华师大版九年级下册3. 求二次函数的表达式精品教学设计及反思

3．　求二次函数的表达式

【知识与技能】

使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式．

【过程与方法】

使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式．

【情感态度】

让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生运用数学的意识．

【教学重点】

已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点．

【教学难点】

已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点．

一、情境导入，初步认识

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数y＝(k≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的关系式，又需要几个条件呢？

【教学说明】　通过类比的思想，使学生明白二次函数的解析式所需要的独立条件．

二、思考探究，获取新知

1．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．

解：如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O作y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：

y＝ax2(a＜0)　(1)

因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝＝2(m)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)．

因为点B在抛物线上，将它的坐标代入(1)，得－0.8＝a×22，所以a＝－0.2，因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2.

2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

(1)已知二次函数的图象经过点A(0，－1)、B(1，0)、C(－1，2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)；

解：(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过(0，－1)，可以得到c＝－1.又由于其图象过点(1，0)、(－1，2)两点，可以得到，解这个方程组，得：a＝2，b＝－1.所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1.

(2)因为抛物线的顶点为(1，－3)，所以设二此函数的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到：1＝a(0－1)2－3，解得：a＝4.所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.　　

【教学说明】　二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式．二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数．

【归纳结论】　确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下二种形式：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

三、运用新知，深化理解

1．见教材P22例6、例7.

2．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(－1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，求抛物线的解析式．

分析：应用待定系数法求出a，b，c的值．

解：依题意：，解得，抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.

3．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式．

分析：可设二次函数y＝ax2＋bx＋c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x＝2列出一个方程，则可求出a，b，c的值．

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得解这个方程组，得：，所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5.

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.

4．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．

分析：根据顶点坐标公式可列出两个方程．

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4，因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4.

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c依题意，得，解这个方程组，得：，所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4.

5．已知二次函数，当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝3，求二次函数的关系式．

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3.

解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1，因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)2－1解得a＝，所以，所求二次函数的关系为y＝(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3.

【教学说明】　凡是能用“顶点式”确定的，一定可用“一般式”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同和没有本质的区别；在做题时，不仅会使用已知条件，同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯．

四、师生互动，课堂小结

求二次函数解析式的一般步骤是什么？有哪几种求法？

1．布置作业：教材“习题26.2”中第4、5题．

2．完成同步练习册中本课时的练习．

确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．