，当0°＜x＜60°时，它的和谐数对为(2x，180°－3x)，（，180°-），（，），
当60°≤x＜120°时，它的和谐数对为（，180°-），（，），
当120°≤x＜180°时，它的和谐数对为（，），
∴当对应的和谐数对(y，z)有三个时，x的取值范围是0°＜x＜60°，
故答案为0°＜x＜60°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
22．（1）见分析；（2）见分析；（3）画图见分析，．
【分析】
(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．
解：（1）证明：

（2）如图②，连接PB，

，

（3）如图③，即为图像，

连接PB，作交BC的延长线于E点，
，

【点拨】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．
23．（1）S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，证明见分析②BD＝PM＋PQ−PN．
【分析】
（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；
（2）①连接AP、BP、CP，根据S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC得出AC•BD＝AC•PN＋AB•PM＋BC•PQ，由AB＝AC＝BC，即可得出BD＝PM＋PN＋PQ；
②连接AP、BP、CP，根据S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△APC，得出AC•BD＝AB•PM＋BC•PQ−AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．
解：（1）证明：连接AP．
∵S△ABC＝S△APC−S△APB，
∴AC•BD＝AC•PN−AB•PM．
∵AB＝AC，
∴BD＝PN−PM．
故答案为：S△APB；PN；PM；
（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；
如图3，连接AP、BP、CP，
∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC
∴AC•BD＝AC•PN＋AB•PM＋BC•PQ，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PN＋PQ；

②BD＝PM＋PQ−PN；
如图4，连接AP、BP、CP，
∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△APC．
∴AC•BD＝AB•PM＋BC•PQ−AC•PN，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PQ−PN．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．
24．（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【分析】
（1）利用折叠的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二个问题探究规律，利用规律解决问题即可．
（3）以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
（4）根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．根据二元方程，求整数解即可．
解：（1）∵折叠后，B，C重合，
∴∠B=∠C；
∠B=2∠C，
小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C．
故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．
（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．
（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，
当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
故答案为：7，4．
（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是4°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，
∴m（n+1）=44，
∵m，n都是正整数，
∴m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；
当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；
当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；
当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；
当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；
当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°；
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
25．(1)(2)证明见分析(3)64°
【分析】
（1）先证明，，再求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）利用三角形的外角的性质证明，从而可得结论；
（3）先证明，设，，求解，，证明，再列方程求解即可．
(1)证明：∵、分别平分与
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
(2)证明：∵是得一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)解：   ，
，
∵平分，平分，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∵，，

而


∴
∴
∴
【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，方程思想的应用，熟练的运算三角形的内角和定理与外角的性质建立角与角之间的关系是解本题的关键．
26．(1)①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见分析
(2)，理由见分析
【分析】
（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出，，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如图所示，连接， 先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知，进而推出即可得到答案．
(1)解：①∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，
∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴；
(2)解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
27．(1)①50°；②55°；③∠BGE=90°-∠A，理由见分析；
(2)不同，当点E在线段CD上，∠BGE=∠A；当点E在DC的延长线上，∠BGE=90°+∠A，理由见分析．
【分析】
（1）①先求出∠FBC=20°，再求出∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，进而求出∠FEG=30°，即可求出∠BGE=50°；
②如图，根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，结合平行线的性质进一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3= ∠C+∠ABC =（∠180°-∠A）=55°；
③如图，根据角平分线的定义得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，结合平行线的性质进一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3= ∠C+∠ABC =（∠180°-∠A）=90°-∠A；
（2）当点E在线段CD上，画出图形，类比（1）即可求出∠BGE=∠A；当点E在DC的延长线上，画出图形，∠BGE=90°+∠A．
(1)解：（1）①∵BG平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABC=20°，
∵EF//BC，
∴∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，
∵EG平分∠FEC，
∴∠FEG=∠FEC=30°，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG=50°．
故答案为：50；                                                    
②如图，∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，
∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，
∵EF//BC
∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，
∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，
∴∠BGE=∠2+∠3
= ∠C+∠ABC
=（∠C+∠ABC）
=（∠180°-∠A）
=（∠180°-70°）
=55°．

故答案为：55° ；
③∠BGE=90°-∠A
理由：∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，
∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，
∵EF//BC
∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，
∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，
∴∠BGE=∠2+∠3
= ∠C+∠ABC
=（∠C+∠ABC）
=（∠180°-∠A）
=90°-∠A ；

(2)解：①当点E在线段CD上，如图，若GE交BC于点H，
由（1）知：∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，
∵EF//BC
∴∠CEF=180°-∠C
∴∠2=∠3=（180°-∠C）
∵∠1+∠A+∠BDA＝180°
∠3+∠BGE+∠EDG＝180°
且∠BDA＝∠EDG
∴∠3+∠BGE=∠1+∠A
∠BGE=∠1+∠A-∠3
即∠BGE= ∠ABC+∠A-（∠180°-∠C）
=∠ABC+∠A- 90°+∠C
=（∠ABC+∠C）+∠A- 90°
=（180°-∠A）+∠A- 90°
=90°-∠A+∠A- 90°
=∠A；

②当点E在DC的延长线上，如图，若GE交BC于点H，
∵EF//BC
∴∠3=∠2=∠CEF=∠ACB
∵∠1+∠3+∠BGE＝180°
∴∠BGE=180°-(∠1+∠3)
=180°- （∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°-∠A）
=180°-90°+∠A
=90°+∠A．

【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，解第（2）步时要注意分类讨论．
28．(1)180，两直线平行，同旁内角互补，360(2)①；②=
【分析】
（1）读懂每步推理及推理的依据，即可完成填写；
（2）①两角关系为：；由AB∥CD、角平分线的性质及三角形外角的性质可得，再由（1）的结论即可得到两角的关系；
②延长AM交CD于H，设∠BAM=β，∠MDN=α，由平行线的性质及（1）的结论可得∠B+2α=80゜，∠B+2β=180゜，从而可得β−α=40゜；再由AB∥CD及三角形外角的性质可得∠AMD=∠MHD+α=180−β+α，从而可求得结果．
解：(1)如图1，过P作，
180
（已知）

（两直线平行，同旁内角互补）
360；
故答案为：180；两直线平行，同旁内角互补；360
(2)①




分别平分
∴，




由（1）知


②如图3，延长AM交CD于H
设∠BAM=β，∠MDN=α
∵AM、DM分别平分∠PAB、∠CDN
∴∠PAM=∠BAM=β，∠MDH=∠MDN=α
∵BN∥AP，DN∥PC
∴∠B+2β=180゜，∠C+2α=180゜
∴∠B+2β+∠C+2α=360゜
由（1）结论及∠APC=100゜
∴2β+∠C=360゜−∠APC=260゜
∴∠B+2α=100゜
∴∠B+2β−(∠B+2α)=80゜
即β−α=40゜
∵AB∥CD
∴∠MHD=180゜−β
∴∠AMD=∠MHD+α=180−β+α==180゜−(β−α)=140゜

即的度数为
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质与角平分线的性质等知识，构造适当的辅助线是解决本题后两问的关键，也是本题的难点．