初中数学华师大版九年级下册2. 圆的对称性一等奖第2课时教案设计

第2课时　垂径定理

【知识与技能】

掌握垂径定理及其推论．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法．

【情感态度】

在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．

【教学重点】

垂径定理及其推论的发现、记忆与证明．

【教学难点】

垂径定理及其推论的运用．

一、情境导入，初步认识

1．将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？

2．将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？

3．一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？

4．赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？

【教学说明】　前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习．

二、思考探究，获取新知

探究1：垂径定理

(思考)如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.

①这个图形是对称图形吗？

②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由．

③你能用一句话概括这些结论吗？

④你能用几何方法证明这些结论吗？

⑤你能用符号语言表达这个结论吗？

【归纳结论】　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

【教学说明】　教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理．

探究2：垂径定理的推论

如上图，若直径CD平分弦AB则

①直径CD是否垂直弦且平分弦所对的两条弧？如何证明？

②你能用一句话总结这个结论吗？

③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

【归纳结论】　垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．

【教学说明】　教师提出问题，引导学生进行思考和讨论．学生尝试得出垂径定理推论，教师提醒学生此中的弦一定不能是直径．

三、运用新知，深化理解

1．如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为m，下列结论不成立的是(　　)

A．Cm＝Dm　　　　　B.＝

C．∠ACD＝∠ADC D．Om＝mD

解析：根据垂径定理得：Cm＝Dm，＝，AC＝AD，由AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，而Om＝mD不一定成立．

答案：　D.

2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝2，OC＝1，则半径OB的长为________．

解析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧”，可知BC＝AB＝，然后根据勾股定理，得OB＝＝2.

答案：　2.

3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．

分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法．

解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF＝(R－90)m

∵OE⊥CD

∴CF＝CD＝×600＝300(m)

根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2

即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545m

∴这段弯路的半径为545m.

4．已知：AB交⊙O于C、D，且AC＝BD.请证明：OA＝OB.

证明：过O作OE⊥AB于E，

∵OE过圆心O,       ∴CE＝DE，

∵AC＝BD,       ∴AE＝BE，

∵OE⊥AB,       ∴OA＝OB.

【教学说明】　简单应用由学生独立完成，教师可让学生自己进行评判．

四、师生互动、课堂小结

1．本节课你学到了哪些数学知识？

2.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

3.这些方法中你又用到了哪些数学思想？

1．布置作业：教材P40“练习”．

2．完成同步练习册中本课时的练习．

这节课我们主要学习了垂径定理(学生回答)，它是这节课的重点，要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，会推知它的逆定理．