专题02 经典考点之动点与数轴的融合（五大考点）（期末真题精选）-2022-2023学年七年级数学上学期期末分类复习满分冲刺（人教版）

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专题02 经典考点之动点与数轴的融合（五大考点）

实战训练

一．跳蚤类-点的跳动
1．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（　　）

A．﹣5 B．0 C．5 D．10
试题分析：设P0所表示的数是x，归纳出Pn＝x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，再根据P10＝0，求出x的值即可．
答案详解：解：设P0所表示的数是x，
由题意知，P1所表示的数是x+1，
P2所表示的数是x+1﹣2，
P3所表示的数是x+1﹣2+3，
...，
Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，
∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，
∵P10＝0，
即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，
∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，
即x﹣5＝0，
解得x＝5，
所以选：C．
2．一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，A6A的长度是（　　）

A．1−17 B．1−112 C．1−132 D．1−164
试题分析：根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的12处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（12）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的12n处，依此即可求解．
答案详解：解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的12处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（12）2处，
…
则跳动n次后，即跳到了离原点12n处，
则第6次跳动后，该质点到原点O的距离为126=164．
∴A6A＝1−164．
所以选：D．
3．点P从原点向距离原点左侧1个单位的A点处跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到AA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到AA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，P点表示的数为　−6364　．

试题分析：根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的12处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的(12)2处，则跳动6次后，即跳到了离原点的126处，依此即可求解．
答案详解：解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的12处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离A点的（12）2处，
…
则第6次跳动后，该质点离点A的距离为（12）6=164．
1−164=6364，
所以答案是：−6364．
4．一只青蛙从位于数轴上表示数a0的点开始，每次向左或向右跳一步，每步一个单位长，跳第k步后落在表示数ak的点，经过n次跳动的落点依次表示数a1，a2，a3，…，an，若a0＝9，a2015＝2022，则a2010＝　2017或2019　．
试题分析：根据题意可以发现其中的规律，由a0＝9，a2015＝2022，可以推出a2010的值．
答案详解：解：由题意可得，
2015+9＝2024，
2024﹣2＝2022，
∵青蛙向左跳一次，就需要再向右跳一次才能回到原来的位置，
∴前2009次向右跳，第2010次向左跳或前2010次都向右跳，
∴a2010＝9+2019﹣1＝2017或a2010＝9+2010＝2019，
所以答案是；2017或2019．
二．折叠类---可用中点公式（距离公式）（
5．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：
（1）表示数﹣2的点与表示数 　6　的点重合；表示数7的点与表示数 　﹣3　的点重合．
（2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 　﹣4　；点B表示的数是 　8　；
（3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？
试题分析：（1）先判断出表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称，即可得出结论；
（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论；
（3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论．
答案详解：解：（1）由折叠知，表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称，
∴表示数﹣2的点与表示数6的点关于表示数2的点对称，
表示数7的点与表示数﹣3的点关于表示数2的点对称，
所以答案是：6，﹣3；
（2）∵折叠后点A与点B重合，
∴点A和点B关于表示数2的点对称，
∵A，B两点之间距离为12，
∴点A和点B到表示数2的点的距离都为12×12＝6，
∴点A表示的数为2﹣6＝﹣4，点B表示的数为2+6＝8，
所以答案是：﹣4，8；
（3）如图，由（2）知，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为8，
设点M表示的数为m，

①当点M在点A左侧时，m＜0，
∴（MO+BO）+（MO﹣AO）＝2020，
∴（﹣m+8）+（﹣m﹣4）＝2020，
∴m＝﹣1008，
②当点M在点B的右侧时，m＞0，
∴（MO+BO）+MO﹣AO）＝2022，
∴（m﹣8）+（m+4）＝2020，
∴m＝1012，
即点M表示的数为1012或﹣1008．
6．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　2　表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？

试题分析：（1）根据对称的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点；
（2）①若﹣1表示的点与3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到5的对称点；
②根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到1的距离都是4.5，从而求解．
答案详解：解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则﹣2表示的点与数2表示的点重合；
（2）∵﹣1表示的点与3表示的点重合，
∴对称中心是1表示的点．
∴①5表示的点与数﹣3表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），
则点A表示的数是1﹣4.5＝﹣3.5，点B表示的数是1+4.5＝5.5．
所以答案是2，﹣3，A＝﹣3.5，B＝5.5
7．在下面给出的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，回答下面的问题：
（1）A、B之间的距离是 　3　
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是：　﹣4或6　；
（3）若将数轴折叠，使点A与﹣3表示的点重合，则点B与数 　0　表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：
M：　﹣1007　N：　1005　．

