八年级数学上册专题12.30 作辅助线证明三角形全等-连接两点（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份八年级数学上册专题12.30 作辅助线证明三角形全等-连接两点（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共26页。
专题12.30 作辅助线证明三角形全等-连接两点（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知：，，，，则（       ）

A． B． C．或 D．
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF是等边三角形；
③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
3．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________．

三、解答题
4．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E、DF⊥AC交AC的延长线于点F，垂足分别为点E、F．
(1)求证：∠DBE＝∠DCF．
(2)求证：BE＝CF．




5．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE＝BF．
(1)求证：CE＝CF；
(2)若G在AB上且∠ECG＝60°，试猜想DE，EG，BG之间的数量关系，并证明．










6．已知：如图，在四边形中，，点是边上一点，且平分，平分．
求证：（1）；（2）是线段的中点．





7．已知：如图，点E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠ABC，∠AEB＝90°，
设AD＝x，BC＝y，且（x﹣2）2＋|y﹣5|＝0．
（1）求AD和BC的长．
（2）试说线段AD与BC有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）你能求出AB的长吗？若能，请写出推理过程，若不能，说明理由．





8．中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点．
(1)如图1，分别延长，相交于点，求证：；
(2)如图2，若平分，，求的长；
(3)如图3，是延长线上一点，平分，试探究，，之间的数量关系并说明理由．




9．如图，AD为△ABC的角平分线．
(1)如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝　 　；
(2)如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；
(3)如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为 　 　．（用含m，n的式子表示）





10．已知：等边△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE＝DC，CE，BD交于点F．
（1）如图1，求证：△ABD≌△BCE；
（2）如图2，过点E作EG⊥BD于G，请写出CF，FG和BD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG并延长交BC于点H，若FG＝FC，求证：点H是BC的中点．



11．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．




12．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．
（1）如图1，求证BD=AE；
（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．




























参考答案
1．B
【分析】
连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
解：连接，如图，

在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
2．C
【分析】
利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案．
解：在中，，，，
∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
，
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
则，
若时，
则，
∵，
∴，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明．
3．全等三角形的对应边相等
【分析】
连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长．
解：连接AB，，如图，

∵点O分别是AC、BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD．
在△AOB和△COD中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
4．(1)证明见分析(2)证明见分析
【分析】
（1）连接AD，证△ABD≌△ACD（SSS），得∠ABD＝∠ACD，即可得出结论；
（2）证△BDE≌△CDF（AAS），即可得出结论．
(1)解：连接AD，如图：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DBE＝∠DCF．

(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠F＝90°，
由（1）得：∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．(1)见分析(2)DE+BG＝EG，理由见分析
【分析】
（1）通过角的计算得出∠D＝∠CBF，证出△CDE≌△CBF（SAS），由此即可得出CE＝CF；
（2）连接AC，结合AC＝AB、DC＝BC即可证出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA＝∠DCA＝60°，再根据∠ECG＝60°即可得出∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，由（1）可知△CDE≌△CBF，进而得知∠DCE＝∠BCF，根据角的计算即可得出∠ECG＝∠FCG，结合DE＝DF即可证出△CEG≌△CFG，即得出EG＝FG，由相等的边与边之间的关系即可证出DE+BG＝EG．
(1)解：∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°．
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF．
在△CDE和△CBF中， ，
∴△CDE≌△CBF（SAS）．
∴CE＝CF．
(2)解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下：
连接AC，如图所示．
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA＝∠DCA＝∠DCB＝×120°＝60°．
又∵∠ECG＝60°，
∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG．
由（1）可得：△CDE≌△BDF，
∴∠DCE＝∠BCF．
∴∠BCG+∠BCF＝60°，即∠FCG＝60°．
∴∠ECG＝∠FCG．
在△CEG和△CFG中， ，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG．
又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
6．（1）见分析；（2）见分析．
【分析】
（1）由平行线的性质和角平分线定义，可得出；
（2）延长，交于，继而证明，得出后，证明，即可得出结论．
解：（1），
，
又、分别平分、，
，
，


