湖南省名校联盟2023-2024学年高二上学期入学摸底考试数学试题

这是一份湖南省名校联盟2023-2024学年高二上学期入学摸底考试数学试题，共12页。试卷主要包含了已知，则，已知，则的值为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的分位数为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．现有20000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据：）（ ）
A．17.02立方米 B．17.23立方米 C．17.80立方米 D．18.22立方米
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则（ ）
A．恰有1枚吉祥物邮票的概率为 B．含有志愿者标志邮票的概率为
C．至少有1枚会徽邮票的概率为 D．至多有1枚吉祥物邮票的概率为
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD的中点，BD与CE相交于点O，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．在上单调递增 D．不等式的解集为
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，将沿AE翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得 B．CF的长度为定值
C．四棱锥的体积的最大值为 D．直线PA与平面ABCE所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，若，则x的值为__________．
14．某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，其中x为销售量（单位：吨）．若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为__________万元．
15．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________．
16．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）若，D是BC的中点，求AD的长．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，点E，M分别在线段AB，PC上，其中E是AB中点，，连接ME．
（1）当时，证明：直线平面PAD；
（2）当时，求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）
某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）在这100名业主中，求评分在区间与评分在区间的人数之差；
（2）估计业主对物业服务满意程度评分的众数和分位数；
（3）若小区物业服务满意度（满意度）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
20．（本小题满分12分）
已知函数在区间上单调，其中，且．
（1）求的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点，在函数的图象上，求函数的解析式．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）令（其中），求函数的值域．
22．（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，平面ABC，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
名校联盟·2023年下学期高二入学摸底考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B ，故选B．
2．A 设，则，所以，所以．故选A．
3．A 若，必有，可得，但是时，或，不一定为零．故选A．
4．B 这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，由，可得这组数据的分位数为从小到大排列的第5个数，为4，故选B．
5．D ，有．故选D．
6．C 设圆台的高为h厘米，则厘米，
圆台的体积为立方厘米，需要营养土约为立方米．故选C．
7．D 因为，且，
所以，整理得．
因为，所以，
所以．故选D．
8．A 如图，
分别作的中点G，H，F，连接，
由题可知，
则四边形为平行四边形，
平面BEF，平面，平面；
同理可得平面，∴平面平面，
由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，
线段GH，点P的轨迹为GH，．故选A．
9．ABD 令分别表示冬奥会会徽邮票和冬残奥会会徽邮票，分别表示冬奥会吉祥物邮票和冬残奥会吉祥物邮票，C表示志愿者标志邮票．从一套5枚邮票中任取3枚有共10个基本事件，恰有1枚吉祥物邮票的情况有6种，概率为，故A正确；恰有1枚志愿者标志邮票的情况有6种，概率为，故B正确；至少有1枚会徽邮票的概率为，故C不正确；至多有1枚吉祥物邮票的概率为，故D正确．
10．BCD 对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，由，有，故C选项正确；
对于D选项，由，
有，故D选项正确．故选BCD．
11．BD ，故A错误；
当时，，所以，故B正确
因为，又，所以C错误；
当时，，解得；当时，，无解；当时，．故D正确．故选BD．
12．BCD 因为，假设，又平面PBE，所以平面PBE，又平面PBE，所以．在中，，所以PA与PB不可能垂直，故A错误；取PA的中点G，连接EG，FG，如图所示．因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，所以，，又，所以，所以四边形GFCE是平行四边形，所以．故B正确；
当平面平面ABCE时，四棱锥的体积最大．过P作AE的垂线，垂足为H，所以，所以，因为平面平面ABCE，平面平面，，平面PAE，所以平面ABCE，即PH是四棱锥的高，所以，故C正确；
当平面平面ABCE时，直线PA与平面ABCE所成角的正切值取得最大值，此时，所以，故D正确．故选BD．
13． 由，有，解得．
14．34 设在甲地销售t吨，测在乙地销售吨，
利润为，可知当时，能获得的最大利润为34．
15．（或答：）
，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，即实数m的取值范围是．
16． 记BC的中点为D，由，可得．又由，有，有，有，有．又由为锐角三角形，有有可得．又由．
令，由函数单调递增，
可得，可得．
17．解：（1）因为，又，
所以， 3分
所以，又，所以； 5分
（2）因为D为BC的中点，所以，
所以， 9分
所以． 10分．
18．（1）证明：取PD中点N，连接MN，AN， 1分
是的中位线，，且， 3分
又，且，四边形AEMN为平行四边形， 5分
，
又寸平面PAD，平面PAD，平面PAD； 6分
（2）解：，P到平面ABCD的距离为3，∴点M到平面ABCD的距离为1，
． 12分
19．解：（1）评分在区间的人数为（人）， 1分
评分在区间的人数为（人）， 2分
故评分在区间与评分在区间的人数之差为（人）； 3分
（2）业主对物业服务满意程度评分的众数为75分， 4分
由，， 5分
设业主对物业服务满意程度评分的分位数为x，
有，解得，
故业主对物业服务满意程度评分的众数和分位数分别为75分和84分； 8分
（3）业主对物业服务满意程度评分的平均分为
， 11分
由，
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训． 12分
20．解：（1）由函数在区间上单调，且，可知， 3分
故的图象的一个对称中心的坐标为； 4分
（2）由点在函数的图象上，有，
又由，
可知函数在区间上单调递减， 6分
由函数的图象和性质，有， 7分
又，有， 8分
将上面两式相加，有，有，
又由，可得，有， 10分
又由函数在区间上单调，有，可得，可得，
故． 12分
21．解：（1）函数的定义域为
由，可知函数为偶函数 2分
（2）证明：设，有
4分
故函数在区间上单调递增 6分
（3）由，有 7分
由（2）和可知，函数在区间上的值域为 8分
又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为 9分
令，可得，有
令，有 10分
①当时，，此时函数的值域为 11分
②当时，，此时函数的值域为
由函数和函数的值域一样，故可得，当时，函数的值域为；当时，函数的值域为． 12分
22．（1）证明：连接，，
， 2分
故， 4分
又平面，
故平面； 6分
（2）解：设B到平面的距离为d，，
即，
其中，在中，作于点H，易求得， 8分
， 10分
有， 11分
，
故所求线面角的正弦值为． 12分