第27章圆27.4正多边形和圆教案（华东师大版九下）

27．4　正多边形和圆

【知识与技能】

    1.掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．

    2.正多边形的画法．

【过程与方法】

通过作图的过程，提高学生的几何语言表达能力和推理能力．

【情感态度】

在学生动手操作的过程中，增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生主动探索的精神，培养学生合作交流和创新意识．

【教学重点】

圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．

【教学难点】

圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．

一、情境导入，初步认识

正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(　　)

A．3∶2∶1　　　　　　　B．4∶3∶2C．4∶2∶1  D．6∶4∶3

解析：设正三角形的边长为a，则高a，外接圆半径a，边心距a，所以它们之比为3∶2∶1.

答案：A

【教学说明】　复习旧知识，为本节课的学习作准备．

二、思考探究，获取新知

1．如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等，记为r.那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆．

由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．

这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．

【教学说明】　学生观察圆的内接正五边形，从而得出相关概念．

2．怎样画特殊的正多边形？

【归纳结论】　利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，作相等的圆心角就可以等分圆．从而作出相应的正多边形．

三、运用新知，深化理解

1．下列命题不正确的有____(填所有正确答案的序号)．

①将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形是正方形

②正三角形外接圆的圆心叫做正三角形的中心

③正方形外接圆的半径等于其边长

④正五边形的中心角等于72°

答案：①③

2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为________．

A．6，3  B．3，3

C．6，3  D．6，3

答案：　B

3．已知⊙O上的一点A.

(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；

(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．

分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分．要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12＝30°.

解：(1)作法：

①作直径AC；

②作直径BD⊥AC；

③依次连结A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；

④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；

⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点．

六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．

(2)证明：连结OE、DE.

∵∠AOD＝＝90°，∠AOE＝＝60°.

∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°.

∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边．

【教学说明】　教师出示问题，学生可独立完成，也可小组合作完成．

四、师生互动、课堂小结

谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活．

 1.布置作业：教材“习题27.4”中第1 、2、3 题．

2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注．