江苏省南京市鼓楼实验中学2023-2024学年上学期九年级开学考试数学试题

2023-2024学年南京市鼓楼实验中学九上期初卷

一．选择题（共6小题。，12分）

1．方程的根为　　

A． B．， C． D．，

2．用配方法将方程变形，结果正确的是　　

A． B． C． D．

3．若方程有两个实数根，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是　　

A． B． C． D．

5．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

6．二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表：

则下列结论：

①；

②当函数值时，对应的取值范围是；

③顶点坐标为；

④若点，在抛物线上，则．

其中，所有正确结论的序号为　　

A．①③ B．③④ C．①④ D．②④

二．填空题（共10小题，20分）

7．设，是关于的方程的两个根，则　　．

8．二次函数图象的顶点坐标是　　．

9．已知是方程的一个根，则代数式的值是 　　．

10．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为　 　．

11．抛物线与轴的交点坐标分别为　 　．

12．若二次函数的图象，经过，，，，三点，，大小关系是　 　　（用“”连接）．

13．当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为 　　．

14．函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是 　　．

15．设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么取值范围是　　．

16．已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线有三个不同公共点时的值是　 　．

三．解答题（共10小题，88分）

17．解下列一元二次方程：

（1）

（2）

（3）（用配方法）

（4）

18．已知关于的一元二次方程

（1）不解方程，判断此方程根的情况；

（2）设、为方程的两个根，求的值．

19．已知二次函数的图象经过点．

（1）求出这个函数的表达式；

（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及随的变化情况；

（3）当时，的取值范围是多少？

20．已知关于的方程有两个实数根，

（1）求的取值范围；

（2）若令，求出与的函数关系式，并求出的最小值．

21．某单位院内有一块长，宽的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平行和横向弯折的小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：左右小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

22．已知二次函数的图象经过点和点．

（1）若点坐标为，

①求这个二次函数的表达式；

②当时，直接写出的取值范围．

（2）若点坐标为且该函数的图象开口向上，直接写出的取值范围．

23．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，整个图形是轴对称图形．矩形的长为，宽为，抛物线的顶点到地面距离为．

（1）自建平面直角坐标系，并求抛物线的解析式；

（2）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？

（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？

24．某超市销售一种商品，成本为每千克50元．当每千克售价60元时，每天的销售量为60千克，经市场调查，当每千克售价增加1元，每天的销售量减少2千克．

（1）为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．已知二次函数为常数）．

（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；

（2）若，，该函数图象与线段只有1个公共点，直接写出的取值范围；

（3）若点，，在该函数的图象上，当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．

26．【阅读材料】

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．

【直接应用】

方程的解是，　　，　　．

【类比迁移】

解方程：．

【问题解决】

如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．

2023-2024学年南京市鼓楼实验中学九上期初卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．方程的根为　　