试题分析：（1）（2）观察数轴，直接得出结论；
（3）A点与﹣2表示的点相距4单位，其对称点为﹣1，由此得出与B点重合的点；
（4）对称点为﹣0.5，M点在对称点左边，离对称点2011÷2＝1005.5个单位，N点在对称点右边，离对称点1005.5个单位，由此求出M、N两点表示的数．
答案详解：解：（1）A、B之间的距离是1+|﹣2|＝3．
所以答案是：3；
（2）与点A的距离为5的点表示的数是：﹣4或6．
所以答案是：﹣4或6；
（3）则A点与﹣3重合，则对称点是﹣1，则数B关于﹣1的对称点是：0．
所以答案是：0，；
（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧）可知，
M点表示数﹣1007，N点表示数1005．
所以答案是：﹣1007，1005．
8．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．

试题分析：（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；
（2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
答案详解：解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒），
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x．
则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2，
解得x=163．
故相遇点M所对应的数是163．
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
三．两点距离类
9．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，PA＝　t　；PC＝　36﹣t　．
（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．
①当t＝　21　，点P、Q相遇，此时点Q运动了　5　秒．
②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．

试题分析：（1）根据题意容易得出结果；
（2）①根据路程和＝20，列出方程即可求解；
②根据两点间的距离，要对t分类讨论，t不同范围，可得不同PQ．
答案详解：解：（1）PA＝t；PC＝36﹣t；
所以答案是：t，36﹣t；

（2）①有依题意有
t+3（t﹣16）﹣16＝20，
解得：t＝21，
t﹣16＝21﹣16＝5．
故当t＝21，点P、Q相遇，此时点Q运动了5秒．
所以答案是：21，5；

②当16≤t≤21时 PQ＝36﹣t﹣3（t﹣16）＝84﹣4t；
当21＜t≤28时 PQ＝3（t﹣16）+t﹣36＝4t﹣84．
10．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 　1　；
（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

试题分析：（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC＝6x BC＝4x，AB＝10，根据AC﹣BC＝AB，列方程即可得到结论；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化．
答案详解：解：（1）（6﹣4）÷2＝1．
故点P在数轴上表示的数是1；
所以答案是：1；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，
则AC＝6x BC＝4x，AB＝10，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣4x＝10，
解得x＝5，
∴点P运动5秒时，追上点R；
（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：
①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=12AB＝5．
②当点P运动到点B左侧时（如图②），
MN＝PM﹣PN=12AP−12BP=12（AP﹣BP）=12AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．


11．已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（12ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是数轴上的一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．

试题分析：（1）先根据非负数的性质求出a，b的值，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；
（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB＝2PC时，分三种情况讨论，根据PB＝2PC求出x的值即可；
（3）根据第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为﹣3，4，﹣5，6…，找出规律即可得出结论．
答案详解：解：（1）∵（12ab+100）2+|a﹣20|＝0，
∴12ab+100＝0，a﹣20＝0，
∴a＝20，b＝﹣10，
∴AB＝20﹣（﹣10）＝30，
数轴上标出AB得：


（2）∵|BC|＝6且C在线段OB上，
∴xC﹣（﹣10）＝6，
∴xC＝﹣4，
∵PB＝2PC，
当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，
当P在线段BC上时，
xP﹣xB＝2（xc﹣xp），
∴xp+10＝2（﹣4﹣xp），
解得：xp＝﹣6，
当P在点C右侧时，
xp﹣xB＝2（xp﹣xc），
xp+10＝2xp+8，
xp＝2，
综上所述P点对应的数为﹣6或2．

（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…
则第n次为（﹣1）n•n，
点A表示20，则第20次P与A重合；
点B表示﹣10，点P与点B不重合．
12．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0．
（1）点A表示的数为　﹣2　；点B表示的数为　4　；
（2）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），
①当t＝1时，甲小球到原点的距离为　3　；乙小球到原点的距离为　2　；当t＝3时，甲小球到原点的距离为　5　；乙小球到原点的距离为　2　；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．

