初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索获奖第1课时教案设计

26．3　实践与探索

第1课时　二次函数与实际问题

【知识与技能】

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．

【过程与方法】

通过对实际问题的分析，使学生掌握如何利用二次函数解决实际问题．

【情感态度】

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．

【教学重点】

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．

【教学难点】

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．

一、情境导入，初步认识

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．

【教学说明】　使学生明白二次函数的重要性．

二、思考探究，获取新知

问题1：(P26，问题1)

让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求图中B点的横坐标；

【教学说明】　学生解答，教师巡视指导；让一两位同学板书，教师讲评．

问题2：(P27.问题2)

解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2，(a＜0)，(1)，因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8m，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－2.4＝a×0.82，所以：a＝－，因此，函数关系式是y＝－x2，(2)，因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5)．因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－x12，x12＝，x1＝±，x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)，所以涵洞ED是m，会超过1m.

三、运用新知，深化理解

1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．

(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？

解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2设点B(10，n)，点D(5，n＋3)，由题意：，解得，∴y＝－x2.

(2)方法一：当x＝3时，y＝－×9，∵－－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．

方法二：当y＝3.6－4＝－时，－＝－x2，∴x＝±，∵＞3∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．

2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

(1)求y与x的函数关系式；

(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；

(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

解：(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c.由表中数据，得.解得，所以所求二次函数关系式为y＝－x2＋x＋1

(2)根据题意，得S＝10y×(3－2)－x＝－x2＋5x＋10.

(3)S＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋.由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．

【教学说明】　通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

1．布置作业：教材P28“练习”

2．完成同步练习册中本课时的练习．

在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．