人教版七年级上册4.3.1 角课堂检测

这是一份人教版七年级上册4.3.1 角课堂检测，文件包含七年级数学上册专题11角度中的动态问题专题讲练原卷版docx、七年级数学上册专题11角度中的动态问题专题讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
专题11 角度中的动态问题 专题讲练
与角有关的动态问题（旋转、翻折）属于人教版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题、定值问题、探究问题、分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。

1、知识储备
考点1. 求值问题
考点2. 定值问题
考点3. 探究类问题
考点4. 分类讨论问题
考点5. 新定义问题
考点6. 折叠（翻折）问题
2、经典基础题
3、优选提升题

1、角度旋转问题解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；
②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。

考点1. 求值问题
例1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：

（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝　 　；②∠BOC﹣∠AOD＝　 　．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．
【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，

∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF=12(n−150)°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，

∵∠DOF=12(n−150)°，∠COE=12(360−n)°，∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣n）°，∠COE=12(360−n)°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；综上，∠EOF＝15°或165°．
变式1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=　 　；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=　 　，（请用含m、n的代数式表示）．

【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
 ③解：补全图形如图3所示，

∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °) =m°+n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °) =180°-m°-n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式2．（2022•香坊区七年级期中）如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．
（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数

【解题思路】（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，则∠AON＝90°+α，由补角的定义可求得∠MOB＝2∠NOB，即可证明结论；（2）分两种情况：若射线OM在∠AOQ内时，若射线OM在∠BOQ内时，由角平分线的定义求解∠MOQ，结合∠CON＝2∠MOQ可得关于α的等式，计算可求解；（3）由（1）（2）结论可得∠MOP＝45°−12α，可分两种情况：情况1：射线OM在∠AOQ内，情况2：射线OM在∠BOQ内，分别计算可求解．
【解答过程】解：（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，
∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，
∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；
（2）若射线OM在∠AOQ内时，

∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ=12∠AON=12（90°+α）＝45°+12α，
∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+12α﹣2α＝45°−32α，
∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°−32α），∴α＝22.5°，即∠CON＝22.5°，
若射线OM在∠BOQ内时，
∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=32α﹣45°，
∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（32α﹣45°），∴α＝45°，即∠CON＝45°，
故∠CON的度数为22.5°或45°；
（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+12α，∠MOQ＝45°−32α；∠NOB＝90°﹣α＝2（45°−12α），
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，
∵OP平分∠MON，∴∠MOP=12∠MON=12（90°﹣α）＝45°−12α，
情况1：射线OM在∠AOQ内，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°−12α﹣30°＝15°−12α，
∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+12α）＝45°−12α，
∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°−32α）：（15°−12α）＝3（15°−12α）：（15°−12α）＝3，
n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°−12α）＝2（45°−12α）：（45°−12α）＝2，
∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，
∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°−32α＝15°，解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，
情况2：射线OM在∠BOQ内，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°−12α）=12α﹣15°，
∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=32α﹣45°＝3（12α﹣15°），
∴m＝∠MOQ：∠POD＝（32α﹣45°）：（12α﹣15°）＝3（12α﹣15°）：（12α﹣15°）＝3，
由情况1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°−12α）＝2，
∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，
∴32α﹣45°＝15°，解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM的度数为40°或80°．

考点2. 定值问题
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．

【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，

∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴＝，（不是定值）
②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴＝=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，
t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　 　°；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．

【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围．
【解答过程】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4t)=50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t−803）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t−803）+60°＝6t﹣100°．∴∠BON′=12∠BOD'=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON'，∴6（t−803）=12（3t﹣50°），解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③
根据①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠AOD'=12∠(140°−4t)=70°﹣2t，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段时间0≤t≤10s；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t2，
同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠MON'=12∠BON'=30−2t2，
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠AOP=12∠AOD'=50°−2t2，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；
顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，
同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，
∴∠BON'=12∠BOD'=10°+3t1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此时：20＜t≤803；
当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，
同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，
∴∠BON′=12∠BON'=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜t≤50．
综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．


变式2．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．
(1)当时，求的度数；(2)若．①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．