试题分析：（1）根据非负数的性质求得a＝﹣2，b＝4；
（2）①甲球到原点的距离＝甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度﹣乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程﹣OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
答案详解：解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0，
∴a+2＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣2，b＝4，
∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4．
（2）①当t＝1时，甲小球到原点的距离为2+1＝3；乙小球到原点的距离为4﹣2＝2；当t＝3时，甲小球到原点的距离为2+3＝5；乙小球到原点的距离为2×3﹣4＝2．
②当0＜t≤2时，得t+2＝4﹣2t，
解得t=23；
当t＞2时，得t+2＝2t﹣4，
解得t＝6．
故当t=23秒或t＝6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
所以答案是：（1）﹣2，4；（2）①3，2；5，2．
13．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
试题分析：（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据数轴即可确定点P对应的数；
（2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别求出x的值即可．
（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边时，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．
答案详解：解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P是线段AB的中点，
∵点A、B对应的数分别为﹣1、3，
∴点P对应的数是1；

（2）①当点P在A左边时，﹣1﹣x+3﹣x＝8，
解得：x＝﹣3；
②点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝8，
解得：x＝5，
即存在x的值，当x＝﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；

（3）①当点A在点B左边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则3+0.5t﹣（2t﹣1）＝3，
解得：t=23，
则点P对应的数为﹣6×23=−4；
②当点A在点B右边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则2t﹣1﹣（3+0.5t）＝3，1.5t＝7
解得：t=143，
则点P对应的数为﹣6×143=−28；
综上可得当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是﹣4或﹣28．
四．新定义
14．在数轴上，若点C到点A的距离刚好是2个单位长度，则把C点叫做A点的“美好点”，若C点到A、B两点的距离之和为4个单位长度，则把C点叫做A、B两点的“美好中心”．
（1）若A点表示的数为﹣1，则A点的美好点所表示的数应该是 　﹣3或1　；
（2）如图，M、N为数轴上两点，M点所表示的数为3，N点所表示的数为﹣1，C点是M、N两点的美好中心，则C点所表示的数可以是 　0　（填一个即可）．


试题分析：（1）设点C表示的数是m，根据定义，C到A的距离刚好是2，因此可列出相应的方程，求出m的值；
（2）设点C表示的数是n，根据“美好中心”的定义可知点C在点M与点N之间时，C到点M、N的距离之和为4，则n的取值范围是﹣1≤n≤3，任选一个即可．
答案详解：解：（1）设点C表示的数是m，
根据题意得﹣1﹣m＝2或者m﹣（﹣1）＝2，
解得m＝﹣3或m＝1；
所以答案是：﹣3或1；
（2）设点C表示的数是n，
当点C在点M与点N之间时，C到点M、N的距离之和为4，
所以﹣1≤n≤3，
所以答案是：0（答案不唯一）．
15．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　G　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　﹣4或﹣16　．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？

试题分析：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
答案详解：解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
所以答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16．
所以答案是﹣4或﹣16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，

当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，

当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，

当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；

第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，

当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，

N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
16．点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 　3　所表示的点是{M，N}的奇点；数 　﹣1　所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？

试题分析：（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；
根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；
（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知，分2种情况讨论：①P是{A，B}的奇点；②P是{B，A}的奇点．
答案详解：解：（1）5﹣（﹣3）＝8，
8÷（3+1）＝2，
5﹣2＝3；
﹣3+2＝﹣1．
故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点．
所以答案是：3；﹣1；
（2）∵A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30，
∴AB＝30﹣（﹣50）＝80．
分2种情况：
①P是{A，B}的奇点，PA＝3PB，∴PB＝20，P点表示的数为10；
②P是{B，A}的奇点，PB＝3PA，∴PB＝60，P点表示的数为﹣30；
故P点运动到数轴上的10或﹣30的位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．
17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
答案详解：解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），
∵|n﹣n|＝0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）=nn=1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=35，F（26）=213，F（37）=137，F（48）=68=34，F（59）=159，
∵34＞35＞213＞137＞159，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为34．
18．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．

