第26章二次函数单元测试（华东师大版九下）

《第26章 二次函数》

一、选择题

1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）

A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0

2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）

A．y=x2 B．y= C．y= D．y=

3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）

A．4 B．8 C．﹣4 D．16

4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（　　）

A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴

C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴

5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（　　）

A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0

7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜﹣1

8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（　　）

A．一定有两个交点 B．只有一个交点

C．有两个或一个交点 D．没有交点

9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对

10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（　　）

A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）

二、填空题

11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 ______，对称轴是 ______，顶点是 ______．

12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．

13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．

14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______．

15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是______．

16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______．

17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．

18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______．

19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为______．

20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______．

三、解答题

21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．

23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；

（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．

24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：

①它的对称轴为x=2；

②它与x轴有两个交点为A、B；

③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．

求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．

25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：

（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）

26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，

（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；

（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．

①求折痕AF所在直线的解析式；

②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．

（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．

《第22章 二次函数》

参考答案

一、选择题

1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）

A．2xy+x2=1 B．y2﹣ax+2=0 C．y+x2﹣2=0 D．x2﹣y2+4=0

【解答】解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；

B、y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；

C、y+x2﹣2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；

D、x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．

故选C．

2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）

A．y=x2 B．y= C．y= D．y=

【解答】解：作出BC边上的高AD．

∵△ABC是等边三角形，边长为x，

∴CD=x，

∴高为h=x，

∴y=x×h=x2．

故选：D．

3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）

A．4 B．8 C．﹣4 D．16

【解答】解：根据题意，得=0，

解得c=16．

故选D．

4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（　　）

A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴

C．开口向下，对称轴平行于y轴 D．开口向上，对称轴平行于y轴

【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0，

则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．

故选A．

5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；

B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＜0，错误；

C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣＜0，正确．

D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；

故选C．

6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（　　）

A．2，4 B．﹣2，﹣4 C．2，﹣4 D．﹣2，0

【解答】解：根据顶点坐标公式，得

横坐标为： =﹣1，解得m=﹣2；

纵坐标为： =﹣3，解得n=﹣4．

故选B．

7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x＜﹣1

【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，

a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，

∴当x≤1时，y随x的增大而增大，

故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围，

故选：C．

8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（　　）

A．一定有两个交点 B．只有一个交点

C．有两个或一个交点 D．没有交点

【解答】解：根据题意，得

△=b2﹣4ac=＜﹣（m+2）＞2﹣4×1×3（m﹣1）=（m﹣4）2

（1）当m=4时，△=0，即与x轴有一个交点；

（2）当m≠4时，△＞0，即与x轴有两个交点；

所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C．

9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对

【解答】解：∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=，

解得：m=±3，

故选：C．

10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（　　）

A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，3） D．（1，3）

【解答】解：把y=x2+（2﹣t）x+t变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，

∵对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，

∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，

∴x=1，y=3，

即这个固定的点的坐标为（1，3）．

故选D．

二、填空题

11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向 　上　，对称轴是 　x=1　，顶点是 　（1，6）　．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，

∴二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，

顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1．

故答案为：上，x=1，（1，6）．

12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=　2　．

【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，

代入（0，0）得：2m﹣m2=0，

解得：m=2，m=0；

又∵m≠0，

∴m=2．

故答案为：2．

13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是　y=2（x+1）2+3　．

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；

可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．

14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是　﹣　．

【解答】解：当x=1时，y=ax2=a；

当x=2时，y=ax2=4a，

所以a﹣4a=4，解得a=﹣．

故答案为：﹣．

15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是　10　．

【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+n，

∵函数的最小值是1，

∴﹣9+n=1，

n=10．

故答案为：10．

16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是　4　．

【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），

∵x1+x2=2，x1•x2=﹣3，

∴|x1﹣x2|===4，

∴抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．

故答案为：4．

17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是　S=﹣x2+3x　，自变量x的取值范围是　0＜x＜3　．