【答案】(1)(2)①或；②
【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；
（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案．
（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，∴此时与重合，射线运动的度数为，即，
∴当时，．
（2）①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1当时，，∴，符合．

（ii）如图2，当时，，∴，符合．
（iii）如图3，当时，，
∴，不在范围内，舍去．综上所得或．
②如图4，∵，∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，∴当时，，
∴，即，∴运动至外部．
此时，，，∴，
∵平分，∴，∴，
又，∴．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．

考点3. 探究类问题
例1．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．

（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）20°；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；
（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可解决．
【详解】（1）∵，，∴，，
又∵平分，∴，∴．
（2）∵，，∴，，
又∵平分，∴，∴．
（3）结论：．理由如下：设，则，
∵，∴，又∵平分，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
变式1．（2022·安徽·定远七年级期末）已知，，OM，ON分别是和的平分线．(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；
(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．
①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，为直角？
(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．

【答案】(1)25°(2)①n°＋25°，②n＝65(3)∠MON=m°＋25°
【分析】（1）如图1，根据OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根据ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，进而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；
（2）①根据图形中角的和差关系可直接求出；②当∠MON＝90°时，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，
（3）根据图中角的和差关系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．
（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，
（2）①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，
②当∠MON＝90°时，n°＋25°＝90°，∴n＝65，
（3）如图3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．
故答案是：∠MON＝m°＋25°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角的和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义，并能结合图形分析角的和差关系．
变式2．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．

【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；
（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．
【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．

考点4. 分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）

【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）或
【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．
【详解】（1）如图，由与重合，

∵，，∴．
又∵平分，平分，∴，，
∴．故答案为：150°；75°；
（2）如图，∵平分，平分，
∴
+30°+30°+30°．
∴，∴．
（3）如图，

∵平分，平分，
∴，
，
∴=+60°-=；
如图，∵OE平分，平分，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．
变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）

(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当，时，，
，

②，故答案为：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，

②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为：，
(3)根据题意
OM平分∠POQ，
如图，当在的外部时，

MON的度数是40°
ON平分∠POA，，，则旋转了
分，即分钟时，∠MON的度数是40°
如图，在的内部时，即
此情况不存在，综上所述，分钟时，∠MON的度数是40°
变式2．（2022·成都市七年级期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
    
【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．
【分析】（1）根据内半角的定义解答即可；
（2）根据内半角的定义解答即可；
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵是的内半角，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）∵，∴，
∵是的内半角，∴，∴，
∴旋转的角度为时，是的内半角．
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，
如图1，∵是的内半角，，
∴，∴，解得：，∴；

如图2，∵是的内半角，，
∴，∴，∴，∴；
如图3，∵是的内半角，，∴，
∴，∴，∴；

如图4，∵是的内半角，，
∴，
∴，解得：，∴，
综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角．
【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

考点5. 新定义问题
例1．（2022·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
【理解运用】（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】 （2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．

【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．
【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠ NPQ，

∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线” 又∵ ∠MPQ≠∠NPQ ∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时
∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时
∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α ∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，
①当时，如图：∴，解得：；

②当，即时，如图：∴，解得：；
③当，如图：∴，解得：；

④当，如图：∵，，
∴，解得：；
∵的最大值为：，∴不符合题意，舍去；综合上述，t=，4，5秒．
【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是 (2)n (3)或或或或秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可．
(1)解：∵OB是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．故答案为：是．
(2)∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．故答案为：n．
(3)设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止
如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
根据题意可得,,则

解得
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
,,
解得
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,
所以10+x＝，解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．

④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,
解得
⑤如图，,
当时解得：
当时解得：
综上所述，当运动时间为或或或或秒时，符合题意要求．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
变式2．（2022·江苏无锡·七年级期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线，
(1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数；

(2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线．

【答案】(1) (2)或
【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解；
（2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解．
(1)解：，OC是的一条三等分线，且，
；
(2)解：，OC是的一条三等分线，且，
，．
∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线，
∴，，
，．
设旋转后的角为，旋转的时间为t秒，

