数学七年级上册3.1.1 一元一次方程同步训练题

这是一份数学七年级上册3.1.1 一元一次方程同步训练题，共31页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc117811587" 方程的概念 PAGEREF _Tc117811587 \h 1
\l "_Tc117811588" 方程的解求代数式 PAGEREF _Tc117811588 \h 3
\l "_Tc117811589" 污染与覆盖问题 PAGEREF _Tc117811589 \h 4
\l "_Tc117811590" 等式的基本性质 PAGEREF _Tc117811590 \h 7
\l "_Tc117811591" 天平中的等式 PAGEREF _Tc117811591 \h 9
\l "_Tc117811592" 一元一次方程的概念 PAGEREF _Tc117811592 \h 11
\l "_Tc117811593" 一元一次方程求参数 PAGEREF _Tc117811593 \h 12
\l "_Tc117811594" 一元一次方程求解 PAGEREF _Tc117811594 \h 14
\l "_Tc117811595" 方程同解问题 PAGEREF _Tc117811595 \h 17
\l "_Tc117811596" 错解问题 PAGEREF _Tc117811596 \h 20
方程的概念
方程是含有__未知数__的等式．
下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．是方程的是
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【解答】解：①符合方程的定义，故本小题符合题意；
②不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；
③不是等式，故本小题不合题意；
④符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑤符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑥不是等式，故本小题不合题意．
故选：．
下列各式中是方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：．含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意；
．不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意；
．不是等式，所以不是方程，故不符合题意；
．符合方程的定义，故符合题意．
故选：．
下列式子中是方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：，不是方程，故不符合题意；
是一元一次不等式，故不符合题意，
．，是方程，故符合题意；
，不是方程，故不符合题意；
故选：．
在下列各式中：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦．
其中是方程的有 个．
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：①，是方程；
②，是方程；
③，是代数式，不是方程；
④，是不等式，不是方程；
⑤，是不等式，不是方程；
⑥，是等式，不是方程；
⑦，是方程；
所以是方程的有①②⑦共3个．
故选：．
方程的解求代数式
使方程左、右两边的值__相等__的未知数的值．
若是方程的解，则的值为
A．1B．C．D．3
【解答】解：把代入方程，得：
，
解得，
故选：．
如果关于的方程的解，那么的值是
A．B．10C．2D．
【解答】解：把代入方程，
得：
解得：．
故选：．
已知是方程的解，则的值是
A．2B．3C．7D．8
【解答】解：把 代入方程，
得：，
解得：，
故选：．
若是方程的解，则的值是
A．B．4C．D．8
【解答】解：
把代入方程
可得：，
解得：，
故选：．
污染与覆盖问题
方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：将代入方程，得：★，
解得：★，
即★处的数字是1，
故选：．
小丽同学在做作业时，不小心将方程■中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：把代入■，得
■，
解得■；
故选：．
有一方程，其中一个数字被污渍盖住了．已知该方程的解为，那么处的数字应是
A．5B．C．D．
【解答】解：设处的数字是．
．
．
故选：．
方程▲，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么▲处的常数是 2 ．
【解答】解：把代入方程，得▲，
解得▲．
故答案为：2
方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程” 的解也是关于的方程的解，则 1 ；
（2）若关于的方程的解也是“立信方程” 的解，则 ；
（3）若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值．
【解答】（1），
解得；
把代入，得：
，
，
解得：；
（2）解方程，
，
解得：或，
把代入得：
，
解得：；
把代入得：
，
解得：；
故满足条件的的值为5
（3）因为正整数，则，
又，
，
两方程均为立信方程，
的值为整数，
为整数，
此时可取1，4，2，，，，
，16，，，38，7，
同理，
，
显然，此时，则，
可取8，，26，
此时，1，，，
两方程相同的解为，此时对应的，，
故符合要求的正整数的值为2，的值为26
阅读下列材料：
关于的方程
的解是；
的解是；
的解是；
以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，
请你直接写出关于的方程的解为 ．
（2）比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是 ．
（3）请验证第（2）问猜想的结论，
（4）利用第（2）问的结论，
求解关于的方程的解．
【解答】解：（1）根据阅读材料可知：
关于的方程的解为；
故答案为：；
（2）关于的方程它的解是；
故答案为：；
（3）把代入等式左边右边；
（4）整理，得
，
所以，
解得．
等式的基本性质
(1)语言叙述：等式两边同时加(或减)__同一个代数式__，所得结果仍是等式．
式子表示：如果a＝b，那么a±c＝__b±c__．
(2)语言叙述：等式两边同时乘__同一个数__(或除以同一个__不为0__的数)，所得结果仍是等式．
式子表示：如果a＝b，那么ac＝__bc__，如果a＝b且c≠0，那么 eq \f(a,c) ＝__ eq \f(b,c) __．
下列根据等式的性质正确变形的是
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【解答】解：．由，得，所以选项不符合题意；
．由，得，所以选项符合题意；
．由，得，所以选项不符合题意；
．由，得，所以选项不符合题意；
故选：．
下列运用等式性质进行的变形中，正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解答】解：．，
，故本选项不符合题意；
．，
，不一定等于，故本选项不符合题意；
．，
，
，故本选项符合题意；
．，
，故本选项不符合题意；
故选：．
下列变形正确的是
A．得B．得
C．得D．得
【解答】解：、得，故不符合题意．
、得，故不符合题意．
、得，故不符合题意．
、得，故符合题意．
故选：．
如下是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有
A．①②③B．①②④C．①③⑤D．①④⑤
【解答】解：如上图是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有：①③⑤，
步骤②的依据是去括号法则，步骤④的依据是合并同类项法则，
故选：．
天平中的等式
一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置
A．3个〇B．4个〇C．5个〇D．6个〇
