山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题
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这是一份山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题,共13页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁,若,,则,已知,,的一个极值点是,则,已知函数,则下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
本卷满分150分,考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,
1.的值为( )
A.B.C.D.
2.已知等差数列,其前n项和满足,则( )
A.4B.C.D.3
3.走马灯古称蟠螭灯、仙音烛和转鹭灯、马骑灯,是汉族特色工艺品,亦是传统节日玩具之一,属于灯笼的一种.如图为今年元宵节某地灯会的走马灯,主体为正六棱柱,底面边长6cm,高15cm,则它的体积为( )
A.B.C.D.
4.过点作曲线的两条切线,切点分别为,,则( )
A.-3B.C.D.3
5.若,,则( )
A.B.2C.D.3
6.已知,,的一个极值点是,则( )
A.在上单调递增B.在上单调递减
C.在上单调递增D.在上单调递减
7.已知正项等比数列的前n项和为,且满足,设,将数列中的整数项组成新的数列,则( )
A.4048B.2023C.2022D.4046
8.已知等腰直角中,为直角,边,P,Q分别为AC,AB上的动点(P与C不重合),将沿PQ折起,使点A到达点的位置,且平面平面BCPQ.若点,B,C,P,Q均在球O的球面上,则球O体积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为B.在上单调递减
C.D.的定义域为
10.等差数列的公差为d,前n项和为;等比数列的各项均为正数,公比为q,前n项和为,下列说法正确的是( )
A.是等比数列,公比为B.是等差数列,公差为
C.若,则,,成等差数列,公差是kd
D.若,则,,成等比数列,公比是
11.在正方体中,E,F,G分别为BC,,的中点,则( )
A.直线与EF所成的角为30°
B.直线与平面AEF平行
C.若正方体棱长为1,三棱锥的体积是
D.点和B到平面AEF的距离之比是
12.已知数列满足,是前n项和,若,(且),若不等式对于任意的恒成立,则实数a的值可能为( )
A.-4B.0C.2D.5
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数,则______.
14.已知圆锥的顶点为P,母线PA与底面所成的角为60°,底面圆心O到PA的距离为,则该圆锥内切球的表面积为______.
15.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数,根据上述运算法则得出,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下:
已知数列满足:(m为正整数),
当时,______.
16.某学校有如图所示的一块荒地,其中,,,,,经规划以AB为直径做一个半圆,在半圆外进行绿化,半圆内作为活动中心,在以AB为直径的半圆弧上取E,F两点,现规划在区域安装健身器材,在区域设置乒乓球场,若,且使四边形AOEF的面积最大,则______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)在中,,,.
(1)求的面积;
(2)求c及sinA的值.
18.(12分)已知数列满足,,设.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列,求数列的前项和.
19.(12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,点E在平面PBC上运动.
(1)试确定一点E,使得平面PAE,并说明点E的位置;
(2)若四棱锥的体积为6,在侧棱PC上是否存在一点F,使得二面角的余弦值为.若存在,求PF的长,若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意,关于x的方程恒有正数解,求k的取值范围.
21.(12分)已知函数,同时满足函数的最小正周期为π,函数的图象经过点.
(1)求的解析式及最小值;
(2)若函数在区间上有且仅有2个零点,求t的取值范围.
22.(12分)已知正项数列的前n项和为,对一切正整数n,点都在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,且,若恒成立,求实数λ的取值范围.
山东新高考联合质量测评9月联考试题
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C
7.解:令数列}的公比为q,∵,∴,,
因为,
所以当时,,即,
当时,,即,解得(舍去)
所以,即.
因为数列中的整数项组成新的数列,
所以,,此时,即,∴.故选:B
8.解:显然P不与A重合,由点,B,C,P,Q均在球D的球面上,得B,C,P,Q共圆,则,
又为等腰直角三角形,AB为斜边,即有,
将翻折后,,,又平面平面BCPQ,
平面平面,
平面,平面BCPQ,于是平面BCPQ,平面,
显然,BP的中点D,E分别为,四边形BCPQ外接圆圆心,
则平面,平面BCPQ,因此,,
取PQ的中点F,连接DF,EF,则有,,
四边形EFDO为矩形,设且,,,
设球O的半径R,有,
当时,,所以球D体积的最小值为.故选:C.
