数学七年级上册1.2.1 有理数练习

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2022—2023学年七年级上学期第一单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列各组数中，数值相等的是（　　）
A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2 D．3×22与（3×2）2
【分析】先根据有理数的乘方和有理数的乘法进行计算，再根据求出的结果进行判断即可．
【解答】解：A．∵32＝9，23＝8，
∴32≠23，故本选项不符合题意；
B．∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣23＝（﹣2）3，故本选项符合题意；
C．∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，
∴﹣32≠（﹣3）2，故本选项不符合题意；
D．∵3×22＝3×4＝12，（3×2）2＝62＝36，
∴3×22≠（3×2）2，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（4分）2022年春节期间，为响应国家号召，多数人选择“就地过年”，太原市文旅系统推出了探寻晋商年味之旅、魅力山西时尚之旅等10条主题线路，使“就地过年”更有年味、更加贴心，2月1日至2月16日，全市20家A级景区平均每天接待游客2万人次，则全市这20家A级景区这7天共接待的游客数量用科学记数法可表示为（　　）
A．0.14×106人次 B．1.4×105人次
C．1.4×104人次 D．1.4×108人次
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2万×7＝140000＝1.4×105．
故选：B．
3．（4分）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（﹣5）与﹣|﹣5| B．|+3|与|﹣3|
C．﹣（﹣6）与|﹣6| D．﹣（+4）与+（﹣4）
【分析】根据相反数和绝对值化简各选项中的数，根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：A选项，5与﹣5互为相反数，故A选项符合题意；
B选项，3＝3，故B选项不符合题意；
C选项，6＝6，故C选项不符合题意；
D选项，﹣4＝﹣4，故D选项不符合题意；
故选：A．
4．（4分）如表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态氦
沸点（℃）
﹣183
﹣253
﹣196
﹣268.9
则沸点最高的液体是（　　）
A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦
【分析】根据有理数大小的比较方法解答即可．
【解答】解：因为﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，所以沸点最高的液体是液态氧．
故选：A．
5．（4分）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，若AB＝8，则点A表示的数为（　　）

A．﹣4 B．0 C．4 D．8
【分析】根据点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，得到A，B两点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，得到原点O在AB的中点，求出OA的长度即可得到点A表示的数．
【解答】解：∵点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，
∴A，B两点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
∴原点O在AB的中点，
∵AB＝8，
∴OA＝AB＝×8＝4，
∴点A表示的数为﹣4．
故选：A．
6．（4分）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．

A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【分析】利用数轴，结合方程及分类讨论思想求解．
【解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，
∴B对应的数为：4﹣6＝﹣2；故①是不符合题意的；
∵6÷2＝3，故②是符合题意的；
∵当BP＝2时，t＝2或t＝4，故③是不符合题意的；
∵在点P的运动过程中，MN＝3，故④是符合题意的；
故选：D．
7．（4分）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|b﹣a|﹣|1﹣a|﹣|b﹣2|的结果是（　　）

