人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质随堂练习题

这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质随堂练习题，文件包含八年级数学上册第09讲角平分线常见辅助线的作法原卷版-2022-2023学年八年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升人教版docx、八年级数学上册第09讲角平分线常见辅助线的作法解析版-2022-2023学年八年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
第09讲 角平分线常见辅助线的作法（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
方法一 过角平分线上一点作两边的垂线段
典例1（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．

思路引领：先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE＝PF，只需再证∠EPC＝∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．
解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵∠PEC=∠PFDPE=PF∠EPC=∠FPD，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．

解题秘籍：本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键．
针对训练1
1．（2021秋•北京校级期中）如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：
（1）∠DAB+∠C＝180°
（2）BH=12（AB+BC）

思路引领：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，由角平分线的性质得出DH＝DE，由HL证得Rt△ADE≌Rt△CDH，得出对应角相等，即可得出结论；
（2）由HL证得Rt△BDE≌Rt△BDH，得出BE＝BH，再由Rt△ADE≌Rt△CDH，得出AE＝CH，即可得出结论．
证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，
∴DH＝DE，
在Rt△ADE和Rt△CDH中，DH=DEAD=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴∠C＝∠DAE，
∵∠DAB+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠C＝180°；
（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，DE=DHBD=BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE＝BH，
∵Rt△ADE≌Rt△CDH，
∴AE＝CH，
∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH，
∴BH=12（AB+BC）．

解题秘籍：本题考查了角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．
方法二 利用“角平分线+垂直”构造全等三角形
典例2（2021秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE．

思路引领：延长BA交CE的延长线于F，先证明△BCE≌△BFE，得CE＝EF，再证明△ACF≌△ABD得BD＝CF，从而有BD＝2CE．
证明：延长BA交CE的延长线于F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
∵在△BCE和△BFE中，
∠CBE=∠FBEBE=BE∠BEC=∠BEF=90°，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
在△ABC中，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CDE+∠FCA＝90°，
又∵∠ADB＝∠CDE（对顶角相等），
∴∠FCA＝∠ABD，
∵在△ACF和△ABD中，
∠FCA=∠ABDAB=AC∠BAC=∠FAC=90°，
∴△ACF≌△ABD（ASA），
∴BD＝CF，
∴BD＝2CE．

解题秘籍：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是作好辅助线：延长BA交CE的延长线于F．
针对训练2
2．（2021秋•惠山区期末）如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
思路引领：延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC=12S△ABC．
解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
∠BAD=∠EADAD=AD∠BDA=∠EDA，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC=12S△ABC=12×12＝6，
故选：C．

解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
方法三 借助角平分线的对称性构造全等
典例3（2018秋•东胜区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，
求证：AB＝AC+CD．

思路引领：在AB上取点E，使得AE＝AC，则可证得△AED≌△ACD，可得∠AED＝∠C＝2∠B，ED＝CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE＝DE＝CD，可得结论．
证明：在AB上取点E，使得AE＝AC，
在△AED和△ACD中
AE=AC∠1=∠2AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠C，AE＝AC，ED＝CD，
∵∠C＝2∠B，且∠AED＝∠B+∠BDE，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴AB＝AE+BD＝AC+DE＝AC+CD．

解题秘籍：本题主要考查三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形，在证明两条线段的和等于一条线段时，通常是截取线段，难度不大．
针对训练3
典例4 如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O．求证：AC＝AE+CD．

思路引领：在AC上取AF＝AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE＝∠AOF；再证得∠COF＝∠COD，则根据全等三角形的判定方法ASA即可证△FOC≌△DOC，可得DC＝FC，即可得结论．
证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO＝∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
AE=AF∠EAO=∠FAOAO=AO，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE＝∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=12∠ACB+12∠BAC=12（∠ACB+∠BAC）=12（180°﹣∠B）＝60°，
则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；
∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，
则∠COF＝60°，
∴∠COD＝∠COF，
∴在△FOC与△DOC中，
∠COD=∠COFCO=CO∠FCO=∠DCO，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC＝FC，
∵AC＝AF+FC，
∴AC＝AE+CD．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1） 补短法构造全等三角形
典例．（2019秋•浠水县期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）