9.解:因为,
对于A:的最小正周期为,故A正确;
对于B:当时,,因为在上单调递增,
故在上单调递增,故B错误;
对于C:因为的最小正周期为,所以,故C正确;
对于D:令,,解得,,所以的定义域为,故D错误.故选:AC.
10.ABD.
11.解:对于选项A,由图可知与显然平行,所以即为所求,选项A不正确;
对于选项B,取的中点M,连接、,如图所示,
易知,且平面AEF,平面AEF,所以平面AEF.
又易知,
平面AEF,平面AEF,所以平面AEF.
又,可得平面平面AEF.
又平面AEF,从而平面AEF,选项B正确.
对于选项C,由选项B知,和G到平面AEF的距离相等,所以
.选项C正确.
对于选项D,平面AEF过BC的中点E,即平面AEF将线段BC平分,
所以C与B到平面AEF的距离相等,连接显然EF将线段三等分,从而与B到平面AEF的距离之比为,选项D正确,故选:BCD.
12.解:由知,
所以,
则,,…,,
上述式子累加可得,所以.
所以对于任意的恒成立,
整理得对于任意的恒成立.
法一:
对选项A,当时,不等式为,其解集包含,故选项A正确;对选项B,当时,不等式为,其解集不包含,故选项B错误;
对选项C,当时,不等式为,其解集不包含,故选项C错误;
对选项D,当时,不等式为,其解集包含,故选项D正确.
法二:令,
若对于任意的恒成立,只需即得或.故选:AD.
13.解:由,得.
14.解:设球心为C,过C作CD垂直于PA,垂足为D,设内切球半径为r,在中,所以.在中,,所以,解得,所以.
15.解:,,所以.所以.
16.解:设,则,根据题意易知
∵,为等腰三角形,且,
又∵,∴,所以
∴四边形OEFA为梯形,则四边形OEFA面积
,
则,
令,则,解得(舍)或
设为φ为所对应的角,
∵在上单调递减,
∴时,,,S单调递增,
∴时,,,S单调递减.
∴当时,面积最大,即.
17解:(1)由,知,
化简得由,,又,则,
所以
(2)由,得.
而,则.
18.解:(1)由得:,
∴,∴,
∴数列是以1为首项,为公比的等比数列.∴.
(2)由(1)得,∴,
∴.
19.解:(1)点E在的BC边的中线上.
取BC的中点G,连接AG,PG,
因为,,所以,,
所以四边形AGCD为平行四边形.所以,所以平面PAG,
故当点F在的BC边的中线PG上运动时,平面PAE.
(2)四棱锥的体积,
故.由己知可得,,所以,.
以点A为坐标原点,AB、AC、AP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,,
,
设面ABF的法向量,
则即,
令,则,所以
又面ABC的法向量,
所以二面角的余弦值,
解得,即F为PC中点,此时,.
即当时,二面角的余弦值为
20.解:(1).
①时,由,在上单调递增.
②时,由得或,得,
所以在,上单调递增;在上单调递减.
③时,由得或,得,
所以在,上单调递增;在上单调递减.
(2)时,由(1)得在上单调递减,在上单调递增所以对任意,
令,则
所以在上单调递减,
因为对任意,关于x的方程恒有正数解,所以.
21.解:(1)因为,所以.
,所以.
又因为函数的最小正周期为π,所以,所以.
当,,即,时,
所以函数的最小值为-1,
(2)令,则,,所以,.
当,2,3时,函数的零点为,,.
由于函数在区间上有且仅有2个零点,
所以,所以t的取值范围是.
22(1)由题意知,
当时,,所以,
当时,,,
因为,
所以,即.
因为数列为正项数列,所以,即数列为公差为2的等差数列,
所以.
(1)因为,
所以.①
.②
①-②得,
,所以,
所以可化简为.
因为恒成立,所以.
因为对勾函数在上单调递减,在上单调递增,
又,所以当,即时,;
当,即时,,又;
所以,
故.
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