专题08 一元一次方程（知识大串讲）-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题08  一元一次方程（知识大串讲）

【知识点梳理】

考点1  一元一次方程

1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；

标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；

2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值

考点2 等式的性质

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；

如果a=b，那么a±c=b±c;

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；

如果a=b，那么ac=bc;

如果a=b，c0，那么；

考点3 含参一元一次方程

1、次数含参：主要考察一元一次方程定义

2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题

3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数

考点4  一元一次方程的解

使一元一次方程等号左右两边相等的未知数的值。

考点5  解一元一次方程

解一元一次方程的步骤：

1. 去分母

两边同乘最简公分母

2.去括号

（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号

（2）乘法分配律应满足分配到每一项

注意 ：特别是去掉括号，符合变化

3.移项

（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；

（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．

4. 合并同类项

（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a 0 ）；

（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．

5. 系数化为 1

（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ；

（2）注意：分子、分母不能颠倒

【典例分析】

【考点1 一元一次方程定义】

【典例1】（2021秋•雅安期末）下列四个方程中，是一元一次方程的是（　　）

A．x2﹣1＝0 B．x﹣1＝0 C．x+y＝1 D．﹣1＝0

【答案】B

【解答】解：A．根据一元一次方程的定义，x2﹣1＝0中x的次数是2，那么x2﹣1＝0不是一元一次方程，故A不符合题意．

B．根据一元一次方程的定义，x﹣1＝0是一元一次方程，那么B符合题意．

C．根据一元一次方程的定义，x+y＝1中含有两个未知数，那么x+y＝1不是一元一次方程，故B不符合题意．

D．根据一元一次方程的定义，不是整式方程，而是分式方程，那么不是一元一次方程，故D不符合题意．

故选：B．

【变式1】（2022春•沙坪坝区期末）下列方程是一元一次方程的是（　　）

A．2x2﹣1＝0 B．y＝x+1 C．＝1 D．x﹣2＝1

【答案】D

【解答】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；

C、方程左边是分式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；

D、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．

故选：D

【考点2 等式性质】

【典例2】（2022春•龙凤区期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（　　）

A．由a＝b，得＝            B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝﹣y 

C．由＝1，得x＝        D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b

【答案】D

【解答】解：A．由a＝b，得＝，故A选项不符合题意；

B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝y，故B选项不符合题意；

C．由＝1，得x＝4，故C选项不符合题意；

D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b，故D选项符合题意；

故选：D．

【变式2-1】（2021秋•渭城区期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　）

A．若a＝b，则2a＝2b B．若2a＝3b，则2a﹣2＝3b﹣2 

C．若ac＝bc，则a＝b D．若＝，则2a＝2b

【答案】C

【解答】解：A．根据等式的基本性质，若a＝b，则2a＝2b，故A正确，那么A不符合题意；

B．根据等式的基本性质，若2a＝3b，得2a﹣2＝3b﹣2，故B正确，那么B不符合题意；

C．根据等式的基本性质，由ac＝bc，当c≠0，得a＝b，故C错误，那么C符合题意；

D．根据等式的基本性质，若＝，则2a＝2b，故D正确，那么D不符合题意．

故选：C．

【变式2-2】（2021秋•庄河市期末）已知等式2a﹣3b＝9，则下列等式不成立的是（　　）

A．2a＝9+3b B．2a﹣4＝9+3b C． D．3b＝2a﹣9

【答案】B

【解答】解：A、因为2a﹣3b＝9，所以2a＝9+3b，故A不符合题意；

B、因为2a﹣3b＝9，所以2a﹣4＝9+3b﹣4，故B符合题意；

C、因为2a﹣3b＝9，所以a﹣b＝，故C不符合题意；

D、因为2a﹣3b＝9，所以3b＝2a﹣9，故D不符合题意；

故选：B．

【考点3 含参一元一次方程】

【典例3】（2021秋•禹州市期末）已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（　　）

A．3或1 B．1 C．3 D．0

【答案】B

【解答】解：根据题意得：

|a﹣2|＝1，

解得a＝3或a＝1，

因为a﹣3≠0，

所以a≠3，

综上可知：a＝1．

故选：B．

【变式3-1】（2021秋•巩义市期末）若使方程（m+2）x＝1是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　）

A．m≠﹣2 B．m≠0 C．m≠2 D．m＞﹣2

【答案】A

【解答】解：由题意可知：m+2≠0，

解得m≠﹣2．

故选：A．

【变式3-2】（2022春•漳州期末）若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【解答】解：根据题意得：

m﹣1＝1，

解得：m＝2．

故选：D．

【典例4】（2022春•漳州期末）若x＝2是方程2x+a﹣5＝0的解，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9

【答案】A

【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣5＝0，

解得：a＝1．

故选：A．

【变式4-1】（2021秋•许昌期末）已知x＝2是关于x的方程2x﹣a+6＝0的解，则常数a的值是（　　）

A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣10

【答案】B

【解答】解：把x＝2代入方程2x﹣a+6＝0得：4﹣a+6＝0，

解得：a＝10，

故选：B．

【变式4-2】（2021秋•东莞市期末）若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（　　）

A．10 B．4 C．﹣3 D．3

【答案】D

【解答】解：把x＝2代入方程得：

4×2+2m﹣14＝0，

解得：m＝3，

故选：D．

【典例5】（2021秋•山西期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（　　）

A．7 B．8 C．﹣7 D．﹣8

【答案】A

【解答】解：∵x＝2是方程ax﹣b＝3的解，

∴2a﹣b＝3，

∴4a﹣2b＝6，

∴4a﹣2b+1＝7，

故选：A．

【变式5】（2022•江津区一模）若x＝3是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+2a+2021值为（　　）