A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定
思路引领：由于AB与A、与BC之间没有什么直接的联系，所以必须通过作辅助线建立AB与AD、BC之间的联系，进而方可求解．
不妨在AB上截取AF＝AD，连接EF，求证△BCE≌△BFE即可，也可延长AE交BC延长线于F，证△ADE≌△FCE，当然其它方法只要能得出三条线段之间的关系即可，具体求解过程如下．
解：法1：
在AB上截取AF＝AD，连接EF（如图）
易证AE⊥BE，△ADE≌△AFE（SAS），
所以∠1＝∠2，
又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
所以∠3＝∠4，
所以可证△BCE≌△BFE，
所以BC＝BF，
所以AB＝AF+BF＝AD+BC；

法2：
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵AD∥CB，
∴∠CBA+∠BAD＝180°，
∵BE平分∠CBA，AE平分∠BAD，
∴∠EBA+∠BAE＝90°，
∴∠BEA＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥AF，由△ABE≌△FBE（ASA），
可得BA＝BF，AE＝FE，
于是可证△ADE≌△FCE（ASA），
所以AD＝CF，
所以AB＝BC+CF＝BC+AD．
故选：C．


解题秘籍：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握
第二部分 专题提优训练
1．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BDE的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
思路引领：根据三角形的内角和求出∠ACB＝95°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案．
解：∵∠CAB＝30°，∠B＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣55°＝95°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD=12×30°＝15°，
又∵AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF（ASA）
∴AC＝AE，
∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，
∴△ACD≌△AED （SAS），
∴DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝95°﹣75°＝20°，
∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝20°+20°＝40°，
故选：B．
解题秘籍：考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键．
2．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
思路引领：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PAPM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．

解题秘籍：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．
3．（2022春•新都区期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
思路引领：过P点作PD⊥OB于D，如图，根据角平分线的性质得到PD＝PC＝8，从而得到P到OB的距离．
解：过P点作PD⊥OB于D，如图，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，
∴PD＝PC＝8，
即P到OB的距离为8．
故选：C．

解题秘籍：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．
4．（2022春•二七区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝20，△ABD的面积为60，则CD长（　　）

A．12 B．10 C．6 D．4
思路引领：：过D点作DH⊥AB于H，如图，先根据三角形面积公式计算出DH＝6，然后根据角平分线的性质得到CD的长．
解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵S△ABD=12DH•AB＝60，
∴DH=2×6020=6，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝6．
故选：C．

解题秘籍：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2022春•碑林区校级期末）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
思路引领：过P点作PH⊥OC于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝2，然后根据垂线段最短求解．
解：过P点作PH⊥OC于H，如图，
∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PH⊥OC，
∴PH＝PD＝2，
∵点M是射线OC上一动点，
∴PM的最小值为2．
故选：C．

解题秘籍：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
6．（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　）

A．28 B．14 C．21 D．7
思路引领：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，由角平分线的性质得OD＝OE＝OF，进而计算△OAB、△OAC、△OBC的面积和便可得结果．
解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，

∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，
∴OD＝OE＝OF＝2，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC
12AB•OE+12AC•OF+12BBC•OD
=12（AB+AC+BC）•OD
=12×28×2＝28，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
7．（2020秋•綦江区期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）MN的长不变，（4）四边形PMON的面积不变；其中正确的序号是（　　）

A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
思路引领：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故（3）错误，
故选：B．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（2016秋•江岸区校级月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为　 　．

思路引领：过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解．
解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
DF=DHAD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE=DGDF=DH，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和38，
∴38+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝11，
故答案为：11．

解题秘籍：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=12(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度数．

思路引领：延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AE=12(AB+AD)可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠ABC＝∠CDF，问题可得解．
解：过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AF，
∴∠DFC＝∠CEA＝90°，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AE=12(AB+AD)，
∴2AE＝AB+AD，
又∵AD＝AF﹣DF，AB＝AE+BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE+BE+AE﹣DF，
∴BE＝DF，
∵∠DFC＝∠CEB＝90°，CF＝CE，
∴△CDF≌△CEB（SAS），
∴∠ABC＝∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．有时还需要证“两步”全等．
10．（2019秋•武昌区期中）如图，AE、BD是△ABM的高，AE，BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．
（1）求证：BC＝2AD；
（2）求∠MDE的度数．