如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时，，
，，解得(秒)；
如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时，，
，，解得(秒)，
当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提．

考点6. 折叠（翻折）问题
【解题技巧】折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设列方程。在旋转问题中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．则的度数为（    ）

A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，从而可得∠NEM＝∠AEB，进而求解．
【详解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，
∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝（∠AEF＋∠BEF）＝×180°＝90°．故选：B．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键通过翻折得到角相等．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ）

A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
【答案】B
【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案．
【详解】由长方形的性质可知：．
∴，即．
由折叠的性质可知，
∴．
∵，
∴．故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．

（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　 　．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°；
（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，
理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，
由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，
∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；
②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推导出x与y的和即可求得答案；
（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据，即可得到答案.
【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；

（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，
∴180°，
即90°，∴45°，∴75°；
（3）,，
∴180°，∴90°，
又∵，
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.



1．（2022·四川成都市·成都实外）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（　　）

A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】D
【分析】根据折叠求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根据∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度数．
【详解】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，使点C落在长方形内部点E处，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，
∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，
∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角度的倍数关系，主要考查学生的推理和计算能力．
2．（2022·成都市初一月考）如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（　　）

A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】B
【解析】根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故选B．
【点睛】由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求∠CBD的度数．此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．
3．（2022·重庆七年级期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（　　）

A．18° B．20° C．36° D．45°
解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，∴∠BDG＝∠GDF，∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．故选：C．
4．（2022·黑龙江·七年级期末）请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：

（1）的度数为__________；（2）与有何数量关系：______；
（3）与有何数量关系：__________；
【答案】（1）90°；（2）；（3）.
【分析】（1）由图中第三个图形可知，折叠后∠1+∠3=∠2，再根据B、E、C三点共线可求得结论；
（2）根据（1）可知∠1+∠3=∠2=90°，两角之和为90°，两角互余；（3）由B、E、C三点共线可得出结论．
【详解】解：（1）根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，
∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三点共线∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．
（2）∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90°．
（3）∵B、E、C三点共线， ∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．
【点睛】本题考查的角的计算以及折叠问题，解题的关键是依据折叠的特性找到∠1、∠2、∠3之间的关系．
5.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）

（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度
∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如图：

∵，
由题可设为，为，∴
∵，，解得：秒
答：经过秒平分．
6．（2022·重庆八中七年级期末）一副三角板按如图1所示放置，边在直线上，．

(1)求图1中的度数；(2)如图2，将三角板绕点O顺时针旋转，转速为，同时将三角板绕点O逆时针旋转，转速为，当旋转到射线上时，两三角板都停止转动．设转动时间为．
①在范围内，当时，求t的值；
②如图3，旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出时间的值．
【答案】(1) (2)①2s；②s或s或s．
【分析】（1）利用角的和差关系可得从而可得答案；
（2）①先求解重合的时间，再画出图形，结合几何图形与角的和差关系列方程，再解方程即可；②分情况讨论：当时，结合①可得 当时， 当时，利用角的和差关系列方程 解方程即可，当时，如图，当 利用角的和差关系列方程 再解方程即可，当时， 当时，利用角的和差关系列方程，再解方程即可，从而可得答案.
(1)解： ，

(2)解：① 则重合时的时间为：（s），

当时，

解得： 所以当旋转2s时，
②当旋转到射线上时，（s），
当时，结合①可得
当重合时，（s），重合时，（s），如图，
所以当时，

当重合时，（s），如图，
当时，


平分
解得：
当重合时，（s），当时，如图，




平分
解得： 不符合题意，舍去，
当重合时，（s），当


平分 解得：
如图，当再次重合时，（s），当时，

如图，当重合时，（s）
当时，




平分
解得： 综上：当时，s或s或s．
【点睛】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键.
7．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．

(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______；
(2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，①若恰好平分，则______；②若在内部，请直接写出与的数量关系为______；
(3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数．
【答案】(1)(2)①；②(3)或
【分析】（1）先求出，再根据即可得；
（2）①先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；②根据和即可得；
（3）分①在的内部和②在的外部两种情况，根据角的和差分别求出和，再根据建立方程，解方程即可得．
（1）解：，，
，，故答案为：．
（2）解：①，，
恰好平分，，
又，，故答案为：；
②在内部，，
，，即，
，即，
故答案为：．
（3）解：①如图，当在的内部时，