A．1 B．2a﹣3 C．﹣1 D．2b﹣1
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值，合并同类项即可得出答案．
【解答】解：∵b﹣a＜0，1﹣a＜0，b﹣2＜0，
∴|b﹣a|﹣|1﹣a|﹣|b﹣2|
＝a﹣b+1﹣a+b﹣2
＝﹣1．
故选：C．
8．（4分）用四舍五入法，分别按要求取0.17326取近似值，下列结果中错误的是（　　）
A．0.2（精确到0.1） B．0.17（精确到百分位）
C．0.174（精确到0.001） D．0.1733（精确到0.0001）
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：A．0.17326≈0.2（精确到0.1），所以A选项不符合题意；
B．0.17326≈0.17（精确到百分位），所以B选项不符合题意；
C．0.17326≈0.173（精确到0.001），所以C选项符合题意；
D．0.17326≈0.1733（精确到0.0001），所以D选项不符合题意．
故选：C．
9．（4分）北京与西班牙的时差为7个小时．比如，北京时间中午12点是西班牙的凌晨5点，2022年2月4日晚8时北京冬奥会开幕式正式开始，在西班牙留学的嘉琪准时观看了直播，直播开始的当地时间为（　　）
A．凌晨1点 B．凌晨3点 C．17：00 D．13：00
【分析】根据北京与西班牙的时差为7个小时解答即可．
【解答】解：晚8时＝20时，20﹣7＝13，
即直播开始的当地时间为13时．
故选：D．
10．（4分）若（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，则（m+n）2021的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2021 D．﹣2021
【分析】先根据互为相反数的和为0，再根据非负数的性质列出算式，求出m、n的值，计算即可．
【解答】解：∵（m﹣2）2与|n+3|互为相反数，
∴（m﹣2）2+|n+3|＝0，
∴m﹣2＝0，n+3＝0，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴（m+n）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．
故选：A．
11．（4分）从小明家到学校有1200米上坡，1600米平路和800米下坡，小明上学时上坡的速度为60米/分钟，平路上的速度为80米/分钟，下坡速度为100米/分钟，则小明上学时的平均速度是（　　）
A．75米/分钟 B．80米/分钟
C．85米/分钟 D．无法求出平均速度
【分析】利用小明上学时的平均速度＝小明家到学校的路程÷小明从家到学校的时间，即可求出小明上学时的平均速度..
【解答】解：＝＝＝75（米/分钟）．
故选：A．
12．（4分）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（　　）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【分析】将A1，A2，B1，B3的式子表示出来，使其等于732，求出相应的n的数值即可判断答案．
【解答】解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，
整理可得：2n＝248，
n不为整数；
A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，
整理可得：2n＝254，
n不为整数；
B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，
整理可得：2n＝252，
n不为整数；
B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，
整理可得：2n＝256，
n＝8；
故选：D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知a为有理数，{a}表示不小于a的最小整数，如{}＝1，{﹣3}＝﹣3，则计算{﹣6}﹣{5}×{﹣1}÷{4.9}＝　 　．
【分析】根据新定义，将{﹣6}﹣{5}×{﹣1}÷{4.9}化简为﹣6﹣5×（﹣1）÷5，再根据有理数的混合运算法则解决此题．
【解答】解：{﹣6}﹣{5}×{﹣1}÷{4.9}
＝﹣6﹣5×（﹣1）÷5
＝﹣6﹣（﹣5）÷5
＝﹣6﹣（﹣1）
＝﹣6+1
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．（4分）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是（﹣3）的相反数，则的值是 　．
【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义得出a+b＝0，cd＝1，m＝3，再代入计算即可．
【解答】解：根据题意知a+b＝0，cd＝1，m＝3，
则原式＝3+0+1＝4．
故答案为：4．
15．（4分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1圈，点A到达A'的位置，则点A'表示的数是 　 　．