思路引领：（1）由AE、BD是△ABM的高，∠ADB＝∠AEB＝∠AEM＝90°，由∠ACD＝∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD＝180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB＝180°，得到∠MAE＝∠CBE，即可证明△BCE≌△AME，得出AM＝BC；证△ABD≌△MBD，推出AD＝DM=12AM，由△AME≌△BCE，推出AM＝BC，即可得出结论．
（2）根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
（1）证明：∵AE、BD是△ABM的高，
∴∠ADB＝∠AEB＝∠AEM＝90°，
∵∠ACD＝∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD＝180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB＝180°，
∴∠MAE＝∠CBE，
在△AME和△BCE中，∠MAE=∠CBEAE=BE∠AEM=∠BEC，
∴△AME≌△BCE（ASA），
∴AM＝BC，
∵BD平分∠ABM，BD是高，
∴∠ABD＝∠MBD，∠ADB＝∠MDB＝90°，
∵在△ABD和△MBD中，∠ADB=∠MDBBD=BD∠ABD=∠MBD，
∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD＝DM=12AM，
∵△AME≌△BCE，
∴AM＝BC，
∴BC＝2AD．
（2）解：∵AE是△ABM的高，AE＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，
∵BD平分∠ABM，
∴∠ABD＝∠MBD＝22.5°，
∵BD是△ABM的高，
∴∠MAE＝∠MBD＝22.5°，
∴∠MAB＝∠M＝∠BCE＝67.5°，
∵AD＝MD，
∴DE＝AD＝MD，
∴∠MDE＝180°﹣2×67.5°＝45°．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11．（2010秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB＝2AE．求证：∠B+∠ADC＝180°．

思路引领：延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD+AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，有全等的性质可得∠ABC＝∠CDF，问题可得解．
证明：过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵2AE＝AB+AD，
又∵AD＝AF﹣DF，AB＝AE+BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE+BE+AE﹣DF，
∴BE＝DF，
∵∠DFC＝∠CEB＝90°，CF＝CE，
∴△CDF≌△CEB，
∴∠ABC＝∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求证：BC＝CD．

思路引领：过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据同角的补角相等求出∠D＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
证明：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，∠D=∠CBE∠E=∠CFD=90°CE=CF，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴BC＝CD．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．
13．（2018秋•万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．

思路引领：首先在AE上截取AM＝AD，连接CM，再证明△AMC≌△ADC，可得∠3＝∠D，再根据∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，可以证出∠4＝∠B，根据等角对等边可证出CM＝BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME﹣BE，再利用等量代换可证出AE＝AD+BE．
证明：在AE上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
在△AMC和△ADC中AC=AC∠1=∠2AD=AM，
∴△AMC≌△ADC（SAS），
∴∠3＝∠D，
∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝∠B，
∴CM＝CB，
∵CE⊥AB，
∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），
∵AE＝AM+ME，
∴AE＝AD+BE．

解题秘籍：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，证出ME＝BE．
14．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积
求证：OP平分∠AOD．

思路引领：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，根据三角形的面积公式得到PE＝PF，根据角平分线的判定定理证明即可．
证明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，
∵△PAB的面积等于△PCD的面积，AB＝CD，
∴PE＝PF，
∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，
∴OP平分∠AOD．

解题秘籍：本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
15．如图，△ABD与△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）试判断∠AFD与∠AFE的大小关系，并说明理由．

思路引领：（1）求出∠DAC＝∠BAE，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和DC＝BE，根据面积公式求出AM＝AN，根据角平分线性质得出即可．
证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAB+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
∵AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ACD≌△AEB（SAS）；

（2）∠AFD＝∠AFE，
理由是：过A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△ACD≌△AEB，
∴S△ACD＝S△ABE，DC＝BE，
∴12DC×AM=12BE×AN，
∴AM＝AN，
∴∠AFD＝∠AFE．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是推出△ACD≌△AEB，注意：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
16．（2021春•文登区期末）已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：AD＝DC．
（1）如图1，小明利用圆规，添加辅助线进行证明，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，小明的方法可行吗？请说明理由；
（2）请你用与小明不同的方法证明此题．

思路引领：（1）证出∠BED＝∠A，由AAS证明△ABD≌△EBD，即可得出结论；
（2）作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，证出∠DAM＝∠C，由角平分线性质得出DM＝DN，由AAS证明△ADM≌△CDN，即可得出结论．
（1）解：小明的方法可行；理由如下：
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠BED＝∠A，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△EBD中，∠A=∠BED∠ABD=∠EBDBD=BD，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD＝DE，
∵DE＝DC，
∴AD＝DC；
（2）证明：作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，如图所示：
则∠DMA＝∠DNC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠DAM＝180°，
∴∠DAM＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴DM＝DN，
在△ADM和△CDN中，∠DMA=∠DNC∠DAM=∠CDM=DN，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AD＝DC．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键．