初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程课时练习

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定义一种新运算：☆，例如：☆，3☆．若☆，则的值是
A．9B．C．9或D．无法确定
【解答】解：当时，化简☆，得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
当时，化简☆，得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
综上，的值为9或．
故选：．
【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为．
例如：两点，表示的数分别为3，，那么．
（1）若，则的值为 1或5 ．
（2）当 是整数）时，式子成立．
（3）在数轴上，点表示数，点表示数．
我们定义：当时，点叫点的1倍伴随点，
当时，点叫点的2倍伴随点，
当时，点叫点的倍伴随点．
试探究下列问题：
若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），表示到表示数的点到表示数3的点的距离为2，
当表示数的点在表示数3的点的左侧时，；
当表示数的点在表示数3的点的右侧时，；
故答案为：1或5；
（2）表示的是表示数的点到表示数1的点的距离和表示数的点的距离之和，
分下列三种情况：①当表示数的点在到1之间时，如图1，
此时成立；
满足条件的的整数为，，0，1；
②当表示数的点在左侧时，如图2，
此时，不存在这样的点；
③表示数的点在1右侧时，如图3，
此时，不存在这样的点；
故答案为：或或0或1；
（3）存在，理由如下：
设点所表示的数位，点所表示的数为，点所表示的数为，
点和重合，
点所表示的数为，
点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，
，，
，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上，存在，此时的长为1或3．
【题组训练】
一．选择题（共15小题）
1．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确结论有
A．①③④B．①③C．②③D．①②④
【解答】解：①，故①正确；
②，，
即当时，故②错误；
③若，
，
，故③正确；
④，故④正确，
即正确都有①③④，
故选：．
2．在有理数范围内定义运算“☆”：☆，如：1☆．如果2☆☆成立，则的值是
A．B．5C．0D．2
【解答】解：根据题中的新定义化简2☆☆得：，
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
故选：．
3．任意四个有理数、、、，定义了一种新运算：，若，则的值为
A．2B．3C．6D．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
合并得：，
解得：．
故选：．
5．如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为
A．0，2B．1，2C．1，0D．1，3
【解答】解：，
，
根据数表，可得：或，
解得：或．
故选：．
6．定义新运算：※．例如3※，已知4※，则
A．B．6C．4D．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
解得：．
故选：．
7．现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为
A．4B．11C．4或11D．1或11
【解答】解：当，则，；
当，则，，
但，这与矛盾，所以此种情况舍去．
即：若，则有理数的值为4，
故选：．
8．定义运算“”，其规则为，则方程的解为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
故选：．
9．定义：“”运算为“”，若，则的值为
A．1B．C．D．2
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：．
10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆，若☆，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：．
11．在有理数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解为
A．B．3C．2D．4
【解答】解：，
，
解得，
故选：．
12．定义符号“”表示的运算法则为，若，则
A．B．C．4D．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：．
13．定义一种新的运算：，例如：，如果，则的值为
A．1B．C．D．
【解答】解：已知等式整理得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
故选：．
14．定义“”的运算规则为，若，则的值是
A．B．1C．D．2
【解答】解：由新定义的运算可将方程化为，
，
移项得，，
合并同类项得，，
解得，
故选：．
15．定义“”运算为，若，则
A．B．1C．D．2
【解答】解：根据题意，
可化为：，
解得．
故选：．
二．填空题（共14小题）
16．若规定“”的意义为：，则方程的解是 ．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
移项得：，
解得：．
故答案为：．
17．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算：．求当时的值 ．
【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：3．
18．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是“差解方程”．若关于的一元一次方程是“差解方程”，则的值为 ．
【解答】解：，
解得，
关于的一元一次方程是差解方程，
，
解得：．
故答案是：．
19．，，，为有理数，现规定一种运算：，那么当时的值是 ．
【解答】解：根据题意可得：，
，
，
，
，
故答案为：4．
20．已知，，，为有理数，现规定一种新运算：，若，则 ．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：1．
21．对于任意四个有理数，，，可以组成两个有理数对与，我们规定★．例如：★．
（1）有理数★ ；
（2）当满足等式★的是正整数时，整数的值是 ．
【解答】解：（1）★，；
故答案为：；
（2）★，
，
，
，
，
是正整数，
或5，
．
故答案为：．
22．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，上述记号就叫做2阶行列式．，则 ．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
故答案为：．
23．对于有理数，，定义※，在此定义下，若9※，则 ．
【解答】解：因为※，
所以9※，
所以，
，
解得．
故答案为：8．
24．规定，若，则 ．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
解得：．
故答案为：．
25．解方程时，移项将其变形为的依据是 ．
【解答】解：依据等式的基本性质1，
等号的两边同时减加5得．
故答案为：等式的基本性质1．
26．对于有理数，，都有△，例如3△．若△，则 ．
【解答】解：△，
则由△，可得：
，
，
，
．
故答案为：2．
27．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果满足，那么的值为 ．