A．2017 B．2027 C．2045 D．2029

【答案】D

【解答】解：把x＝3代入方程a﹣bx＝4得：a﹣3b＝4，

所以﹣6b+2a+2021＝2（a﹣3b）+2021＝2×4+2021＝8+2021＝2029，

故选：D．

【考点4 解一元一次方程】

【典例6】（2021秋•潼南区期末）方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形正确的是（　　）

A．5x﹣2x+1＝8 B．5x﹣2x﹣1＝8 C．5x﹣2x+2＝8 D．5x﹣2x﹣2＝8

【答案】C

【解答】解：方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形得：5x﹣2x+2＝8．

故选：C．

【变式6-1】（2021秋•天桥区期末）解方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1）时，去括号正确的是（　　）

A．3﹣x+6＝5x+5 B．3﹣x﹣6＝5x+1 C．3﹣x+6＝5x﹣5 D．3﹣x﹣6＝5x﹣1

【答案】C

【解答】解：方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1），

去括号得：3﹣x+6＝5x﹣5．

故选：C．

【典例7】（2022春•沙坪坝区期末）解方程﹣3时，去分母正确的是（　　）

A．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3 B．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×5 

C．5（2x﹣3）＝3×2x﹣3×15 D．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15

【答案】D

【解答】解：解方程﹣3时，去分母得：3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15．

故选：D．

【变式7-1】（2022春•交城县校级期末）解方程，以下去分母正确的是（　　）

A．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 B．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1 

C．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6 D．3（x+1）﹣2x+3＝6

【答案】C

【解答】解：，

去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．

故选：C．

【变式7-2】（2021秋•铁西区期末）解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，去分母正确的是（　　）

A．3（x+1）＝2x B．3（x+1）＝x C．x+1＝2x D．3（x+1）＝﹣2x

【答案】D

【解答】解：解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，

去分母得：3（x+1）＝﹣2x．

故选：D．

【典例8】（2021秋•三原县期末）代数式3x+1与互为相反数，则x的值为（　　）

A． B．﹣ C．﹣ D．

【答案】A

【解答】解：根据题意得：

3x+1+＝0，

去分母得：2（3x+1）+（x﹣3）＝0，

去括号得：6x+2+x﹣3＝0，

移项合并得：7x＝1，

解得：x＝．

故选：A．

【变式8-1】（2021秋•福田区校级期末）如果单项式﹣xyb与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3

【答案】D

【解答】解：∵单项式﹣xyb与xay3是同类项，

∴a＝1，b＝3，

代入方程得：x+3＝0，

解得：x＝﹣3．

故选：D．

【变式8-2】（2021秋•海淀区校级期末）如果3（x﹣2）与2（3﹣x）互为相反数，那么x的值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解答】解：根据题意得：3（x﹣2）+2（3﹣x）＝0，

去括号得：3x﹣6+6﹣2x＝0，

移项得：3x﹣2x＝6﹣6，

合并得：x＝0．

故选：A．

【典例9】（2021秋•秀英区校级期末）解下列方程：

（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1）；    （2）．

【解答】解：（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1），

4﹣x﹣3＝2x﹣2，

﹣x﹣2x＝﹣2﹣4+3，

﹣3x＝﹣3，

x＝1；

（2），

21﹣7（2x+5）＝3（4﹣3x），

21﹣14x﹣35＝12﹣9x，

﹣14x+9x＝12﹣21+35，

﹣5x＝26，

x＝﹣．

【变式9-1】（2022春•二道区期末）解方程：3（x﹣2）＝x﹣（8﹣3x）．

【解答】解：去括号，可得：3x﹣6＝x﹣8+3x，

移项，可得：3x﹣x﹣3x＝﹣8+6，

合并同类项，可得：﹣x＝﹣2，

系数化为1，可得：x＝2．

【变式9-2】（2022春•常宁市期末）解方程：．

【解答】解：2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6（x﹣1），

4x﹣2﹣3x﹣3＝6x﹣6，

4x﹣3x﹣6x＝﹣6+2+3，

﹣5x＝﹣1，

x＝．

【变式9-3】（2021秋•邹平市校级期末）解方程

（1）x﹣＝+1；              （2）＝1；

【解答】解：（1）去分母，可得：15x﹣3（x﹣2）＝5（2x﹣5）+15，

去括号，可得：15x﹣3x+6＝10x﹣25+15，

移项，可得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25+15﹣6，

合并同类项，可得：2x＝﹣16，

系数化为1，可得：x＝﹣8．

（2）原方程可化为：﹣＝1，

去分母，可得：30x﹣7（17﹣20x）＝21，

去括号，可得：30x﹣119+140x＝21，

移项，可得：30x+140x＝21+119，

合并同类项，可得：170x＝140，

系数化为1，可得：x＝．