如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．
知识运用：
（1）如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D　不是　【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数　0或﹣8　所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；
拓展提升：
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）
试题分析：（1）根据定义发现：好点表示的数到【A，B】中，前面的点A是到后面的数B的距离的2倍，从而得出结论；
（2）点M到点N的距离为6，分三等分为份为2，根据定义得：好点所表示的数为0或﹣8；
（3）根据题意得：PB＝4t，AB＝40+20＝60，PA＝60﹣4t，由好点的定义可知：分两种情况列式：①PB＝2PA；②PA＝2PB；可以得出结论．
答案详解：解：（1）如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：DB＝2DA，
那么点D不是【A，B】的好点；
（2）如图2，4﹣（﹣2）＝6，6÷3×2＝4，
即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；
∴数0所表示的点是【M，N】的好点；
4﹣（﹣8）＝12，﹣2﹣（﹣8）＝6，
同理：数﹣8所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或﹣8所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，由题意得：PB＝4t，AB＝40+20＝60，PA＝60﹣4t，
点P走完所用的时间为：60÷4＝15（秒），
分四种情况：
①当PA＝2PB时，即2×4t＝60﹣4t，t＝5（秒），P是【A，B】的好点，
②当PB＝2PA时，即4t＝2（60﹣4t），t＝10（秒），P是【B，A】的好点，
③当AB＝2PB时，即60＝2×4t，t＝7.5（秒），B是【A，P】的好点，
④当AB＝2AP时，即60＝2（60﹣4t），t＝7.5（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；
所以答案是：（1）不是；（2）0或﹣8；（3）5或7.5或10．
19．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q（p≤q）是n的最佳分解，并规定F（n）=pq．例如：18可以分解成1×18，2×9，3×6，这时就有F（18）=36=12．结合以上信息，给出下列关于F（n）的说法：
①F（2）=12；
②F（24）=38；
③F（27）=13；
④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．
其中正确的说法有　①③④　．（只填序号）
试题分析：把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
答案详解：解：∵2＝1×2，
∴F（2）=12是正确的；
∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，
∴F（24）=46=23，故②是错误的；
∵27＝1×27＝3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，
∴F（27）=13，故③是正确的；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数，则F（n）＝1，故④是正确的．
∴正确的有①③④，
所以答案是：①③④．
五．线段和差类
20．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝　5　cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　﹣5或3　；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　﹣1+x　；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．

试题分析：（1）根据题意容易画出图形；
（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论．
答案详解：解：（1）如图所示：
（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD＝4cm，
∴|﹣1﹣a|＝4，
解得：a＝﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
所以答案是：5，﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
所以答案是：﹣1+x；
（4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm，
∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm），
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．

21．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m﹣n．
如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 　﹣8　，点P表示的数为 　10﹣5t　（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR﹣OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离）

试题分析：（1）根据两点间的距离公式，以及路程＝速度×时间即可求解；
（2）①根据时间＝路程差÷速度差，列出算式计算即可求解；
②分两种情况：相遇前相距6个单位长度；相遇后相距6个单位长度；进行讨论可求点P表示的数；
（3）用含t的式子表示出QR﹣OP+mOR，根据与t无关求得m值以及QR﹣OP+mOR的定值．
答案详解：解：（1）由题意得，点B表示的数是10﹣18＝﹣8，点P表示的数是10﹣5t，
所以答案是：﹣8，10﹣5t；
（2）①18÷（5﹣3）＝9（秒）．故点P运动9秒时追上点Q；
②相遇前相距6个单位长度，
依题意得5t﹣3t＝18﹣6，解得t＝6，
10﹣6×5＝﹣20．则点P表示的数为﹣20；
相遇后相距6个单位长度，
依题意得5t﹣3t＝18+6，解得t＝12，
10﹣12×5＝﹣50．则点P表示的数为﹣50．
综上所述，点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为﹣20，﹣50；
（3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：﹣8+3t，4t，10+5t，
因为点﹣8+3t＜4t＜10+5t，
所以QR＝4t﹣（﹣8+3t）＝4t+8﹣3t＝t+8，OP＝10+5t，OR＝4t，
所以QR﹣OP+mOR＝t+8﹣（10+5t）+4mt＝t+8﹣10﹣5t+4mt＝（4m﹣4）t﹣2，
所以当4m﹣4＝0，即m＝1时，QR﹣OP+mOR的值与时间t无关，是个定值，这个定值为﹣2．