【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x．

自变量x的取值范围是：0＜x＜3．

故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．

18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是　5　．

【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）；

设B（b，0），C（c，0）．

令y=0，则x2﹣2x﹣5=0，

则b+c=2，bc=﹣5，

则|b﹣c|===2，

则△ABC的面积是×5×=5．

故答案为5．

19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为　y=﹣x2﹣x+　．

【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，

解得．

所以此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+，

故答案为：y=﹣x2﹣x+．

20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是　y=﹣x2+3　．

【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），

则设抛物线解析式为：y=ax2+3，故0=9a+3，

解得：a=﹣，

即抛物线解析式为：y=﹣x2+3．

故答案为：y=﹣x2+3．

三、解答题

21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），

设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

把点（2，3）代入解析式，得：

a﹣2=3，即a=5，

∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．

22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．

【解答】解：将y=2x2+4x+1

整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1．

因为抛物线y=ax2+bx+c 向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1，

所以将y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c，

故y=ax2+bx+c=2（x+1﹣2）﹣1+1=2（x﹣1）=2x2﹣4x+2，

所以a=2，b=﹣4，c=2．

23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；

（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．

【解答】解：（1）由图象可知：a＜0

图象过点（0，1），

所以c=1，图象过点（1，0），

则a+b+1=0

当x=﹣1时，应有y＞0，则a﹣b+1＞0

将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，

解得a＞﹣1

所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0；

（2）此时函数y=ax2﹣（a+1）x+1，

M点纵坐标为： =，

图象与x轴交点坐标为：ax2﹣（a+1）x+1=0，

解得；x 1=1，x 2=，

则AC=1﹣=，

要使S△AMC=××==S△ABC=•

可求得a=．

24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：

①它的对称轴为x=2；

②它与x轴有两个交点为A、B；

③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．

求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．

【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c=（x+）2+，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，

∴﹣=2，则b=﹣4，

∴P点的纵坐标是=c﹣4，

又∵它与x轴有两个交点为A、B，

∴△=b2﹣4ac=16﹣4c＞0，且AB===2

解得 c＜4，①

又△APB的面积不小于27，

∴×2×|c﹣16|≥27，即×|c﹣16|≥27②

由①②解得 c≤﹣5．

综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c≤﹣5．

25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：

（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）

【解答】解：对称轴x=﹣=﹣，

（1）当0＜a＜时，即﹣＜﹣＜0，当x=﹣时有最小值，最小值y=（﹣）2+a×（﹣）+3=3，

（2）当a＞2.3．即﹣＜﹣1.1，在﹣1≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=（﹣1）2+a×（﹣1）+3=4﹣a．

26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，

（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；

（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．

①求折痕AF所在直线的解析式；

②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．

（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．

【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，

∴OD=OC=6，

∴D（6，0），C（0，6），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则，解得，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．

（2）①在直角△ABG中，因AG=AO=10，

故BG==8，∴CG=2，

设OF=m，则FG=m，CF=6﹣m，

在直角△CFG中，m2=（6﹣m）2+22，解得m=，

则F（0，），

设直线AF为y=k′x+，将A（10，0）代入，得k′=﹣，

∴AF所在直线的解析式为：y=﹣x+．

②∵GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，yF），

由于H在直线AF上，

∴把H（2，yF）代入直线AF：yF=﹣×2+=，

∴H（2，），

又∵H在抛物线上， =﹣×22+h，解得h=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3，

将直线y=﹣x+，代入到抛物线y=﹣x2+3，

得﹣x2+x﹣=0，

∵△=﹣4×（﹣）×（﹣）=0，

∴直线AF与抛物线只有一个公共点．

（3）可以猜想以下两个结论：

①折痕IJ所在直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点；

②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=﹣x2+3上．

验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，

将折痕CD：y=﹣x+6代入y=﹣x2+3中，得﹣x2+x﹣3=0，

∵△=1﹣4×（﹣）×（﹣3）=0，

∴折痕CD所在的直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点．

验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），

当x=6时，y=﹣×62+3=0，

∴点L在这条抛物线上．