【解答】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．
根据题意得到：，
解得：，
第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置5个〇．
故选：．
橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是
A．20B．30C．40D．45
【解答】解：设每个橘子重，
可得不等式组，
解得，
故选：．
设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：设■，▲，●，
，
，
又，
，
，
，
故选：．
在中央电视台“开心辞典“节目中，某期的一道题目是：如图，两个天平都平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的
A．倍B．倍C．2倍D．3倍
【解答】解：设一个苹果的重量为、一个香蕉的重量为、一个砝码的重量为，
由题意得：，
解得，
故选：．
一元一次方程的概念
一元一次方程：只含有__一个__未知数，且未知数的次数都是__1__的方程．
下列方程为一元一次方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：．是分式方程，故本选项不合题意；
．中含有未知数项的最高次数是2，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；
．符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意；
．中含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
下列方程中，属于一元一次方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：选项，这个方程有2个未知数，故该选项不符合题意；
选项，这个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
选项，这个方程的最高次数是2，故该选项不符合题意；
选项，这个方程是一元一次方程，故该选项符合题意．
故选：．
下列方程为一元一次方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：．中含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故选项不符合题意；
．符合一元一次方程的定义，故选项符合题意；
．中的未知数的次数是2，所以不是一元一次方程，故选项不符合题意；
．是分式方程，所以不是一元一次方程，故选项不符合题意．
故选：．
下列方程，，，，，，其中是一元一次方程的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，是一元一次方程；
，含有两个未知数，故不是一元一次方程；
是一元一次方程；
，未知数的最高次数不是1次，故不是一元一次方程；
，不是整式方程，故不是一元一次方程；
不是方程，
所以是一元一次方程的有2个．
故选：．
一元一次方程求参数
已知是关于的一元一次方程，则
A．3或1B．1C．3D．0
【解答】解：根据题意得：
，
解得或，
因为，
所以，
综上可知：．
故选：．
若是一元一次方程，则的值为
A．B．2C．D．任何实数
【解答】解：是一元一次方程，
且，
解得；
故选：．
如果是关于的一元一次方程，则的值为
A．2或B．C．3或D．3
【解答】解：是关于的一元一次方程，
，
解得．
故选：．
若方程是关于的一元一次方程，则
A．1B．2C．3D．1或3
【解答】解：方程是关于的一元一次方程，
且，
即或1且，
，
故选：．
已知方程是关于的一元一次方程．
（1）求的值及方程的解．
（2）求代数式的值．
【解答】解：（1）方程是关于的一元一次方程，
且，
，
原一元一次方程化为：，解得；
（2）
，
当时，原式，
即代数式的值是．
若是关于的一元一次方程，求的值．
【解答】解：
．
根据题意得，且，
解得，
把，代入化简后的代数式得，
．
一元一次方程求解
①__移项__，
②__合并同类项__，
③把未知数的系数化为1，最后把方程变成x＝a的形式．
解方程．
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）变形得：，
系数化为1得：；
（2）合并得：，
系数化为1得：；
（3）合并得：，
系数化为1得：．
解方程．
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），
合并同类项，得．
的系数化为1，得．
（2），
移项，得．
的系数化为1，得．
（3），
．
．
解方程．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），
，
．
（2），
，
．
（3），
，
．
（4），
，
，
．
解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
解下列方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
解下列方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
方程同解问题
(1)将方程的解代入原方程，消去未知数，得关于待定系数的方程．
(2)解这个关于待定系数的方程，求出待定系数的值．
已知关于的方程与的解相同，则的值为
A．B．30C．D．7
【解答】解：，
，
，
，
把代入方程得：，
解得：，
故选：．
若关于的方程和有相同的解，则的值是
A．B．C．D．
【解答】解：首先解方程，得：；
把代入方程，
得：，
解得：．
故选：．
方程与关于的方程的解相同，则的值为
A．B．2C．3D．4
【解答】解：，
，
，
把代入方程中可得：
，
解得：，
故选：．
如果方程与关于的方程的解相同，则的值为
A．B．5C．D．
【解答】解：．
．
方程与关于的方程的解相同．
．
．
故选：．
若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值，并写出方程的解．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
由题意得：
，
解得：，
，
字母的值为，方程的解为．
如果方程的解与方程的解相同，求代数式的值．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
把代入方程得：
，
解得：，
所以．
错解问题
(1)将方程的解代入原方程，消去未知数，得关于待定系数的方程．
(2)解这个关于待定系数的方程，求出待定系数的值．
小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为
A．B．C．D．
【解答】解：把代入得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：．
故选：．
在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为，试求的值，并解出原方程正确的解．
【解答】解：去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
，
把代入上式，解得．
原方程可化为：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
故，．
某同学在对方程去分母时，方程右边的1没有乘4，这时方程的解为，试求的值，并求出原方程正确的解．
【解答】解：根据题意得，是方程的解，
把代入，
解得．
把代入到原方程中得，
整理得，，
解得．
小马虎亮亮在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以12，由此求得解为，请解决以下问题：
（1）求的值；
（2）求出原方程的正确解．
【解答】解：（1）把代入方程得：，
即，
解得：；
（2）原方程为，
，
，
，
，
．
1．若使方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．
