初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定复习练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定复习练习题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题12.11 三角形全等的判定-HL（专项练习）
一、单选题
1．如图，若，则的理由是（       ）

A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
2．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
3．如图，，，垂足分别是，，，，则等于（       ）

A． B． C． D．
4．如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（     ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（     ）

A． B． C． D．E为BC中点
6．如图，在和中，，，，则（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，则下列说法正确的有几个（     ）
（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；
（3）AB+CD=AD；       （4）AE⊥DE．（5）DE=AE

A．2个 B．3个 C．4个 D．5
8．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（       ）

A． B． C． D．
9．如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是(                  )

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
10．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　)

A．60° B．75° C．90° D．120°
11．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝90°，∠ACD＝∠ACB，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为(　　)

A．145° B．130° C．110° D．70°
12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ）

A．60° B．90° C．120° D．150°
二、填空题
13．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．

14．如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．

15．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．

16．如图，中，点为的中点，的平分线与的中垂线交于点，连接，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，，则的长为_______．

17．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．

18．如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为___________．

19．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________

20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____．

22．如图所示，在ΔABC中， AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF， AH=DF， AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．

23．在中，，，，于，，两点分别在边和射线上移动．当，______时，和全等．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB=____．

三、解答题
25．如图，、相交于点，，于点，于点，且．
求证：．



26．如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．





27．已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．

(1)如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；
(2)如图2，当D点不在直线BC上时， BE、CD相交于M，
①直接写出∠CME的度数；
②求证：MA平分∠CME



28．动手操作：
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.
问题解决：

(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证：△CAN≌△CMN.
实验探究：
(3) 直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.


























参考答案
1．D
【分析】
根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．
解：∠B＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
2．A
【分析】
由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．
解：在和中

∴
故选A
【点拨】此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
3．D
【分析】
根据已知条件可以利用，判定，全等后可得，再根据直角三角形两个锐角互余，可求得，进而可求得．
解：证明：，，
，
在和中，
，
，
∴，
在中，,
∴，
∴,
故选：D．
【点拨】本题考查全等三角形的判断定理，HL定理，根据已知条件求证是解题关键．
4．D
【分析】
由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可.
解：由题意知
在和中：
∵
∴(HL)
∴，
∴（1）、（3）正确
∵，
∴
∴（2）正确
故选：D
【点拨】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键．
5．D
【分析】
首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断．
解：∵，
∴和为直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故A、B、C正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
6．D
【分析】
由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可．
解：∵
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点拨】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
7．B
【分析】
过点E作EF⊥AD垂足为点F，证明△DEF≌△DEC（AAS）；得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；得出AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，即可得出答案．
解：如图，过点E作EF⊥AD，垂足为点F，

可得∠DFE＝90°，
则∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DEC（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，
∴AE平分∠DAB，故结论（1）正确，
则AD＝AF+DF＝AB+CD，故结论（3）正确；
可得∠AED＝∠FED+AEF＝∠FEC+∠BEF＝90°，即AE⊥DE故结论（4）正确．
∵AB≠CD，AE≠DE，（5）错误，
∴△EBA≌△DCE不可能成立，故结论（2）错误．
综上所知正确的结论有3个．
故答案为：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等内容，作出辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】
证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．
解：，
，
在和中，
，
，
，
，
cm，
cm．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．A
【分析】
利用HL证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，可判断各结论．
解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
则①AB＝DE,正确；
②∠ABC＝∠DEF,正确；
③∠ACB＝∠DFE, 正确；
∵∠DEF+∠DFE=90°
④∠ABC＋∠DFE＝90°正确；
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是判断△ABC≌△DEF，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．
10．C
【分析】
先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
解：如图，

∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ACB+∠DEF=90°．
故选C．
【点拨】本题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．
11．C
【分析】
根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠ACD=∠ACB=55°，即可求∠BCD的度数．
解：∵∠ABC=∠ADC=90，
∴Rt△ADC与Rt△ABC中，
CB=CD，AD=AD
∴△ABC≌△ADC，又∠ACB=55°，
∴∠ACD=∠ACB=55°，
∠BCD=∠ACD+∠ACB =110°．
故选C．
【点拨】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质. 解题关键点：根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠ACD=∠ACB．
12．B
解：试题分析：先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．
故选B．

点评：本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．
13．225°
【分析】
首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．
解：如图所示：

在△ABC和△AEF中，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5=∠BCA，
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，
在Rt△ABD和Rt△AEH中，
∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），
∴∠4=∠BDA，
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，
∵∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．
故答案为：225°．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．
14．12cm或6cm##6cm或12cm
【分析】
当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝6cm＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝12cm＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：12cm或6cm．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
15．2或4##4或2
【分析】
据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．
解：设点P的运动时间为t秒，
∵，，
∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），
∴t=4÷2=2秒；
当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），
∴t=8÷2=4秒，
综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．
故答案为：2或4．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．
16．7.2
【分析】
根据题意，连接AE、CE，利用DE垂直平分AC，BE平分∠MBC，推出Rt△AME≌Rt△CNE（HL），得出AM=CN，进而证明，通过等边代换计算即可．
解：连接AE、CE，如图：
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，AD=CD，
又∵BE平分∠MBC，EM⊥BM，EN⊥BC，
∴EM=EN，∠M=∠ENC=90°，
∴Rt△AME≌Rt△CNE（HL），
∴AM=CN=2，
同理可证，，
，
，
故答案为：7.2