【分析】先求出圆的周长为π，从A滚动向左运动，运动的路程为圆的周长．
【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长＝π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；
故答案为：﹣π+1．
16．（4分）我们知道：相同加数的和用乘法表示，相同因数的积用乘方表示．类比拓展：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的圈n次方”．根据所学概念，求（﹣4）③的值是 　 　．
【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．
【解答】解：（﹣4）③＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）＝﹣4××＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）请你把下列各数填入表示它所在的数的集合内：
（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣62，|﹣0.5|﹣2，20%，﹣0.13，﹣7，，0，4.7，
正有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
自然数集合：{ …}．
【分析】先根据有理数的乘方，绝对值的定义将原数先化简，再进行分类即可得出答案．
【解答】解：∵（﹣3）4＝34＝81，﹣（﹣2）5＝25＝32，﹣62＝﹣36，|﹣0.5|﹣2＝0.5﹣2＝﹣1.5，
∴正有理数集合：{（﹣3）4，﹣（﹣2）5，20%，，4.7 …}；
整数集合：{（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣62，﹣7，0 …}；
负分数集合：{|﹣0.5|﹣2，﹣0.13 …}；
自然数集合：{（﹣3）4，﹣（﹣2）5，0 …}．
18．（8分）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．
【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，
∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，
∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，
∴a+b≤0，b+c≥0，
∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，
∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，
a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．
19．（10分）点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的“和谐点”．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题：
（1）当a＝﹣1，b＝5时，线段AB的“和谐点”所表示的数为 　 　；
（2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的“和谐点”，此时a的值是多少？
【分析】（1）设线段AB的“和谐点”所表示的数为x，分两种情况讨论：①点在A、B之间；②点在B的右边．根据新定义列出方程求解；
（2）首先由b＝a+6得出AB＝6，再分三种情况讨论：①点O为线段AB的“和谐点”；②点A为线段OB的“和谐点”；③点B为线段AO的“和谐点”．根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设线段AB的“和谐点”为P，P表示的数为x．
①如果点P在A、B之间，
∵PA＝2PB，A，B在数轴上表示的数分别为﹣1，5，
∴x﹣（﹣1）＝2（5﹣x），
解得x＝3；
②如果点P在B的右边，
∵PA＝2PB，
∴x﹣（﹣1）＝2（x﹣5），
解得x＝11．
故答案为：3或11；
（2）∵b＝a+6，
∴b﹣a＝6，即AB＝6，
分三种情况：
①如果点O为线段AB的“和谐点”，那么AO＝2OB，
根据题意可得，0﹣a＝2（b﹣0），或0﹣a＝2（0﹣b），
即a＝﹣2b，或a＝2b，
又b＝a+6，
∴a＝﹣4，b＝2，或a＝﹣12，b＝﹣6；
②如果点A为线段OB的“和谐点”，那么AO＝2AB，
∵a＜0，
∴这种情况不存在；
③如果点B为线段AO的“和谐点”，那么AB＝2OB，
根据题意可得，6＝2（0﹣b），或6＝2（b﹣0），
即b＝﹣3，或b＝3，
又∵b＝a+6，
∴a＝﹣9或a＝﹣3；
故答案为：﹣3，﹣4，﹣9，﹣12．
20．（10分）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，9）＝ 　，（4，1）＝　 　，（2，）＝　 　；
（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；
（2）由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，根据4×7＝28，得到3a×3b＝3c，根据同底数幂的乘法法则得到3a+b＝3c，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵32＝9，40＝1，2﹣3＝，
故答案为：2；0；﹣3；
（2）证明：由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，
因为4×7＝28，
所以3a×3b＝3c，
所以3a+b＝3c，
所以a+b＝c．
21．（12分）计算
（1）﹣165+265﹣78﹣22+65； （2）；
（3）； （4）32÷（﹣2）3+（﹣2）3×﹣22．
【分析】（1）先分组计算，再相加即可求解；
（2）将带分数化为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解；
（3）将带分数化为假分数，根据乘法分配律计算；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【解答】解：（1）﹣165+265﹣78﹣22+65
＝（﹣165+265）﹣（78+22）+65
＝100﹣100+65＝65；
（2）
＝﹣×××3＝﹣1；
（3）
＝×（﹣）﹣×（﹣）﹣×（﹣）
＝﹣2+1+＝﹣；
（4）32÷（﹣2）3+（﹣2）3×﹣22
＝9÷（﹣8）﹣8×﹣4
＝﹣1+6﹣4＝．
22．（12分）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖200kg脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：kg）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+6
+3
﹣2
+12
﹣7
+19
﹣11
（1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　 kg脐橙；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 　 　kg脐橙；
（3）若电商以1.5元/kg的价格购进脐橙，又按3.5元/kg出售脐橙，且电商需为买家按0.5元/kg的价格支付脐橙的运费，则电商本周一共赚了多少元？
【分析】（1）前三天共卖出的脐橙为200×3+（6+3﹣2）千克，计算即可；
（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售19﹣（﹣11）＝30（千克）；
（3）先计算脐橙的总量，然后根据：总量×（售价﹣进价﹣运费）代入数据计算，结果就是赚的钱数．
【解答】解：（1）前三天共卖出的脐橙为200×3+（6+3﹣2）＝600+7＝607（千克）；
（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售19﹣（﹣11）＝30（千克）；
（3）200×7+（6+3﹣2+12﹣7+19﹣11）＝1420（千克），
1420×（3.5﹣1.5﹣0.5）＝2130（元），
答：电商本周一共赚了2130元．
23．（12分）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是 　 　；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 　 　；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．
【解答】解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；
故答案为：4，|x+2|；
（2）|a﹣1|＝6，
∴a﹣1＝6或a﹣1＝﹣6，
即a＝7或a＝﹣5，
故答案为：7或﹣5；
（3）有最小值，
当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2﹣x+4＝﹣2x+2＞6，
当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2﹣x+4＝6，
当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，
所以当﹣2≤x≤4时，它的最小值为6．
24．（14分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22020+22021①
则2S＝2+22+…+22021+22022②
②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+…+220＝　 　；
（2）求1+++…+＝　 　；
（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整数，请写出计算过程）
【分析】（1）（2）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出2S，相减即可得到结果；
（3）根据题目所给方法，令等式左边为S，表示出aS，相减即可得到结果．
【解答】解：（1）设S＝2+22+…+220，则：
2S＝22+23+…+220+221，
2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，
∴S＝221﹣2，
故答案为：221﹣2．
（2）设S＝1+++…+，则：
2S＝2+1+++…+，
2S﹣S＝（2+1+++…+）﹣（1+++…+）＝2﹣，
∴S＝2﹣，
故答案为：2﹣．
（3）设S＝1+a+a2+a3+…+an，则：
aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，
aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．
∴S＝．