第18讲 几何最值问题专项突破-2022-2023学年八年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第18讲 八年级数学上几何最值问题专项突破（解析版）
第一部分典例剖析+针对训练
类型一 单动点求两线段和的最小值
名师点金：将军饮马问题。两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为所求。
典例1（2022春•鄂城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=14AB，则PA+PD的最小值为（　　）

A．8 B．43 C．213 D．833
思路引领：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．
解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，
则PA+PD的值最小，
过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，
则DH＝EF，DH∥BC，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴AC=12AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，
∵BD=14AB＝2，
∴AD＝6，CF=12DE=12BD＝1，
∴AF＝5，
∴DH=AD2−AH2=33，
∴EF＝33，
∴AE=AF2+EF2=213，
∴PA+PD的最小值为213，
故选：C．

解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
针对训练1
1．（2022春•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
思路引领：如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
∴CP+EP的最小值是6．
故选：B．

解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
类型二 求一条线段的最小值
名师点金：垂线段最短！
典例2（2021秋•徐州期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值是 　．

思路引领：过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE＝PD，再求出答案即可．
解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝3，
∴PE＝3，
即PE的最小值是3，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PE最小时点E的位置是解此题的关键．
针对训练2
2．（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　 　．

思路引领：过点D作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可．
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵△BCD的面积为16，BC＝8，∠C＝90°，
∴CD＝4，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
当AP⊥直线l时，AP的值最小，
此时四边形APDE为矩形，
∴AP＝DE＝4，
∴AP最小值为4，
故答案为：4．

解题秘籍：本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
类型三 双动点求两线段和的最小值
名师点金：将军饮马问题与垂线段最短的综合。
典例2（2021秋•双台子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是　 　．

思路引领：根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，根据30°直角三角形的边的性质即可求解．
解：方法一：如图1所示：

在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AB′E（SAS）．
∴BE＝B′E，
∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，
∵垂线段最短，
∴此时BE+EF最短．
∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，
∴B′F=12AB′＝3．
故答案为3．
方法二：如图2所示：

在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，
同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）
∴EG＝EF，
∴BG＝BE+EG＝BE+EF，
当BG垂直于AC时最短，
即BH的长最短，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BH＝3．
故答案为3．
解题秘籍：本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点．
针对训练3
3．（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　）

A．5 B．3 C．245 D．72
思路引领：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
解：如图作等F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
在Rt△ACD中，AC=32+42=5，
∵12•BC•AD=12•AC•BH，
∴BH=245，
∴BE+EF的最小值为245，
故选：C．
解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
4．（2022•合肥模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（　　）

A．23+2 B．3+3 C．22+2 D．2+4
思路引领：作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH=12BC=12×(23+2)=3+1，
∴CH=3BH=3+3．
故选B．

解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
类型四 一点两线求周长最小值
名师点金：根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理。
典例4（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．5 B．15 C．20 D．30
思路引领：根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．
解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∵OD＝OE＝15，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故选：B．

解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
针对训练4
5．（2021秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

A．60° B．90° C．100° D．120°
思路引领：要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝40°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．

∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
类型五 求两条线段差的最大值
名师点金：两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。
典例5（2022春•高州市期中）如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 　．

思路引领：作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．则AB＝AB'，PB'＝PB，AB'C是等边三角形，在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．所以PB﹣PC|的最大值是8．
解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．
∵AB＝AC＝8，
∴AB'＝AC＝8，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝8，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．
∴|PB﹣PC|的最大值是8．
故答案为：8．

解题秘籍：本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键
针对训练5
6．（2022春•锦江区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，M是AC边上的中点，Q是BC边中点，N是线段CQ任意一点，P是AB边上任意一点，P关于AC对称的点为P′，已知AB=62，则NP′﹣MP的最大值为 　 ．

思路引领：连接MP′，MN，由对称性和三角形三边关系可知，NP′﹣MP＝NP′﹣MP′≤MN′，且当点M与点Q重合时，取得最大值，根据等边三角形的性质与判定可得出最大值．
解：如图，连接MP′，MN，
∵点P，P′关于AC对称，
∴MP＝MP′，
∴NP′﹣MP＝NP′﹣MP′，
在△MNP′中，由三角形三边关系可知，NP′﹣MP′＜MN，
当M，N，P′三点共线时，NP′﹣MP′＝MN，
∴NP′﹣MP′≤MN，且当N与点Q重合时，取得最大值，即NP′﹣MP′≤MQ，即NP′﹣MP的最大值为MQ的长．
在等边△ABC中，AB=62，
∴AC＝AB＝BC=62，∠C＝60°，
∵点M为AC的中点，点Q为BC的中点，
∴CQ＝MC=12AC=64，
即NP′﹣MP的最大值为64．
故答案为：64．

