新人教版高中数学选择性必修第三册全套课件及配套课时作业(正确云版)
展开均值与方差的综合例1在某地举办的射击比赛中,规定每位射手射击10次,每次一发,记分的规则为:击中目标一次得3分,未击中目标得0分,凡参赛者一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.9,求小李在比赛中得分的均值与方差.解:设击中次数为X,比赛得分为Y,则Y=3X+2.由题意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比赛中得分的均值为29,方差为8.1.
反思感悟 通过审题,明确判断出随机变量X(击中次数)服从二项分布是解决这个题的关键,然后利用二项分布的均值和方差的计算公式即可求出E(X),D(X).
变式训练1某运动员投篮命中率P=0.6.(1)求1次投篮命中次数ξ的均值与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.解:(1)投篮1次只有两种结果,投篮命中ξ=1,不中ξ=0,服从两点分布,其分布列为
则E(ξ)=1×0.6=0.6,D(ξ)=(1-0.6)×0.6=0.24.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布,即η~B(5,0.6).由二项分布均值与方差的计算公式知,E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.
离散型随机变量的均值与方差的常见类型例2设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取一个球,记下颜色后放回,再取一个球(每球取到的机会均等),记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列.(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为
(2)由题意知η的分布列为
反思感悟 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件,作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断.
变式训练2为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 ;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 ;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ).
均值与方差在决策中的应用例3计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.②安装2台发电机的情形.依题意,当40
③安装3台发电机的情形.依题意,当40
所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
反思感悟 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
变式训练3某投资公司在2020年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为 ;项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 .针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
解:若按项目一投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为
若按项目二投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为
∴E(X1)=E(X2),D(X1)
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率.(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与均值.(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
【审题视点】 第一步,审条件.给出了3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量优良与重度污染的数据.第二步,审结论.第(1)问求此人到达当日空气重度污染的概率;第(2)问求分布列与均值;第(3)问求从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大.第三步,建联系.(1)重度污染只有2天,由于到达是随机的,根据古典概型求得;(2)随机变量X=0,1,2,求出分布列与均值;(3)根据方差表示数据偏离均值的程度,结合图中数据可得.
解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13),根据题
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
方法点睛 1.求随机变量的取值——明确随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义;2.求概率——利用概率有关知识求出随机变量每个取值的概率;3.求分布列、均值——规范写出分布列,并用分布列的性质验证,求均值.
跟踪训练一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分.”某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题可以判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:(1)得60分的概率;(2)所得分数X的分布列和均值.
解:(1)设“可判断两个选项是错误的题选对”为事件A,“可判断一个选项是错误的题选对”为事件B,“不理解题意的题选对”为事件C,
1.下列说法正确的是( )A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值解析:由离散型随机变量的均值与方差的定义可知,C正确.答案:C
2.已知随机变量X的分布列如下.
4.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字之和为ξ,求E(ξ)和D(ξ).
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