2．符合条件|a＋5|＋|a－3|＝8的整数a的值有（ ）．
A．4个B．5个C．7个D．9个
【答案】D
【分析】此方程可理解为a到−5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【详解】解：|a＋5|表示a到−5点的距离，
|a−3|表示a到3点的距离，
由−5到3点的距离为8，
故−5到3之间的所有点均满足条件，
即−5≤a≤3，
又由a为整数，
故满足条件的a有：−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，关键是利用数轴进行解答．
3．在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：在下列方程：①，②，③，④，⑤中，
④，⑤是一元一次方程，共2个,
故选B
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解题的关键．
4．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（ ）
A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程
【答案】D
【分析】根据数学发展常识作答．
【详解】解：中国古代列方程的方法被称为天元术，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程，代数式，数学常识，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的数学模型．
5．解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
【答案】D
【分析】方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（等式的基本性质1 ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列解方程去分母正确的是( )
A．由，得2x﹣1＝3﹣3x
B．由，得2x﹣2﹣x＝﹣4
C．由，得2y-15=3y
D．由，得3(y+1)＝2y+6
【答案】D
【分析】根据等式的性质2，A方程的两边都乘以6，B方程的两边都乘以4，C方程的两边都乘以15，D方程的两边都乘以6，去分母后判断即可．
【详解】A．由，得：2x﹣6＝3﹣3x，此选项错误；
B．由，得：2x﹣4﹣x＝﹣4，此选项错误；
C．由，得：5y﹣15＝3y，此选项错误；
D．由，得：3（ y+1）＝2y+6，此选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
7．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①是分式方程，故①不符合题意；
②，即，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；
③，即，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；
④的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意；
⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；
⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．
8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、根据等式性质2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
B、根据等式性质2，a=b两边都乘c，即可得到ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、根据等式性质2，c可能为0，等式两边同时除以c2，原变形错误，故这个选项符合题意；
D、根据等式性质1，x=y两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
二、填空题
9．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是____________．
【答案】1或-1
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【详解】解：移项合并得：，
系数化为1得：，
∵x为正整数，
∴2-k=1或2-k=3，
解得k=1或-1，
故答案为：1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值．
10．如果关于x的方程（m2﹣1）x＝1无实数解，那么m满足的条件是________．
【答案】±1
【分析】令未知数的系数为0，即可得出结论．
【解答】解：当m2﹣1＝0时，方程无实数解，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，正确找出方程无实数解的式子是解题的关键．
11．是方程的解，那么m的值等于_____________．
【答案】1
【分析】根据方程解的定义可得，把x=3代入方程，即可得出答案．
【详解】把x=3代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
12．已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________．
【答案】0或1##1或0
【分析】把方程移项合并同类项， x系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m的非负整数值即可．
【详解】解∶mx=2-x
(m+1 ) x=2，
当m+1≠0，即m≠-1时，解得∶，
由x为整数，得到m+1=或m+1=，
解得∶ m=0或m=-2或m= l或m=-3，
∴m的非负整数值为0和1，
故答案为∶ 0和1．
【点睛】此题考查了求解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解非负整数是解题的关键．
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)x=11
(2)
【分析】（1）解一元一次方程，先移项，然后合并同类项，最后系数化1求解；
（2）解一元一次方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化1求解．
(1)
解：9x−14=8+7x
移项，得：9x−7x=14+8
合并同类项，得：2x=22
系数化1，得：x=11
(2)

去分母，得：6x+3(x−1)=18−2(2x−1)
去括号，得：6x+3x−3=18−4x+2
移项，得：6x+3x +4x=18+2+3
合并同类项，得：13x=23
系数化1，得：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键．
14．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
解：
去括号：
移项合并同类项得：
系数化为1得：x=
（2）
−=−1
去分母得：3（3x+1）-（5x-3）=−6
去括号得：9x+3−5x+3=−6
移项，合并同类项得：4x=−12
系数化为1得：x=−3
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
15．小明同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘3，因而求得方程的解为，试求a的值，并正确地解方程．
【答案】，
【分析】根据题意得出方程，将x＝3代入求出a的值，即可求出正确的解．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得．
把代入，
得．
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，同时考查了一元一次方程的解法，正确求出a的值是解题的关键．
解：①
②
③
④
⑤