专题14.5 因式分解（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题14.5  因式分解

【典例1】先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．

再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：

（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；

（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；

（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．

【思路点拨】

（1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；

（2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；

（3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．

【解题过程】

解：（1）设x﹣y＝m，

原式＝1﹣2m+m2

＝（1﹣m）2

＝[1﹣（x﹣y）]2

＝（1﹣x+y）2；

（2）设a+2＝m，

原式＝25m2﹣10m+1

＝（5m﹣1）2

＝[5（a+2）﹣1]2

＝（5a+9）2；

（3）设y2﹣6y＝m，

原式＝m（m+18）+81

＝m2+18m+81

＝（m+9）2

＝（y2﹣6y+9）2

＝（y﹣3）4．

1．（2020秋•饶平县校级期末）分解分式：m2﹣3m．

【思路点拨】

直接把公因式m提出来即可．

【解题过程】

解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．

2．（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：

（1）﹣20a﹣15ax；

（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．

【思路点拨】

（1）直接提取公因式﹣5a，进而得出即可；

（2）直接提取公因式（a﹣3），进而得出即可．

【解题过程】

解：（1）﹣20a﹣15ax

＝﹣5a（4+3x）；

（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）

＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）

＝（a﹣3）（a﹣5）．

3．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）

【思路点拨】

直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．

【解题过程】

解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）

＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]

＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．

4．（2021秋•黄浦区期中）分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）．

【思路点拨】

对原式进行变形，提取公因式x﹣2y，化简即可．

【解题过程】

解：原式＝（x﹣2y）（2x+3y）+2（x﹣2y）（5x﹣y）

＝（x﹣2y）[2x+3y+2（5x﹣y）]

＝（x﹣2y）（2x+3y+10x﹣2y）

＝（x﹣2y）（12x+y）．

5．（2021春•鄞州区期末）因式分解：

（1）a2﹣4b2；

（2）﹣x2+6xy﹣9y2．

【思路点拨】

（1）根据平方差公式分解因式；

（2）先提负号，然后根据完全平方公式分解因式．

【解题过程】

解：（1）a2﹣4b2

＝a2﹣（2b）2

＝（a+2b）（a﹣2b）；

（2）﹣x2+6xy﹣9y2

＝﹣（x2﹣6xy+9y2）

＝﹣（x﹣3y）2．

6．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：81a4﹣16．

【思路点拨】

原式利用平方差公式分解即可．

【解题过程】

解：原式＝（9a2）2﹣42

＝（9a2+4）（9a2﹣4）

＝（9a2+4）（3a+2）（3a﹣2）．

7．（2021春•亭湖区校级月考）把下列各式分解因式：

（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2；

（2）16x4﹣8x2y2+y4．

【思路点拨】

（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；

（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．

【解题过程】

解：（1）原式＝[5（a+b）﹣3（a﹣b）][5（a+b）+3（a﹣b）]

＝（8a+2b）（2a+8b）

＝4（4a+b）（a+4b）；

（2）原式＝（4x2﹣y2）2

＝（2x+y）2（2x﹣y）2．

8．（2021•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．

【思路点拨】

首先利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．

【解题过程】

解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9

＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9

＝（x2﹣1﹣3）2

＝（x﹣2）2（x+2）2．

9．（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．

【思路点拨】

先对多项式进行化简整理，然后再运用完全平方公式分解即可．

【解题过程】

解：（a+2）（a+4）+1

＝a2+6a+9

＝（a+3）2．

10．（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．

【思路点拨】

先去括号，然后再合并同类项，最后对化简后的式子进行分解即可解答．

【解题过程】

解：（a+2b）（a+4b）+b2

＝a2+6ab+8b2+b2

＝a2+6ab+9b2

＝（a+3b）2．

11．（2021秋•仓山区校级期末）把下列各式因式分解：

（1）x2y﹣9y；

（2）m3﹣8m2+16m．

【思路点拨】

（1）先提取公因式，再利用平方差公式；

（2）先提取公因式，再利用完全平方公式．

【解题过程】

解：（1）原式＝y（x2﹣9）

＝y（x+3）（x﹣3）；

（2）原式＝m（m2﹣8m+16）

＝m（m﹣4）2．

12．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y．

【思路点拨】

先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．

【解题过程】

解：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y

＝﹣3x（x2+y2+2xy）

＝﹣3x（x+y）2．

13．（2021秋•西平县期末）分解因式：

（1）a3﹣10a2b+25ab2；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

【思路点拨】

（1）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可解答；

（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．

【解题过程】

解：（1）a3﹣10a2b+25ab2

＝a（a2﹣10ab+25b2）

＝a（a﹣5b）2；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）

＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．

14．（2021秋•寻乌县期末）分解因式：（m﹣n）（3m+n）2+（m+3n）2（n﹣m）

【思路点拨】

提公因式后利用平方差公式分解因式即可；

【解题过程】

解：（m﹣n）（3m+n）2+（m+3n）2（n﹣m）

＝（m﹣n）[（3m+n）2﹣（m+3n）2]

＝（m﹣n）（3m+n+m+3n）（3m+n﹣m﹣3n）

＝8（m﹣n）2（m+n）

15．（2021秋•泗水县期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：x2﹣xy+4x﹣4y

＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）

＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）

＝（x﹣y）（x+4）

乙：

＝（分成两组）

＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）

＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）

请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：

（1）m3+2m2﹣3m﹣6；

（2）9a2﹣4b2﹣6a+1．

【思路点拨】

（1）分成两组，前两项一组，后两项一组，然后进行分解即可；

（2）分成两组，第一项，第三项，第四项分到一组，第二项单独一组，然后进行分解即可．

【解题过程】

解：（1）m3+2m2﹣3m﹣6

＝（m3+2m2）﹣3（m+2）

＝m2（m+2）﹣3（m+2）

＝（m2﹣3）（m+2）；

（2）9a2﹣4b2﹣6a+1

＝（9a2﹣6a+1）﹣4b2

＝（3a﹣1）2﹣4b2

＝（3a﹣1+2b）（3a﹣1﹣2b）．

16．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．

【思路点拨】

先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．

【解题过程】

解：x3+2x2y﹣9x﹣18y

＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）

＝（x+2y）（x2﹣9）

＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．

17．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．

【思路点拨】

先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．

【解题过程】

解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）

＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）

＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）

＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．

18．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．

【思路点拨】

直接利用十字相乘法分解因式得出即可．

【解题过程】

解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）

＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．

19．（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：

（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：

x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+10＝　（x+2）（x+5）　；

（2）x2﹣2x﹣3＝　（x﹣3）（x+1）　；

（3）y2﹣7y+12＝　（y﹣3）（y﹣4）　；

（4）x2+7x﹣18＝　（x+9）（x﹣2）　．

【思路点拨】

（1）把10分解成2×5；

（2）把﹣3分解成﹣3×1；

（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；

（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；

【解题过程】

（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；

（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；

（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；

（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．

故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．

20．（2021秋•微山县期末）【知识背景】

八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．

【方法探究】

对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．

所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．

例如，分解因式：x2+5x+6．

它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．

所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．

类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．

例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．

分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．

【方法归纳】

一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．

我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．

【方法应用】

利用上面的方法将下列各式分解因式：

（1）x2﹣5x+6；

（2）10x2+x﹣21；

（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．

【思路点拨】

（1）根据6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），进行分解即可；

（2）根据10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，进行分解即可；

（3）先把x2﹣4x看成一个整体，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法继续分解即可．

【解题过程】

解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；

（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；

（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12

＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）

＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．