解题秘籍：本题主要考查等边三角形的性质与判定，轴对称的性质等相关知识，关键是找到何时取得最大值．
类型六 求一条线段的最大值
名师点金：通过构造三角形全等，或者取直角三角形斜边中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半。在根据三角形三边关系解决。
典例6 如图，四边形中，，，，，则对角线长的最大值为　　

A．5 B． C． D．1
详解：如图，在的左侧作等边三角形，连接．
则，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
当、、共线时，的值最大，最大值为．
故选：．
典例7（2020春•宁化县期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将等边△ABC放在第一象限，其中边BC的端点B、C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，D是AC的中点，AB＝4，连接OD，则线段OD长度的最大值是（　　）（提示：直角三角形斜边中线等于斜边一半）

A．23 B．4 C．25 D．26
思路引领：取BC的中点M，连接OM，DM，根据三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线可得DM＝2，OM＝2，然后根据三角形的三边关系，即可解答．
解：取BC的中点M，连接OM，DM，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝4，
∵D是AC的中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM=12AB＝2，
∵∠BOC＝90°，点M是BC的中点，
∴OM=12BC＝2，
∵OD≤DM+OM，
∴当O、M、D三点共线时，OD的值最大，
∴OD的最大值＝DM+OM＝4，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
针对训练6
7．（2022春•工业园区期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（　　）

A．8 B．9 C．4+22 D．4+32
思路引领：取AB中点P，连接OP、CP，根据直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC，根据三角形的三边关系解答即可．
解：取AB中点P，连接OP、CP，
则OP＝AP=12AB＝4，
由勾股定理得，CP=AC2+AP2=5，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，
故选：B．

解题秘籍：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质、正确作出辅助线是解决问题的关键．
类型7 造桥选址问题
名师点金：把一个点平移定长后作对称点与另一点连接，或者先作对称点再平移定长再与另一点连接。转化为将军饮马问题。
典例8（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 　　；四边形PCDQ周长的最小值为 　 　．

思路引领：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BC=332+534x，当x取最大值5时，可得求得四边形PCDQ的面积最大值；作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，再根据勾股定理求得CN的长，即可得出四边形PCDQ周长的最小值．
解：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP=12×6×32×6−12•x•32×1−12×（6﹣x﹣1）×32×6=332+534x，
∵x的最大值为6﹣1＝5，
∴x＝5时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=3134，
如图，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ＝D'Q＝MP，DD'=3，D'M＝PQ＝1，
过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则∠N＝90°，CH＝BC×sin60°＝33，NH=12DD'=123，
∴MN＝3﹣1−12=32，
CN＝NH+CH=123+33=723，
当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，
此时，Rt△MNC中，CM=MN2+CN2=(32)2+(723)2=39，
又∵PQ＝1，CD＝6﹣1＝5，
∴四边形PCDQ周长的最小值为39+6．
故答案为：3134，6+39．

解题秘籍：本题考查等边三角形的性质，勾股定理以及轴对称最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•景县校级模拟）如图，∠AOB＝60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．219 B．313 C．9 D．53
思路引领：作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N则MP＝MP'，NP＝NP''，OP＝OP'＝OP''，∠BOP＝∠BOP''，∠AOP＝∠AOP''，则PN+PM+MN＝NP''+MN+MP'＝DC，∠P'OP''＝2∠AOB＝120°，此时△PMN周长最小，为P'P''，据此解答即可．
解：作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N，
则MP＝MP'，NP＝NP''，OP＝OP'＝OP''，∠BOP＝∠BOP''，∠AOP＝∠AOP''，
∴PN+PM+MN＝NP''+MN+MP'＝DC，
∠P'OP''＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小值为P'P''，
延长P'P，交OB与D．
∵∠AOB＝60°，
∴∠P'PP''＝120°，
∴∠EPD＝60°，
∴∠D＝30°，
∵PE＝3，
∴PD＝2PE＝6，
∴CD＝CP+PD＝2+6＝8，
∴OC=33CD=833，
∴OP=OC2+CP2=(833)2+22=2357，
∴P'P''=3OP=3×2357=219，
即△PMN周长的最小值是219．
故选：A．

解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
2．（2021春•驿城区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AB=32，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A．3 B．2 C．23 D．22
思路引领：作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝32，∠BAC＝45°，
∴BH=322=3．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3．
故选：A．

解题秘籍：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
3．（2022•太仓市模拟）等边△ABC边长为4，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等边△BEF，则△BDF周长的最小值为（　　）