【点拨】本题考查了HL判定直角三角形全等，三角形全等的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握HL判定直角三角形全等是解题的关键．
17．2
【分析】
根据HL证明，可得，根据即可求解．
解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，

故答案为：2
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
18．
【分析】
先证明Rt△CDA≌Rt△CBA得到，再由角平分线的定义求出∠EDC=45°，最后根据三角形内角和定理求解即可．
解：∵，，
∴∠CDA=∠CBA=90°，
在Rt△CDA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CDA≌Rt△CBA（HL），
∴，
∵DE平分与∠ADC相邻的角，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠CED=180°-∠DAE-∠ADC-∠EDC=15°，
故答案为：15°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
19．8
【分析】
根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．
解：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
∵AB=AC，BD=AE，
∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL），
∵BD=3，CE=5，
∴AE=BD=3，AD=CE=5，
∴DE= AD+ AE=8．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键．
20．
【分析】
在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案．
解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，

∵AD⊥BC于点D，
∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°
∴∠AGD=∠B，
∵AE//BC，
∴∠EAH=∠B，
∴∠EAH=∠AGD，
∵AE=AB，
∴AE=AG，
在△AEH和△GAD中，
，
∴△AEH≌△GAD（AAS），
∴EH=AD，AH=GD，
在Rt△EHF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），
∴FH=CD，
∴FH-AH=CD-GD，
∴AF=GC，
∴，
∴S△AEF=S△GAC，
设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，
∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．5
【分析】
过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），得BE=CF，AE=AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF=DE=3，则CF=CD+DF=5，即可求解．
解：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：记交于点

则∠AFC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE=CF，AE=AF，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴DF=DE=3，
∴CF=CD+DF=5，
∴BE=CF=5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，正确作出辅助线，证明Rt△ADF≌Rt△ADE是解题的关键．
22．
【分析】
由“HL”可证Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的数量关系可求解．
解：在Rt△ABH和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），
∴∠EDF=∠BAH，
∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，
∴∠B=∠DAH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，
∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，
∴∠ACB=90°-∠CAH =3y，
∵∠DAC+n∠ACB=90°，
∴x+3ny=90°，
∴3n=2，
∴n=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．8或15
【分析】
分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=15cm．
解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示：

在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：

在Rt△ABC和Rt△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP=AC=15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8或15．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
24．2
【分析】
先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴△AED和△ACD都是直角三角形，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
DE=DC,AD=AD，
∴△AED≌△ACD（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AC=5-3=2．
故填：2．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL证明三角形全等是解答本题的关键．
25．见分析
【分析】
根据AE⊥CD，BF⊥CD知△ACE和△BDF都是直角三角形，用AC=BD，CE=DF证明，得到∠C=∠D，AC∥BD．
解：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∵和中，
，
∴，
∴∠C=∠D，
∴AC∥BD．
【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质，解决问题的关键是熟练运用斜边直角边定理证明两直角三角形全等．而全等三角形的对应角相等，内错角相等两直线平行．
26．(1)证明见分析(2)
【分析】
（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
解：(1)∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点拨】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
27．(1)见分析(2)①90°；②见分析
【分析】
（1）先推出∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，然后证明△CAD≌△BAE得到∠ABE=∠C=45°，则∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，即EB⊥CD；
（2）①同理可证△BAE≌△CAD，得到∠ABE=∠ACD，再由∠EMC=∠EBC+∠BCD，得到∠EMC=∠ABE+∠ABC+∠ACD+∠BCD=90°；②如图，过点A作AG⊥BE于G，AF⊥CD于F，由△BAE≌△CAD，得到AG=AF，证明Rt△AGM≌Rt△AFM得到∠AMG=∠AMF，即AM平分∠EMC．
(1)解：∵△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE+∠DAB=∠CAB+∠DAB，
∴∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠C=45°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=90°，即EB⊥CD；
(2)解：①同理可证△BAE≌△CAD，∠ABC=∠ACB=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠EMC=∠EBC+∠BCD，
∴∠EMC=∠ABE+∠ABC+∠ACD+∠BCD=90°；
②如图，过点A作AG⊥BE于G，AF⊥CD于F，
∵△BAE≌△CAD，
∴AG=AF，
在Rt△AGM和Rt△AFM中，
，
∴Rt△AGM≌Rt△AFM（HL），
∴∠AMG=∠AMF，即AM平分∠EMC．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
28．(1) ∠MAB =51°；(2)详见分析；(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.
【分析】
（1）利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题；
（2）根据AAS即可判断；
（3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=78°，
∴∠CAB=102°.
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=51°；
(2)证明：由作法知，AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA，
∵CN⊥AM，
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又∵CN=CN，
∴△CAN≌△CMN.
(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图.