A． B．， C． D．，

【解答】解：，

，

或，

解得：，，

故选：．

2．用配方法将方程变形，结果正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：方程，

变形得：，即．

故选：．

3．若方程有两个实数根，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：关于的方程有两个实数根，

△，

解得：．

故选：．

4．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，

平移后的抛物线的顶点坐标为，

平移后得到的函数关系式为．

故选：．

5．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

【解答】解：二次函数的图象和轴有交点，

，

且．

故选：．

6．二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下表：

则下列结论：

①；

②当函数值时，对应的取值范围是；

③顶点坐标为；

④若点，在抛物线上，则．

其中，所有正确结论的序号为　　

A．①③ B．③④ C．①④ D．②④

【解答】解：由，可得抛物线对称轴为直线，

由，可得时随增大而增大，

抛物线开口向上，即，

故①错误，不符合题意．

抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，

抛物线与轴另一交点坐标为，

时，，

故②正确，符合题意．

抛物线对称轴为直线，

故③错误，不符合题意．

抛物线开口向上，对称轴为直线，且，

故，

④正确，符合题意．

故选：．

二．填空题（共10小题）

7．设，是关于的方程的两个根，则　3　．

【解答】解：根据根与系数的关系得．

故答案为：3．

8．二次函数图象的顶点坐标是　　．

【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是：．

故答案为：．

9．已知是方程的一个根，则代数式的值是 　　．

【解答】解：是方程的一个根，

，

，

．

故答案为：．

10．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为　　．

【解答】解：设平均每年增产的百分率为；

第一年粮食的产量为：；

第二年粮食的产量为：；

依题意，可列方程：；

故答案为：．

11．抛物线与轴的交点坐标分别为　，　．

【解答】解：当，

解得：，，

故抛物线与轴的交点坐标分别为：，．

故答案为：，．

12．若二次函数的图象，经过，，，，三点，，大小关系是　 　　（用“”连接）．

【解答】解：，

图象的开口向上，对称轴是直线，

当时，随的增大而增大，

关于直线的对称点是，

关于直线的对称点是，

，

．

故答案为：．

13．当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为 　　．

【解答】解：一元二次方程为的两个根为，，

，

代数式的值为3，

代数式的值为，

故答案为：．

14．函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是 　或　．

【解答】解：令得：，

，

，

或或，

解得：，，，

函数与轴的交点坐标为：，，，

结合图象，当时，的取值范围是：或．

故答案为：或．

15．设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么取值范围是　　．

【解答】解：方程有两个不相等的实数根，

△，

解得：，

，，，

，，

，

，

即，

当时，解得；

当时，不等式无解，

，

又，

的取值范围为．

故答案为：．

16．已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线有三个不同公共点时的值是　1或　．

【解答】解：函数与轴有两个交点，

△，

解得，

当取最小整数时，，

抛物线为，

将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为或．

①因为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过把代入得 所以，

②与相切时，图象有三个交点，

，

△，

解得．

故答案为：1或．

三．解答题（共10小题）

17．解下列一元二次方程：

（1）

（2）

（3）（用配方法）

（4）

【解答】解：（1），

X=4或x=-3

（2），

X=4或x=

（3），

，

，

，

所以，；

（4），

X=2或x=

18．已知关于的一元二次方程

（1）不解方程，判断此方程根的情况；

（2）设、为方程的两个根，求的值．

【解答】解：（1）△，

解得：方程具有两个不相等的实数根

（2）一元二次方程为：，

2，-2，

0．

19．已知二次函数的图象经过点．

（1）求出这个函数的表达式；

（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及随的变化情况；

（3）当时，的取值范围是多少？

【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，

，

，

这个函数的表达式为；

（2）画出函数的图象如图：

由图象可知，此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；

（3）把代入得，，

此函数图象的开口向上、顶点坐标为，

当时，有最小值，

当时，的取值范围是．

20．已知关于的方程有两个实数根，

（1）求的取值范围；

（2）若令，求出与的函数关系式，并求出的最小值．

【解答】解：（1）方程有两个实数根，，

△，

，

；

（2），，

，

求出与的函数关系式为：，

由（1）知道，

当，有最小值为0．

21．某单位院内有一块长，宽的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平行和横向弯折的小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：左右小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

【解答】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得

．

整理，得．

解得，．

（不符合题意，舍去），

．

答：小道进出口的宽度应为1米．

22．已知二次函数的图象经过点和点．

（1）若点坐标为，

①求这个二次函数的表达式；

②当时，直接写出的取值范围．

（2）若点坐标为且该函数的图象开口向上，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）①把和分别代入得，

解得，

这个二次函数的表达式为；

②，

当时，有最大值，

当时，；

当时，，

当时，的取值范围为；

（2）把和分别代入得，

解得，

该函数的图象开口向上，

，

即，

解得．

23．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，整个图形是轴对称图形．矩形的长为，宽为，抛物线的顶点到地面距离为．

（1）自建平面直角坐标系，并求抛物线的解析式；

（2）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？

（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？

【解答】解：（1）根据题意，，，．

设抛物线的解析式为，把或代入得

．

解得：．

抛物线的解析式为．

（2）根据题意，把代入解析式，

得．

，

货运卡车能通过．

（3）根据题意，或，

把代入解析式，

得．

，

货运卡车不能通过．

24．某超市销售一种商品，成本为每千克50元．当每千克售价60元时，每天的销售量为60千克，经市场调查，当每千克售价增加1元，每天的销售量减少2千克．

（1）为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设该天的销售单价应定为元，

根据题意得：，

整理得：，

解得，，

答：该天的销售单价应定为65元或75元；

（2）设销售单价定为元，销售利润为元，

根据题意得：，

，

当时，有最大值，最大值为800，

答：当销售单价定为70时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．

25．已知二次函数为常数）．

（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；

（2）若，，该函数图象与线段只有1个公共点，直接写出的取值范围；

（3）若点，，在该函数的图象上，当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．

【解答】（1）证明：二次函数为常数），

时，，

不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；

（2）解：二次函数为常数），

图象与轴的交点为，，

若，，该函数图象与线段只有1个公共点，则或或；

（3）解：点，，在该函数的图象上，当时，或．

26．【阅读材料】

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．

【直接应用】

方程的解是，　2　，　　．

【类比迁移】

解方程：．

【问题解决】

如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．

【解答】解：，

．

．

或或．

，，．

故答案为：2，4．

解方程：．

方程两边平方，得．

．

．

或．

经检验是方程的解，不符合题意舍去．

所以原方程的解为：．

设的长为，则．

由题意，得，

移项，得，

两边平方，得，

整理，得．

解得．

经检验是方程的解．

所以的长为