，
∵，∴，
又∵，∴，解得；
②如图，当在的外部时，∴，
∵，∴，
又∵，∴，解得；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
8．（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．

(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；
(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；
(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）根据计算；（2）计算的度数，得到，得出结论；（3）设，表示出，根据，求出，得出答案；
(1)解：点在同一直线上，，
，故答案为：；
(2)如图3，
， ，
∵，，∴，
∵，，∴，∴平分；
(3)如图4，设，则，
∵，∴，
∵，∴，解得，∴．
【点睛】本题考查角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键是结合图形准确表示角的和差．
9．（2022·山东·烟台期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．
【A组研究】在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；
（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【B组研究】在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．
（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；
（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．

【答案】（1）；（2）不变，；（3）；（4）不变，
【分析】（1）根据即可求得答案；
（2）根据条件得，又因为，得出答案；
（3）根据，得出答案；
（4）根据=，得出答案；
【详解】解: (1) ，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
，故答案为：；
(2)不变；∵，∴，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴，∴，
，=，=，=；
(3) ，，，
，，，，故答案为：60°；
(4)不变，由题意得，，
==，=．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论．
10．（2022·贵州遵义·七年级期末）【阅读理解】在学习《角的比较与运算》内容时，教材设置这样的一个探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．

(1)【实践】在度数分别为①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同学利用一副三角尺拼不出来的是__________．（填序号）
(2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如图2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他们两人各自所拼的两个角均在公共边OC的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线OE和的平分线OF．
【探究】通过上述操作，巧巧计算出图1中的，请你直接写出图2中的__________°．
(3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是__________（用含，的代数式表示）．
(4)【拓展】巧巧把图1中的三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°到图3的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了的度数为．嘉琪把图2中的三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°到图4的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照巧巧的做法，求出图4中的度数．
(5)【归纳】根据上述探究，可以归纳出：当有公共顶点的两个角和有（其中）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是__________（用含，的代数式表示）．
【答案】(1)④(2)75(3)(4)15°(5)
【分析】(1)根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答；
(2) 根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：∠AOE=∠EOB=∠AOB，∠COF=∠FOD=∠COD，再根据∠EOF=∠EOB+∠BOF可以求得∠EOF的度数；（3）模仿（2）求解即可；（4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：∠AOE=∠EOB=∠AOB，∠COF=∠FOD=∠COD，再根据∠EOF=∠BOF-∠BOE可以求得∠EOF的度数．（5）模仿（4）求解即可．
(1)解：用两副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，角的度数也是15的倍数，
①135°，②120°，③105°都是15的倍数，而④25°不是15的倍数，所以不能画出25°的角．故答案为：④；
(2)解：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE=∠AOB=×60°=30°，同理∠FOB=45°，
∴∠EOF=∠BOE+∠FOB=30°+45°=75°，故答案为：75°；
(3)解：设∠AOB=α，∠DOC=β，OB与OC重合，OA与OD分别在OB两侧，OE平分∠AOB，OF平分∠DOC，
由（2）可得∠EOF=∠BOE+∠FOB =∠AOB+∠DOC=α+β；故答案为：α+β；
(4)解：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE=∠AOB=×60°=30°，
∵OF平分∠DOC，∴∠DOF=∠DOC=×90°=45°，∴∠EOF=∠DOF-∠BOE=45°-30°=15°，
(5)解：设∠AOB=β，∠DOC=α，OB与OD重合，OA与OC分别在OB同侧，OE平分∠AOB，OF平分∠DOC，
由（4）可得∠EOF=∠DOF-∠BOE=∠COD-∠AOB=α-β；故答案为：α-β．
【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的角的计算，关键是注意此题分两种情况．
11．（2022·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一边在直线的下方．