【解答】解：，，
，
或，
解得：或．
故答案为：或3．
28．定义新运算※满足：※※，※※，并规定：1※，则关于的方程※※的解是 ．
【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案为：1
三．解答题（共11小题）
30．材料阅读：在数轴上，对于不重合的三点，，，给出如下定义：若点到点的距离是点到点的距离的2倍．我们就把点叫做，的二倍点．
例如：如图，如果点表示的数为1，点表示的数为4．表示数3的点到点的距离是2，到点的距离是1．那么点是，的二倍点；但点不是，的二倍点，点是，的二倍点．
问题解决：
（1）当点表示的数为，点表示的数为3时，
①若点表示的数为，则点 不是 （填“是”或“不是” ，的二倍点；
②若点是，的二倍点，则点表示的数是 ；
（2）若，在数轴上表示的数分别为和5，现有一点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，当点到达点时停止，问点运动多少秒时，点恰好是，两点的二倍点？
【解答】解：（1）①点到点的距离是2，点到点的距离是4，
点到点的距离不是点到点的距离的两倍，
点不是，的二倍点．
故答案为：不是．
②设点表示的数为，
当点在之间时：点到点的距离为，点到点的距离为．
根据定义可知：，
解得．
当点在点右侧时：点到点的距离为，点到点的距离为．
根据定义可知：，
解得．
故答案为：1或9．
（3）设当点运动到表示数的点时，点为，两点的二倍点．
点到点距离为，点到点的距离为．
当点为，二倍点时，，
解得：，运动时间为：．
当点为，二倍点时，，
解得：，运动时间为．
点运动时间为3秒或6秒时，点为，两点的二倍点．
31．定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：⊕，如：1⊕．在以上运算规则下，解决下列问题．
（1）计算：2⊕；
（2）解方程：⊕．
【解答】解：（1）2⊕
；
（2）⊕，
由运算法则得：，
解得：．
32．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定※．例如：1※．
（1）求※4的值；
（2）若※，求的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式
；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
，即，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
33．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动2个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．
（1）在图中画出当时，点关于点的“联动点” ；
（2）点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒．
①点表示的数为 （用含的式子表示）；
②是否存在，使得此时点关于点的“联动点” 恰好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当时，将点向右移动2个单位长度，得到点；
表示的数是，
如图：
（2）①点表示的数为，
故答案为：；
②不存在恰好与原点重合，理由如下：
表示的数是，
当，表示的数是，
此时不存在恰好与原点重合；
当时，表示的数是，
此时不存在恰好与原点重合，
综上所述，不存在恰好与原点重合．
34．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．
请你探究，解决下列问题：
（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．
（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式□□成立？
请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．
①设这个数字为，将自然数“6□”和“□6”转化为用含的代数式表示分别为 和 ；
②列出关于的满足条件的方程，并求出的值；
③经检验，所求的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合”
【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，
故答案为：2202，；
（2）①设这个数字为，
自然数“6□”用含的代数式表示为：，
自然数“□6”用含的代数式表示为：，
故答案为：，；
②由题意得：
，
解得：，
的值为3；
③检验：，，
，
符合题意，
故答案为：符合．
35．在有理数范围内定义运算“※”，其规则为※．
（1）求2021※2022的值；
（2）求方程※的解．
【解答】解：（1）原式；
（2）由题意可得：，
解得：．
36．数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“关联点”．
（1）若点表示数，点表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中是点，的“关联点”的是 ， ；
（2）点表示数，点表示数15，为数轴上一个动点：
①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，求此时点表示的数；
②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点表示的数．
【解答】解：（1）若点表示数，点表示数1，且，2，4，6所对应的点分别是，，，，
，，
，
是点，的“关联点”；
，，，
不是点，的“关联点”；
，，
，
是点，的“关联点”；
，，，
不是点，的“关联点”；
综上，是点，的“关联点”的是，，
故答案为：，；
（2）设点在数轴上表示的数为．
①在点左侧，则：
（Ⅰ）当点在之间时，
，
解得：；
或，
解得：；
（Ⅱ）当点在点左侧时，
，
当点在点左侧时，点表示的数为或或；
②点在点右侧，则：
（Ⅰ）当点为点，的“关联点”时，
，
解得：；
（Ⅱ）当点为点，的“关联点”时，
，
解得：；
或，
解得：；
（Ⅲ）当点为点，的“关联点”时，
，
解得：，
点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点表示的数为40或65或27.5．
37．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如下：※．例如：※．
（1）求2※的值；
（2）化简：※※；
（3）若※※，求的值．
【解答】解：（1）※
；
（2）※※
；
（3）由※※，得：
※，
即※，
，
整理，得，
解得：．
38．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式；
（2）根据题中的新定义化简得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
39．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”．
（1）数对，中是“共生有理数对”的是 ．
（2）若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是” ；
（3）若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”．
【解答】解：（1），，
，
是“共生有理数对”．
，，
，
不是“共生有理数对”．
故答案为：．
（2）是．理由：，
，
是“共生有理数对”，
，
，
是“共生有理数对”．
故答案为：是．
（3）设是“共生有理数对”的另一个．
①若“共生有理数对”是，根据题意得：
，
解得．
②若“共生有理数对”是，根据题意得：
，
解得．
“共生有理数对”是和．