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初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定一课一练
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专题12.2 手拉手模型 【典例1】小明同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形,小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现:如图1,若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,求证:BD=CE;(2)拓展探究:如图2,若△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一条直线上,连接BE,则∠AEB的度数为 ;线段BE与AD之间的数量关系是 ;(3)解决问题:如图3,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由. 【思路点拨】(1)先判断出∠BAD=∠CAE,进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE,即可得出结论;(2)同(1)法,判断出△BAD≌△CAE,得出AD=BE,∠ADC=∠BEC,最后用角的差,即可得出结论;(3)同(2)的方法,即可得出结论. 【解题过程】解:(1)∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;(2)∵△ABC和△CDE均是等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°,∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∵∠CDE=60°,∴∠BEC=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°,∵∠CED=60°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°,故答案为:60°,BE=AD;(3)AE=BE+2CM,理由:同(1)(2)的方法得,△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∵△CDE是等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°,∴∠ADC=180°﹣∠CDE=135°,∴∠BEC=∠ADC=135°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°,∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME,∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM. 1.(2021春•鄄城县期末)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=( )A.55° B.50° C.45° D.60°2.(2020秋•饶平县校级期末)如图,已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C、D、E、F共线.则下列结论,其中正确的是( )①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③∠BFC=∠EAF;④AB=BC.A.①②③ B.①②④ C.①② D.①②③④3.(2021秋•民权县期末)如图,在△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠EAB=44°,AB交EF于点D,连接EB.下列结论:①∠FAC=44°;②AF=AC;③∠EFB=44°;④AD=AC,正确的个数为( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.(2021秋•南平期末)已知:如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.45.(2021秋•北海期末)如图,∠1=∠2=30°,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,AE与BD相交于点O,则∠C的度数为 .6.(2021秋•铁东区校级期中)在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC外一点,连接AD、BD、CD,且BD交AC于点O,在BD上取一点E,使得AE=AD,∠EAD=∠BAC,若∠ACB=∠ABC=70°,∠AED=∠ADE,则∠BDC的度数为 .7.(2021秋•上城区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上的一点,∠BAD=28°,在AD的右侧作△ACE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE,DE交AC于点O,若CE∥AB,则∠DOC的度数为 .8.(2021春•西安期末)如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=50°,AD、BE交于点H,连接CH,则∠CHE= .9.(2021秋•双峰县期末)如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O,则①DB=AE;②∠AMC=∠DNC;③∠AOB=60°;④DN=AM;⑤△CMN是等边三角形.其中,正确的有 .10.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE.求证:∠ABD=∠ACE.11.(2021秋•新吴区期末)如图,在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD.(1)求证:△ABD≌△ACD;(2)过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:AE=DE. 12.(2020秋•萧山区期末)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,若∠AOB=∠COD=60°.(1)求证:AC=BD.(2)求∠APB的度数. 13.(2021秋•长沙期末)如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,直线CD与直线BE交于点F.(1)求证:CD=BE;(2)求∠CFB的度数. 14.(2021秋•长沙县期末)如图,已知在四边形ABCD中,点E在BC上,使∠AEB=∠ADC,连接AC,AB=AC,∠BAC=∠DAE.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若∠BAC=90°,连接ED,求∠AED的度数. 15.(2021秋•德江县期末)某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时,把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.(1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)试说明:DC与BE的位置关系. 16.(2021秋•太康县期末)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合),以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE,且AD=AE,∠BAC=∠DAE,联接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE= 度.(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.①点D是在线段BC上移动时,如图2,则α、β之间有怎样的数量关系?试说明理由.②点D是在射线CB上移动时,则α、β之间有怎样的数量关系?试直接写出结论.
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