(1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边在的内部，且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由；(2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
【答案】(1)直线平分，理由见解析(2)(3)10秒或40秒．
【分析】（1）设的反向延长线为，由角平分线的定义得到，再由，得到，则，即可推出，由此即可得到答案；
（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可．
（1）直线平分．理由：设的反向延长线为，∵平分，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴平分，即直线平分；

（2）解：如图，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，∴∠AOM-∠NOC=30°；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，
如图a，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=∠AOC=30°，

∴∠BON=∠AOF=30°，∴∠BOM=90°-∠BON=60°，∴6x=60，∴x=10；
如图b，当ON平分∠AOC时，∠CON=∠AOC=30°，
∴ON旋转的角度是90°+150°=240°，∴6x=240，∴x=40，
综上，x=10或x=40， 即此时三角板绕点O旋转的时间是10或40秒．
【点睛】本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用．
12．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．

【迁移运用】(1)如图1，射线PS　　（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT　　（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
【答案】(1)不是；是(2)①或；②160°或172°
【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．当∠AOC=2∠AOB时，
如图，则：90-4t=2×40．解得：t=，当∠AOB=2∠AOC时，

如图，则：40=2（90-4t）．解得：t=，
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为或；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．当∠COM=2∠COD时，如图，

即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），则：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．
当∠COD=2∠COM时，如图，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．
则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
13．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α．

(1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；
(2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；
(3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，请直接写出此时n的值．
【答案】(1)∠NOB=14°；(2)旋转一共用了26.5s或41.5s；(3)n为54.4°或144°．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MOB的度数，再根据∠NOB=∠MON-∠MOB可得结论；
（2）需要分两种情况进行讨论，①当点N′在OH的右侧时；②当点N′在OH的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；（3）根据题意分两种情况，当0°＜n＜90°和90°＜n＜180°时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可．
(1)解：∵∠BOC=112°，OM平分∠BOC，∴∠MOB=∠BOC=56°，
∵∠MON=70°，∴∠NOB=∠MON-∠MOB=14°；
(2)解：由（1）知∠HOB=∠COB=56°，设旋转时间为t s，
①当点N′在OH的右侧时，∠HON′=30°，∴∠N′OB=56°-30°=26°，
∴∠NON′=∠N′OB+∠BON=26°+80°=106°；∴t=106°÷4°=26.5；

②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′=30°，∴∠N′OB=56°-30°=26°，
∴∠NON′′=∠N′′OH+∠HOB+∠BON=30°+56°+80°=166°；∴t=166°÷4°=41.5；
综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；
(3)解：当0°＜n＜90°时，如图，

∵∠BOF=n，∴∠AOF=180°-n，∵∠FOA=2∠AOM，
∴∠AOM=∠AOF=90°-n，∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠BON=n，∴∠HON=∠HOF-∠BON-∠BOF=124°-n，
∠CON=∠BOC-∠BON=112°-n，∵OH平分∠CON，∴∠CON=2∠HON，
∴112°-n=2（124°-n），解得n=54.4°；
当90°＜n＜180°时，如图，∵∠BOF=n，∴∠AOF=180°-n，∵∠FOA=2∠AOM，
∴∠AOM=∠AOF=90°-n，∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠BON=n，
∴∠HON=360°-∠HOF-∠BON-∠BOF=360°-124°-n-n=236°-n，
∠CON=∠BOC-∠BON=112°-n，∵OH平分∠CON，∴∠CON=2∠HON，
∴112°-n=2（236°-n），解得n=144°；综上，n为54.4°或144°．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的定义，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键．
14．（2022·安徽·定远县七年级期末）已知，，OM，ON分别是和的平分线．

(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；
(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．
①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，为直角？
(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．
【答案】(1)25°(2)①n°＋25°，②n＝65(3)∠MON=m°＋25°
【分析】（1）如图1，根据OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根据ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，进而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；
（2）①根据图形中角的和差关系可直接求出；②当∠MON＝90°时，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，
（3）根据图中角的和差关系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．
（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，
（2）①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，
②当∠MON＝90°时，n°＋25°＝90°，∴n＝65，
（3）如图3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．
故答案是：∠MON＝m°＋25°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角的和差关系，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义，并能结合图形分析角的和差关系．