A．2+23 B．2+3 C．4+3 D．4+23
思路引领：连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小．
解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∠GCF＝∠BCF＝30°，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
∴BG=32BC=32×4＝23．
∴△BDF周长：DF+BF+BD＝BG+BD＝23+2．
故选：A．

解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．25 B．23 C．5 D．15
思路引领：点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，过A′作A′C⊥BC，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵A（1，1），
∴点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），
连接A′B交x轴于P，
则此时，PA+PB＝A′B的值最小，
过A′作A′C⊥BC，
∴A′B=A′C2+BC2=(3−1)2+(3+1)2=25．
∴PA+PB最小值为25，
故选A．

解题秘籍：此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
5．（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（　　）

A．3 B．23 C．3.5 D．33
思路引领：作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．
解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N=12AM'=12×（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．

解题秘籍：本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（　　）

A．3 B．7 C．3 D．323
思路引领：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值＝BE′，根据勾股定理即可得到结论．
解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，
∴AE′＝AE＝1，
∴CE'＝3﹣1＝2，
作E'F⊥BC于F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴CF＝1，E'F=3，
∴BF＝3﹣1＝2，
∵AC＝BC＝3，
∴BE'=BF2+E′F2=22+(3)2=7．
故选：B．

解题秘籍：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．
7．（2022•大庆模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，M是BC的中点，点E是AB边上的动点，点F是线段BM上的动点，则ME+EF的最小值等于是（　　）

A．22 B．3 C．4 D．23
思路引领：连接AM，作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，依据勾股定理，即可得到BD＝BM＝23，再根据当点D，E，F三点共线，且DF⊥BC时，EF+EM的最小值等于DF的长，利用勾股定理求得DF的长，即可得到ME+EF的最小值．
解：如图，连接AM，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM=12AB＝2，
∴Rt△ABM中，BM=AB2−AM2=23，
作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，则BD＝BM＝23，DE＝ME，
当点D，E，F三点共线，且DF⊥BC时，EF+EM的最小值等于DF的长，
此时，Rt△BDF中，∠DBF＝60°，∠D＝30°，
∴BF=12BD=3，
∴DF=BD2−BF2=3，
∴ME+EF的最小值等于3，
故选：B．

解题秘籍：本题主要考查了等腰三角形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．（2022春•兴宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD+PE的最小值（　　）

A．24 B．25 C．26 D．133
思路引领：作D关于BC的对称点G，连接GE则PD+PE＝GE，当PD+PE的值最小时，GE最小，当GE⊥AB时，GE最小，即求得GE=3AE＝133．
解：作D关于BC的对称点G，连接GE，
则PD＝PG，
∴PD+PE＝PD+PG＝GE，
当PD+PE的值最小时，GE最小，
∴当GE⊥AB时，GE最小，
∵AE＝13，∠B＝30°
∴GE=3AE＝133．
故选：D．

解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
9．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（　　）

A．3 B．3 C．33 D．2
思路引领：过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF=12AB=12×6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF=12AB=12×6＝3，
∴CF=BC2−BF2=62−32=33，
∴CE+EF的最小值为33，
故选：C．

解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
10．（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　）

A．12a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
思路引领：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．
解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．

解题秘籍：本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
11．（2022•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）

A．152 B．5 C．3 D．125
思路引领：利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
解：在AB上取一点G，使AG＝AF，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴FE＝EG，
∴CE+EF＝CE+EG，
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，
CG=125．

故选：D．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题．
12．（2021秋•钢城区期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（　　）

A．8km B．10 km C．12 km D．102km
思路引领：根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P.
则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点E，
∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，
∴AA'＝4km，则AE＝6km，
在Rt△A'EB中，
CB=62+82=10（km），
则AP+PB的最小值为：10km．
故选：B．

解题秘籍：此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
13．（2021秋•澄海区期末）如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（　　）

A．82° B．84° C．88° D．92°
思路引领：作点P关于OA的对称点A'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，可知∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，再利用三角形内角和定理可得答案．
解：作点P关于OA的对称点A'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，

∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，
此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，
∵∠AOB＝44°，
∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，
∴∠P'+P''＝44°，
∵∠P'＝∠MPP'，∠P''＝∠P''PN'，
∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣（∠P'+∠P''）＝136°﹣44°＝92°，
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形内角和定理等知识，将△PMN周长的最小值转化为P'P''的长是解题的关键，同时渗透了整体思想．
14．（2021秋•广水市期末）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（　　）

A．无法确定 B．10 C．13 D．16
思路引领：】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BN＝18，求得MG＝10，于是得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B＝60°，∠BNG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BN＝9，
∴BG＝2BN＝18，
∴MG＝10，
∴CM＝CG＝5，
∴AC＝BC＝13，
故选：C．