（2）如图，延长，交于，

，，
，
，

，且，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．（1），；（2），见分析；（3）能，见分析
【分析】
（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可得出AD、BC的长度；
（2）根据题意证明即可得出结果；
（3）延长交直线于，先证明△AEB≌△FEB，然后证明，
即可得出结果．
解：（1），
，，解得，，
即，；
（2）．
理由如下：、分别平分和，
，，
，
，
，
，
；
（3）能．理由如下：
延长交直线于，如图，

，
，
而，
，
在△AEB和△FEB中
，
∴△AEB≌△FEB（AAS）
，AE＝EF．
在△ADE和△FCE中
，
，
，
．
【点拨】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，角平分线的定义，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知相关性质定理是解本题的关键．
8．(1)见分析(2)(3)，理由见分析
【分析】
（1）欲证明BE＝AD，只要证明即可；
（2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，证，可求；
（3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再证可得结论．
(1)解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，

∴．
∴．
(2)解：如图2，延长，交于点．

∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，

∴．
∴．
由（1）可得，．
∴．
(3)解：．
理由：如图3，延长，交于点．

由（1）可得，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∵．
∴．
【点拨】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．(1)3
(2)12
(3)
【分析】
（1）利用ASA证明△AEF≌△ABE，得AE=AB=4，得出答案；
（2）延长CG、AB交于点H，设S△BGC=S△HGB=a，用两种方法表示△ACH的面积即可；
（3）在AC上取AN=AB，可得CD=DN=n-m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出CD的长．
解：(1)∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA=∠FEA，
在△AEF和△AEB中，
，
∴△AEF≌△AEB（ASA），
∴AF=AB=4，
∵AC=7       
∴CF=AC-AF=7-4=3，
故答案为：3；
(2)延长CG、AB交于点H，如图，

由（1）知AC=AH，点G为CH的中点，
设S△BGC=S△HGB=a，
根据△ACH的面积可得：
S△ABC+2a=2（6+a），
∴S△ABC=12；
(3)在AC上取AN=AB，如图，

∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD=∠BAD，
在△ADN与△ADB中，
，
∴△ADN≌△ADB（SAS），
∴∠AND=∠B，DN=BD，
∵∠B=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∴∠C=∠CDN，
∴CN=DN=AC-AB=n-m，
∴BD=DN=n-m，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．
10．（1）证明过程见分析；（2），证明过程见分析；（3）证明过程见分析
【分析】
（1）通过等边三角形的性质计算即可；
（2）根据全等三角形的性质和直角三角形两锐角互余计算即可；
（3）连接CG，过点G作，，证明，得到AG平分，即可得解；
解：（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴△ABD≌△BCE；
（2）结论：；
∵△ABD≌△BCE，
∴，，
∴，
∵EG⊥BD，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接CG，过点G作，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴AG平分，
∵，
∴AH平分线段BC，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．
11．（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN；
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，

∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．

∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点拨】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
12．（1）见分析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．
【分析】
（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可；
（2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．
解：证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD，
在△CAE与△ABD中

∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AE＝BD；
（2）连接AH
∵AB＝AC，BH＝CH，
∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，
∴∠EAH＝∠DBH，
在△AEH与△BDH中

∴△AEH≌△BDH（SAS），
∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，
∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°
即∠EHD＝90°，
∴∠EDH＝∠DEH＝；
（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T．
∵DG⊥FH，ER⊥FH，
∴∠DGH＝∠ERH＝90°，
∴∠HDG+∠DHG＝90°
∵∠DHE＝90°，
∴∠EHR+∠DHG＝90°，
∴∠HDG＝∠HER
在△DHG与△HER中

∴△DHG≌△HER （AAS），
∴HG＝ER，
∵ET∥BC，
∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，
∠ETF＝∠FHM，
∵∠EHB＝∠BHG，
∴∠HET＝∠ETF，
∴HE＝HT，
在△EFT与△MFH中
，
∴△EFT≌△MFH（AAS），
∴HF＝FT，
∴，
∴ER＝MS，
∴HG＝ER＝MS，
设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，
，
k＝，
∴FH＝5，
∴HE＝HT＝2HF＝10．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．