解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15．（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2的值为（　　）

A．160 B．150 C．140 D．130
思路引领：作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出A′B的长就是PA+PB的最小值；
延长AB交MN于点P′，此时P′A﹣P′B＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA﹣PB|，故当点P运动到P′点时|PA﹣PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA﹣PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
解：如图，

作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴A′C＝8，BE＝8+5＝13，A′E＝CD＝4，
∴A′B=132+42=185，
即PA+PB的最小值是a=185．
如图，

延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB=42+32=5．
∴|PA﹣PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2﹣b2＝185﹣25＝160．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．
16．（2022春•锡山区期末）如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、43，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 　 　，CQ长的最大值为 　　 ．

思路引领：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠可得：BQ＝B′Q，当B′Q⊥BC时，B′Q最小，即BQ最小，则CQ最大，然后根据菱形的性质可得AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，OA＝2，OB＝23，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而在Rt△ABH中，求出AH的长，最后利用平行线间的距离相等可得AH＝B′Q，从而求出CQ的最大值，即可解答．
解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
由折叠得：
BQ＝B′Q，
∴当B′Q⊥BC时，B′Q最小，即BQ最小，则CQ最大，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，OA=12AC＝2，OB=12BD＝23，
∴AB=AO2+OB2=22+(23)2=4，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，
∴BH=12AB＝2，
AH=3BH＝23，
∵AD∥BC，AH⊥BC，B′Q⊥BC，
∴AH＝B′Q＝23，
∴CQ的最大值＝BC﹣BQ＝4﹣23，
故答案为：4，4﹣23．

解题秘籍：本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（2022春•霞浦县期中）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 　　．

思路引领：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝．AC，连接EG，根据“SAS“证明△GCE≌△ACF，得出AF＝GE，得出AF+AE从而得出当A、G、E三个点在同一直线上时，AF+AE的值最小，求出AG的值即可．
解：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB．
∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝30°，
∵∠ACG＝90°，
∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝∠BCG，
∴△GCE≌△ACF（SAS），
∴AF＝GE，
∴AF+AE＝GE+AE，
当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小．
∴AF+AE的值最小为：AC2+GC2=42+42=42．
故答案为：42

解题秘籍：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键
18．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在边长为6，面积为93的等边△ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是 　　．

思路引领：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴C和B关于直线AD对称，
∴CM＝BM，
即BM+MN＝CM+MN＝CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB＝90°，CN是∠ACB的平分线，AN＝BN（三线合一），
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∵AB＝6，
∴BN=12AB＝3，
在△BCN中，由勾股定理得：CN=BC2−BN2=62−32=33，即BM+MN的最小值是33．
故答案为33．

解题秘籍：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．
19．（2021秋•抚远市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　　．

思路引领：过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB•CM=12AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC=12AB•CM=12AC•BC，
∴CM=AC⋅BCAB=245，
即PC+PQ的最小值为245．
故答案为245．
解题秘籍：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
20．（2021春•思明区校级月考）若m为常数，且m＞0，点A的坐标为（0，10m），B点的坐标为（5m，﹣2m），C点为x轴上一点，AC+BC的最小值为　 　，AC﹣BC最大值为　 　．（用含m的代数式表示）
思路引领：根据两点之间线段最短求出AC+BC的最小值，利用轴对称求出AC﹣BC的最小值即可．
解：如图，连接AB交x轴于点C，此时AC+CB的值最大，
最大值＝AB=(5m)2+(12m)2=13m．
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于C′，
此时AC′﹣BC′的值最大，
最大值为AB′=(5m)2+(8m)2=89m，
故答案为：13m，89m．

解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最小值问题．
21．（2020•新化县开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CD=13BC；
（3）若AC＝2，点P是直线AD上的动点，求|PB﹣PC|的最大值．

思路引领：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角可得∠BAD＝∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD＝2CD，根据AD＝BD，从而得出BD＝2CD，得出BC＝BD+CD＝3CD，即可证得CD=13BC；
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，作直线BC′交AD于P，此时|PB﹣PC|的值最大，最大值为AC的长．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，
∴∠B+2∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
（2）∵∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝BD+CD＝3CD，
∴CD=13BC；
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，
∵AD平分∠BAC．
∴C′在直线AB上，连接BC′的直线就是AB，
∴P点就是A点，
此时|PB﹣PC|的最大值为BC′，
∵AC＝AC′＝BC′，
∴|PB﹣PC|的最大值＝2．

解题秘籍：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，轴对称的性质以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的关键．